专题训练(2) 反比例函数与一次函数的综合应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（人教版 辽宁专用）

专题训练(二)　反比例函数与一次函数的综合应用 数学 九年级下册 人教版 四清导航 D 2 D 3 4 －2 1 1 －2 5 －3或1 6 2 7 两个不等 两个相等 无 8 9 10 11 12 13 14 15 类型一　同一坐标系下，反比例函数与一次函数图象共存问题 1．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝ eq \f(b,x) 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 2．(教材P9T8变式)函数y＝－ax＋a与y＝ eq \f(a,x) (a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ) 类型二　反比例函数与方程或不等式的综合 【方法点拨】(1)反比例函数与一次函数的交点问题，可转化为一元二次方程的问题，交点―→一元二次方程的根―→根的判别式，即可解题． (2)解题步骤：①求(找)出图象的交点；②根据图象位置判断解集：大取上，小取下． 3．如图，直线y＝－x－1与双曲线y＝ eq \f(－2,x) 交于A，B两点，则A点坐标为(________，______)，B点坐标为(______，________). 4．如图，反比例函数y＝ eq \f(m,x) 的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于M，N两点，已知点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1.根据图象信息可得关于x的方程 eq \f(m,x) ＝kx＋b的解为x＝____________． 5．如图，双曲线y＝ eq \f(m,x) 经过点P(2，1)，且与直线y＝kx－4(k＜0)有两个不同的交点． (1)m＝________； (2)求k的取值范围． 解：(2)由题意，得方程 eq \f(2,x) ＝kx－4，整理为kx2－4x－2＝0，依题意知该方程有两个不同的实数根，∴Δ＝(－4)2－4k·(－2)＞0，∴k＞－2，∴k的取值范围是－2＜k＜0 【启思】当Δ＞0时，方程有____________实根，即一次函数与反比例函数有两个不同的交点；当Δ＝0时，方程有____________实根，即只有一个交点；当Δ＜0时，方程________实根，即无交点． 6．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ eq \f(m,x) 的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； (3)不等式kx＋b－ eq \f(m,x) ＞0的解集为__________________． 解：(1)反比例函数的解析式为y＝－ eq \f(8,x) ，一次函数的解析式为y＝－x－2 (2)∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝－2，∴点C(－2，0)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝ eq \f(1,2) ×2×2＋ eq \f(1,2) ×2×4＝6 (3) 0＜x＜2或x＜－4 类型三　反比例函数与一次函数结合求线段长或图形的面积 【方法点拨】(1)求线段长常与点的坐标有关．通用方法是公式法： 若已知两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则 AB的距离＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2) . (2)常见图形面积求法如： 对于不规则图形采用“割补法”将图形面积转化到坐标轴上或与两坐标轴平行的直线上解决． 7．如图，已知双曲线y1＝ eq \f(k,x) 与直线y2＝ax＋b交于点A(－4，1)和点B(m，－4). (1)求双曲线和直线的解析式； (2)直接写出线段AB的长． 解：(1)y1＝－ eq \f(4,x) ，y2＝－x－3 (2)AB＝5 eq \r(2) 8．(教材P9T5变式)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象交于A(1，4)，B(2，n)两点，与坐标轴分别交于M，N两点. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积． 解：(1)反比例函数的解析式为y＝ eq \f(4,x) ， 一次函数的解析式为y＝－2x＋6 ∵直线y＝－2x＋6与x轴的交点为N， ∴点N的坐标为(3，0)， S△AOB＝S△AON－S△BON＝ eq \f(1,2) ×3×4－ eq \f(1,2) ×3×2＝3 9．如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝ eq \f(k2,x) 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n). (1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＜ eq \f(k2,x) 的x的取值范围； (2)求这两个函数的解析式； (3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标． 解：(1)由图象可得满足k1x＋b＜ eq \f(k2,x) 的x的取值范围是－1＜x＜0或x＞4 (2)反比例函数的解析式为y＝－ eq \f(4,x) ，一次函数的解析式y＝－x＋3 (3)设直线AB与y轴的交点为C，∴C(0，3)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ eq \f(1,2) ×3×1＋ eq \f(1,2) ×3×4＝ eq \f(15,2) .∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△AOP＝ eq \f(15,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,2) ，∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝ eq \f(5,2) － eq \f(3,2) ＝1.设点P的坐标为(xP，yP)，∴ eq \f(1,2) ×3·xP＝1，∴xP＝ eq \f(2,3) .∵点P在线段AB上，∴yP＝－ eq \f(2,3) ＋3＝ eq \f(7,3) ，∴P( eq \f(2,3) ， eq \f(7,3) ) $$