单元清二（单元清）-【四清导航】2023-2024学年八年级数学下册（人教版 辽宁专用）

检测内容：第十七章　勾股定理 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，则AB的长为(C) A．2 B． C．2 D． 　　　 2．下列各组线段中能构成直角三角形的一组是(A) A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为(B) A．2.1 B．－1 C． D．＋1 4．已知△ABC的三边长为a，b，c，如果(a－6)2＋|b－8|＋c2－20c＋100＝0，则(C) A．△ABC是以a为斜边的直角三角形 B．△ABC是以b为斜边的直角三角形 C．△ABC是以c为斜边的直角三角形 D．△ABC不是直角三角形 5．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的(B) A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上 　　　　 6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是(A) A．2 B．2 C．4 D．7 7．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D) A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，若以AC边和BC边为直角边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC，△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1＋S2＝(C) A．4 B．9 C．18 D．36 　　　　 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，按以下步骤作图：第一步，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；第二步，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；第三步，作射线AP，交BC于点E.则AE的长为(A) A． B．8 C． D．10 10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE＝，BC＝1，CD＝，则CE的长是(D) A． B． C． D． 解析：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示， 则∠BFC＝90°.∵点E为AB的中点，DE⊥AB，∴BD＝AD，AE＝BE.∵∠DAB＝30°，∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2，∴AE＝BE＝3.∵BC2＋BD2＝12＋(2)2＝13＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，∴∠CBF＝180°－30°－90°＝60°.∵∠BFC＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝，CF＝，∴EF＝BE＋BF＝.在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝＝ 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在△ABC中，若AC2＝BC2－AB2，则∠__BAC__＝90°. 12写出命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题：__如果3a＝3b，那么a＝b__． 13．如图，平面直角坐标系中，已知点A(－1，－3)和点B(1，－2)，则线段AB的长为____． 　　　　 14．如图，长方体的长、宽、高分别为8 cm，4 cm，5 cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是____cm. 15．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图①)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图②的形式摆放，那么图②中最大的正方形的面积为__27__． 三、解答题(共75分) 16．(10分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. (1)求△ABC的周长； (2)求证：∠ABC＝90°. 解：(1)AB＝＝2，AC＝＝5，BC＝＝，∴△ABC的周长为3＋5 (2)证明：∵AB2＋BC2＝20＋5＝25＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠ABC＝90° 17．(8分)如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长． 解：在△ABD中，∠D＝90°，∴AB2＝(CB＋CD)2＋AD2.在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2，∴AB2－(CB＋CD)2＝AC2－CD2.∵CB＝9，AB＝17，AC＝10，∴172－(9＋CD)2＝102－CD2，∴CD＝6，∴AD＝＝＝8 18．(8分)如图所示是斜坡AC上一根电线杆AB用钢丝绳BC进行固定的平面图．已知斜坡AC的长度为8 m，钢丝绳BC的长度为10 m，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，若CD＝4 m，则电线杆AB的高度是多少米？(结果保留根号) 解：过点C作CE∥AD交AB于点E，∴AE＝CD＝4 m，CE＝AD.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝4(m)，∴CE＝AD＝4 m．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°，∴BE＝＝＝2(m)，∴AB＝AE＋BE＝(4＋2) m，即电线杆AB的高度是(4＋2) m 19．(8分)下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c. 求证：a2＋b2＝c2. 方法一 如图，大正方形的边长为(a＋b)，小正方形的边长为c. 证明： 方法二 如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为(b－a). 证明： 证明：方法一，由图可得，(a＋b)2＝c2＋ab×4，化简，得a2＋b2＝c2； 方法二，由图可得，c2＝ab×4＋(b－a)2，化简，得a2＋b2＝c2 20．(8分)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴AE＝OA＝10，∴BE＝＝＝6，∴CE＝4，∴E(4，8).在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.又DE＝OD，∴(8－OD)2＋42＝OD2，∴OD＝5，∴D(0，5) 21．(9分)如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达位于大门A正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B(点A，B，C，D，E在同一平面内)，其中AC＝500米，BC＝1 300米，AD＝600米，BE＝400米． (1)求A，B两点的距离； (2)为增强游客的游览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交会于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长． 解：(1)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，由勾股定理得，AB＝＝＝1 200(米)，∴A，B两点的距离为1 200米 (2)∵BE＝400米，AB＝1 200米，∴AE＝800米．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，由勾股定理得，DE＝＝＝1 000(米)，由面积法得AD×AE＝DE×AF，∴AF＝＝＝480(米)，∴玻璃廊桥AF的长为480米 22．(12分)课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，__60__，__61__； (2)若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝，…，于是他很快表示了第二个数为，则用含a的代数式表示第三个数为____； (3)用所学知识说明(2)中所得的结论． 解：(3)∵a2＋()2＝，()2＝，∴a2＋()2＝()2.又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数 23．(12分)【问题初探】 已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°. (1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则： ①线段PB＝____，PC＝__2__； 【提出猜想】 　 ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__PA2＋PB2＝PQ2__； 【结论证明】 (2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程． 解：(2)证明：过点C作CD⊥AB于点D.∵△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.∵在Rt△PCD中，由勾股定理得PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2，∴PA2＋PB2＝PQ2 学科网（北京）股份有限公司 $$