回顾与思考(一) 直角三角形的边角关系（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

回顾与思考(一)　直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 B 3 A 4 5 6 D 7 8 9 10 11 B 12 13 14 15 C 17 18 19 20 核心考点1　锐角三角函数 1．如图，过点C(－2，5)的直线分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB＝( ) A． eq \f(2,5) B． eq \f(2,3) C． eq \f(5,2) D． eq \f(3,2) 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan ∠BDE的值为( ) A． eq \f(5,12) B． eq \f(12,5) C． eq \f(5,13) D． eq \f(12,13) 3．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格的交点，AD⊥BC于点D，则tan ∠BAD的值为__________． eq \f(3,4) 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin ∠ABE＝____________. eq \f(\r(10),10) 【解析】由折叠可知BA′＝BA＝6，∠BA′E＝∠A＝90°，∴A′C＝ eq \r(BC2－BA′2) ＝8，∴CE＝A′C＋A′E＝8＋AE.又∵CD2＋DE2＝CE2，即62＋(10－AE)2＝(8＋AE)2，∴AE＝2，∴BE＝ eq \r(AB2＋AE2) ＝2 eq \r(10) ，∴sin ∠ABE＝ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(\r(10),10) . 核心考点2　特殊角的三角函数值 5．已知∠α为锐角，且2sin (90°－α)＝1，则tan α的值为( ) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(2),2) C．1 D． eq \r(3) 6.定义一种运算：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin (45°＋30°)＝sin 45°cos30°＋cos45°sin30°＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) ，则sin 15°的值为________________． eq \f(\r(6)－\r(2),4) 核心考点3　解直角三角形 7．(辽宁五市联考)如图，将一副直角三角尺按图中方式叠放，若BC＝4，则BD＝__________． 2 eq \r(6) 8．如图，在△ABC中，sin B＝ eq \f(3,5) ，tan C＝2，AB＝10，则AC的长为__________． 3 eq \r(5) 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝ eq \f(3,5) ，点D在边BC上，且BD＝4，tan ∠DAC＝ eq \f(2,3) . (1)求边AC的长； (2)求tan ∠BAD的值． 解：(1)∵tan ∠DAC＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(2,3) ，∴CD＝ eq \f(2,3) AC.又∵sin ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∴AB＝ eq \f(5,3) AC，∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(（\f(5,3)AC）2－AC2) ＝ eq \f(4,3) AC，∴BD＝BC－CD＝ eq \f(4,3) AC－ eq \f(2,3) AC＝ eq \f(2,3) AC＝4，∴AC＝6 (2)过点D作DE⊥AB于点E，由(1)知AB＝ eq \f(5,3) AC＝10，CD＝ eq \f(2,3) AC＝4，∴AD＝ eq \r(AC2＋CD2) ＝ eq \r(62＋42) ＝2 eq \r(13) .又∵S△ABD＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) BD·AC，即 eq \f(1,2) ·10DE＝ eq \f(1,2) ×4×6，∴DE＝ eq \f(12,5) ，∴AE＝ eq \r(AD2－DE2) ＝ eq \r(（2\r(13)）2－（\f(12,5)）2) ＝ eq \f(34,5) ，∴tan ∠BAD＝ eq \f(DE,AE) ＝ eq \f(6,17) 核心考点4　三角函数的实际应用 10.如图，某停车场入口的栏杆AB从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4 m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( ) A． eq \f(4,sin α) m B．4sin α m C． eq \f(4,cos α) m D．4cos α m 11．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2∶ eq \r(3) 的斜坡AB前进20 eq \r(7) m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(3) ≈1.732，sin 37°≈ eq \f(3,5) ，cos 37°≈ eq \f(4,5) ，tan 37°≈ eq \f(3,4) ). 11．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2∶ eq \r(3) 的斜坡AB前进20 eq \r(7) m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(3) ≈1.732，sin 37°≈ eq \f(3,5) ，cos 37°≈ eq \f(4,5) ，tan 37°≈ eq \f(3,4) ). 解：过点B作BF⊥AD于点F.∵斜坡AB的坡度为i＝2∶ eq \r(3) ，∴ eq \f(BF,AF) ＝ eq \f(2,\r(3)) ，∴AF＝ eq \f(\r(3),2) BF，∴AB＝ eq \r(AF2＋BF2) ＝ eq \f(\r(7),2) BF＝20 eq \r(7) m，∴BF＝40 m．延长BC，DE交于点H，则四边形BFDH是矩形，∴DH＝BF＝40 m，∴在Rt△CDH中，CH＝ eq \f(DH,tan ∠DCH) ＝ eq \f(40,tan 60°) ＝ eq \f(40\r(3),3) (m)，∴在Rt△CEH中，EH＝CH·tan ∠ECH＝ eq \f(40\r(3),3) tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树DE的高度约为22.7 m 12．(沈阳中考)如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间的距离为m m，∠PQT＝α，则河宽PT为( ) A．m sin α m B．m cos α m C．m tan α m D． eq \f(m,tan α) m 13．(葫芦岛中考)如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100 m，则两景点A，B间的距离为_____________________m(结果保留根号)． (100＋100 eq \r(3) ) 14．(2023·本溪、铁岭、辽阳)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33). (1)求登山缆车上升的高度DE； (2)若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1 min). 解：(1)过点B作BG⊥AF于点G，则四边形BEFG为矩形，∴BG＝EF.又∵在Rt△ABG中，∠A＝30°，AB＝300 m，∴BG＝ eq \f(1,2) AB＝150(m)，∴EF＝150 m，∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m)，∴登山缆车上升的高度DE为450 m (2)∵在Rt△BDE中，BD＝ eq \f(DE,sin ∠DBE) ＝ eq \f(450,sin 53°) ≈ eq \f(450,0.8) ＝562.5(m)，∴从山底A处到达山顶D处大约需要 eq \f(300,30) ＋ eq \f(562.5,60) ≈19.4(min) $$