猜押03 规律探究题（解答题必考题）（3类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押03 规律探究题（解答题必考题） 考点 3年考题 考情分析 数式规律探究 2024年第18题 2022年18题 数式规律和图形规律探究问题的特点是:问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 图形与等式关系的规律探究 2023年第18题 图形规律探究 2021年18题 题型一 数式规律探究 1．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 2．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 3．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 4．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 5．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 6．（2025·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题． (1)先研究偶数的平方数问题，过程如下： ， ， ， ， 按照以上规律，完成下列问题： （）______________________； （）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想； (2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）． 7．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 8．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律： （i）第4个等式为：； （ii）第n个等式为：___________________． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（①__________________） 不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系． 9．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 10．（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 11．（2025·安徽淮北·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律， （ⅰ）第4个等式为：（____________）； （ⅱ）第n个等式为：______． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明： （__①__________）， ∴不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系． 12．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ① ② ③ ④ …… (1)请根据你发现的规律填空：________=________； (2)用含的等式表示上面的规律：_________； (3)用你发现的规律解决下列问题： 计算． 13．（2025·安徽合肥·一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 14．（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 15．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 16．（安徽中考特色规律探究解答题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 17．（安徽中考特色规律探究解答题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 18．（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 题型二 图形与等式关系的规律探究 1．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 2．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 3．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 4．（安徽中考特色规律探究解答题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 5．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 7．（2025·安徽·一模）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 8．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 9．（2024·安徽·二模）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 10．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 11．（2024·安徽·三模）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 12．（2025·安徽合肥·一模）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上博弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________． (2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值． 13．（2025·安徽合肥·一模）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多块，求的值． 14．（2025·安徽·模拟预测）下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…… (1)请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个； (2)问第几个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个． 16．（2022·安徽宣城·一模）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 17．（2024·安徽滁州·一模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． (1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） (2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 18．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 19．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黑色方块的个数为__________． （2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________． 【规律应用】 （3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 题型三 图形规律探究 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 2．（安徽中考特色规律探究解答题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 3．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 4．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 5．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 6．（2024·安徽合肥·三模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点，其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的，如图①． 如图②是一层墙体，当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为　　　　（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为　　　　． 【规律应用】 （3）已知横放的方砖长为，竖放方砖的宽为，需要砌一段长为的一层墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押03 规律探究题（解答题必考题） 考点 3年考题 考情分析 数式规律探究 2024年第18题 2022年18题 数式规律和图形规律探究问题的特点是:问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 图形与等式关系的规律探究 2023年第18题 图形规律探究 2021年18题 题型一 数式规律探究 1．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查平方差公式； （1）根据表格得出规律即可； （2）根据平方差公式得出结论即可． 【详解】（1）解：根据表格得出： ； ； （2）解：①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 2．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 3．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键； （1）观察前几个式子得出第5个等式：； （2）猜想：第个等式为，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：第个等式为 证明：左边 右边 左边右边 ∴ 4．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 5．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除． 对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明： （i）星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c． ∵， ∴若能被3整除，则该三位数能被3整除． （ii）宁宁同学对四位数进行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d． ∵ ， ∴若能被3整除，则该四位数能被3整除． (1)请写出横线上所缺内容． (2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下： …… 请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件． 【答案】(1)（i），；（ii）， (2)补充证明过程见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用， (1)仿照题干给定的方法填空即可；仿照题干给定的方法填空即可； (2)仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证； 熟练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：星星同学对三位数进行了证明： 设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c， ， 若能被3整除，则该三位数能被3整除； 故答案为：，； 宁宁同学对四位数讲行了证明： 设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是， ∵ ， 故答案为：，， 若能被3整除，则该四位数能被3整除； （2）解：补充推理讨程如下： ， 若能被11整除，则该四位数能被11整除． 6．（2025·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题． (1)先研究偶数的平方数问题，过程如下： ， ， ， ， 按照以上规律，完成下列问题： （）______________________； （）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想； (2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）． 【答案】(1)（），；（），，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，完全平方公式，掌握数字类规律探索是解题的关键． （1）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可得到结果，根据完全平方公式计算，即可证明； （2）根据题干中推理方法，即可得出结果． 【详解】（1）解：（）根据规律可得； 故答案为：，； （）根据规律可得（为正整数）； 证明： ， （为正整数）．； 故答案为：，； （2）解：（为正整数）． 理由：， ， ， ， （为正整数）． 故答案为：，． 7．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案． （3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是： 故答案为：． （2）猜想第 n个等式是． 故答案为：． （3）证明：等式左边 左边=右边， ∴等式成立． 8．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律： （i）第4个等式为：； （ii）第n个等式为：___________________． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（①__________________） 不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系． 【答案】(1)（i）5，4；（ii） (2)证明见解析， 【分析】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的关系． （1）（i）根据前3个等式的关系，直接写出第4个等式；（ii）由前四个等式，找到规律即可写出第n个等式； （2）利用多项式乘以多项式及完全平方公式将等号左边展开，再与等号右边对比即可． 【详解】（1）解：（i）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 第4个等式为：； （ii）由（i）可得第n个等式为：； （2）证明：左边 ， 右边， 不一定等于； 当时， 左边右边， ，其中a，b为正整数，且． 9．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 10．（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式即可． （2）结合（1）的结论，得，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）根据题意得，第4个等式：； （2）猜想第个等式为． 证明：等式左边， 等式右边， 左边右边， 第个等式为． 11．（2025·安徽淮北·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律， （ⅰ）第4个等式为：（____________）； （ⅱ）第n个等式为：______． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明： （__①__________）， ∴不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系． 【答案】(1)（ⅰ）4；5；（ⅱ） (2)，猜想成立时， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． （1）（ⅰ）根据题意写出第4个等式即可；（ⅱ）第n个等式左边的第一项为n的平方，第二项为n的平方乘以的平方，第三项为的平方，等式右边为的平方，据此可得答案； （2）利用完全平方公式展开即可得到①的答案，再根据猜想成立时要满足可得结论． 【详解】（1）解：（ⅰ）由题意得，第4个等式为：； （ⅱ）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为：； ……， 以此类推可知，第n个等式为：． （2）解： ， ∴不一定等于； 要使猜想成立，则， ∴， ∵为正整数， ∴，即． 12．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ① ② ③ ④ …… (1)请根据你发现的规律填空：________=________； (2)用含的等式表示上面的规律：_________； (3)用你发现的规律解决下列问题： 计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴， 故答案为：． （3）解：原式， 故答案为：． 13．（2025·安徽合肥·一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 【答案】(1) (2)495 (3)，， 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意继续写出第5组和第6组数字，进而找到规律求解即可； （3）根据题意得到最大数可表示为，最小数可表示为，然后作差求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 第4组：数字6，9，3，则； （2）第5组：数字5，9，4，则； 第6组：数字5，9，4，则； ∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是495； （3）设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等， 最大数可表示为，最小数可表示为， ∴ ∴所以最大数和最小数的差能被99除． 14．（2025·安徽合肥·一模）观察下列各个式子： ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)________________； (2)________________（用含的式子填空），并证明该等式． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】（）根据已知等式写出式子即可； （）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证； 本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知等式可得，， 故答案为：，； （2）解：． 证明：∵ ， ∴， 故答案为：，． 15．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 16．（安徽中考特色规律探究解答题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 17．（安徽中考特色规律探究解答题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 18．（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 【答案】任务1： 任务2： 任务3：， 【分析】本题考查了数字的变化规律、乘方，解题关键是要读懂题目的意思，举一反三． （1）根据方法1：“头尾相加法”即可解答； （2）根据方法2，“递归法”，计算即可； （3）根据规律仿写并计算即可． 【详解】解：（1）根据方法1，， 同时， 相加得： 可得：， 故答案为：； （2）根据方法2:，有： ； ； ； ； 两边相加可得，， ∴； 故答案为：； （3）； ； ； ； 两边相加得： ． 题型二 图形与等式关系的规律探究 1．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图形得到规律写出答案即可； （2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可； （3）利用（2）中得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）由图①可得， ， ； ； ； …… ， 故答案为：， （2）通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式： 故答案为： （3） 2．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①； ②； ③； ④． (1)请用上面的拆分方法拆分； (2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据） 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式与几何图形结合，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据规律写出式子，再计算等式左右两边，比较即可； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④．则； （2）解：依据题中等式的规律可得：①；②；③； ④． 则第个式子为， 理由：∵右边，左边， ∴左边右边， ∴成立； （3）解：如图，满足要求. ， 大正方形面积为等于小正方形的面积加两个矩形面积， 即. 3．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 4．（安徽中考特色规律探究解答题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 5．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 7．（2025·安徽·一模）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能 【分析】本题主要考查图形规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，找出规律即可求解； （2）结合（1）中的规律分别算出，第n个图和第个图中（★）的数量，再根据整式的计算即可求解； （3）根据题意，假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗，得到，则，由此判定假设的情况，即可求解． 【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列， 第2个图有6颗（★），二行三列，， 第3个图有12颗（★），三行四列，， 第4个图有20颗（★），四行五列，， ∴第5个图有30颗（★），五行六列，， 第6个图有42颗（★），六行七列，， 第8个图有72颗（★），八行九列，， ∴第8个图形比第6个图形多颗星（★）， 故答案为：，； （2）根据上述计算得到，第n个图，行列，，有颗（★） 第个图，行列，，有颗（★） ∴， 故答案为：； （3）假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗， ∴， 解得，， ∵不是正整数， ∴假设不成立， ∴第个图形不能比第个图形中的星恰好多颗． 8．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)10，27 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律． （1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可； （2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， …， ∴图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∴图4中有个“△”，图5中有个“★”； （2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∵设图中有个“△”，个“★”， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 9．（2024·安徽·二模）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律： （1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可； （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可． 【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 10．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为6 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题； （2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题； （3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为； 第2个图案中“☆”的个数为； 第3个图案中“☆”的个数为； …… 第n个图案中“☆”的个数为； 即图案5中“☆”的个数为 故答案为： （2）由题知， 第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； …… 第个图案中“★”的个数为； 故答案为：． （3）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 11．（2024·安徽·三模）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 12．（2025·安徽合肥·一模）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上博弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________． (2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值． 【答案】(1)， (2)n的值为10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】（1）解：第1个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第2个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第3个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第4个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解方程得：， 所以正整数n的值为10． 13．（2025·安徽合肥·一模）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多块，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据图形找出变化规律即可求解； （）根据（）得出的规律列出方程计算即可； 本题考查了图形的变化规律，列代数式，一元一次方程应用，根据已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：当六边形地砖数量为块时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 由题意得，， 解得， ∴的值是． 14．（2025·安徽·模拟预测）下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 【答案】(1)17，28 (2)的值为8 【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形找到规律即可得到答案； （2）根据（1）中的规律得到在第个图案中，“◎”的个数为，“●”的个数为，根据题意列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中有“◎”5个，有“●”个； 第2个图案中有“◎”个，有“●”个； 第3个图案中有“◎”个，有“●”个； 即可得到第5个图案中有“◎”个，有“●”个； 故答案为：17，28 （2）按照（1）中的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数为 在第个图案中，“●”的个数为， 根据题意可得， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…… (1)请用含的代数式分别表示图中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个； (2)问第几个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查了图形类规律探索、一元一次方程的应用，观察图形，正确得出规律是解此题的关键． （1）依次求出图形中白色和灰色小正方形的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中的规律得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可得： 图1中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图2中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； 图3中灰色小正方形的个数为个，白色小正方形的个数为个； …… ∴示图中，白色小正方形有个，灰色小正方形有个； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴第个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个． 16．（2022·安徽宣城·一模）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）34；（2）；（3）存在，第10个图形由114个棋子组成 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题． （1）观察得到每一个图形中的棋子数等于图形个数乘以比个数多1的数再加4，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】解：（1）∵由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ∴第5个图形中有个圆形棋子， 故答案为：34． （2）由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）存在，理由如下： 令， 解得，（舍去）． ∴存在，第10个图形由114个棋子组成． 17．（2024·安徽滁州·一模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． (1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） (2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)第个图中小圆的个数恰好为个 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； 第个图形有小圆个， 故答案为：． （2）解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得 ，（不符题意，舍去） 答：第个图中小圆的个数恰好为个． 18．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35；（2）；（3）该物体在第次测量时移动了195米 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图得出规律即可解答； （2）根据图得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解； 【详解】解：（1）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图⑤中共有个小正方形． 故答案为：35； （2）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图n中共有个小正方形． 故答案为：； （3）由题意得， 整理得，， 解得（舍去）， ． 答：该物体在第次测量时移动了195米． 19．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黑色方块的个数为__________． （2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________． 【规律应用】 （3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）依次求出图形中黑色方块及黑、白两种方块的总数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑、白两种颜色地砖个数变化的规律是解题的关键． 【详解】解：（1）（2）由所给图形可知。 第1个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：； 第2个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： 第3个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： ….. ∴第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：； （2）由（1）得：第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： 如果白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024 则 解得： 因为n为正整数， 所以白色方块的个数不能比黑色方块的个数多2024 题型三 图形规律探究 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 2．（安徽中考特色规律探究解答题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块 【分析】（1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 故答案为：2 ； （2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块； 故答案为：； （3）令    则 当时， 此时，剩下一块等腰直角三角形地砖 需要正方形地砖1008块． 【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等． 3．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】(1)35 (2)或个 (3)个 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解． 【详解】（1）解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个， 故答案为：35； （2）解：， ， ， ， …… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； （3）解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 4．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)13，13 (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）∵第一个图中1个三角形， 第二个图中5个三角形， 第三个图中9个三角形， ∴图4中有13个三角形，记作 （2）由（1）可得， 图中有个三角形，记作； （3） ． 5．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 6．（2024·安徽合肥·三模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点，其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的，如图①． 如图②是一层墙体，当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为　　　　（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为　　　　． 【规律应用】 （3）已知横放的方砖长为，竖放方砖的宽为，需要砌一段长为的一层墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块 【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案。 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为： （3）当时， 解得， 竖放的方砖总数为105，横放的方砖总数为， 方砖的总数为块， 答：需要方砖423块． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$