重难点24 与平行四边形有关的最值与定值问题六大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点24 与平行四边形有关的最值与定值问题 【题型一 平行四边形中的最值问题】 1．（2024春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　） A． B．3 C．2 D．2 2．（2024春•凤城市期末）如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点E是折线BC﹣CD﹣DA上的一个动点（不与A、B重合）．则△ABE的面积的最大值是（　　） A． B．1 C．3 D．2 4．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，△APB中，AB，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积最大值是（　　） A．1 B．2 C． D． 5．在等边中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形，如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ． 6．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的最大值与最小值的和是 　 ． 7．（2024春•前郭县期末）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题． 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求证：OE＝OF； 【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 　　 ，EF的最小值为 　　 ． 【题型二 矩形中的最值问题】 1．（2024•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024春•靖江市校级月考）如图，矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 3．（2024春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 4．（2025•花山区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M为AD的中点，N为BC上一动点，点B′、D′分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B′D′交MN于点E，则CE的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•灌南县期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　 　． 6．（2024•平遥县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为直线BC下方一点，且以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为 　 　． 7．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出周长的最小值． （2）)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【题型三 菱形中的最值问题】 1．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（　　） A．8 B．10 C．10.4 D．12 2．（2024秋•南关区校级期中）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，P是对角线AC上一点．若BC＝CD＝2，∠DCB＝60°，则PB+PE的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D．4 3．（2024•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A． B． C． D．2 4．（2024春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A．4 B．8 C．8 D．4+4 5．（2024春•青县期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值 　 　． 6．（2024春•兴宁区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，OC＝4，OB＝3，DH⊥AB于点H，点E是AD上一点，且AD＝5DE，点F是DH的中点，点P是线段BD上一动点．点P在运动过程中，PE+PF的最小值为 　 ． 7．（2024春•潮阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），∠C＝60°，点M在边BC上移动（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、B重合），在移动的过程中保持CM+AN＝8． （1）连结OM，ON，求∠MON的大小； （2）求△OMN周长的最小值及此时点N的坐标； （3）在（2）的结论下，若P为平面内一点，当以点O，N，A，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【题型四 正方形中的最值问题】 1．（2024春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 2．（2024春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（2024秋•长丰县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 4．（2024•科尔沁区模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　） A． 3 B．22 C．2 D．23 B． 5．（2024•永寿县模拟）如图，在△ABP中，，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 　 　． 6．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 7．如图1，点P是正方形ABCD对角线BD上一点（不与B，D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接PA、EF． （1）请探究线段AP与线段EF的大小关系； （2）如图2，若AB＝4，点H是AD的中点，求AP+HP的最小值． 【题型五 平行四边形中的定值问题】 1．（2024春•方城县期中）如图，四边形ABCD、AEFD均为平行四边形，边AE、DC相交于点P，边BC、EF在同一条直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则△ACE的面积与△PCF的面积差的变化情况是（　　） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 2．（2024春•温州期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，点F在线段AB上，依次连接EB、EC、FC，当点F从点B出发向点A运动时（点F不与B，A重合），△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是（　　） A．先变小，再变大 B．一直不变 C．一直变小 D．一直变大 3．如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM＝∠PBN，则在整个运动过程中，下列各值：①∠APB；②PA+PB；③；④S△PAB中，一定为定值的是 　 　 ．（填序号） 4．（1）如图1，△ABC的面积是10，E是BC的中点，连接AE，△AEC的面积是　 　 ； （2）如图2，四边形ABCD的面积是10，E、F分别是一组对边AB、CD的中点，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是　 ； （3）如图3，E、F分别是一组对边AB、CD上的点，且AEAB，CFCD，若四边形ABCD的面积是10，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是　 　 ； （4）如图4，平行四边形ABCD的面积是2，AB＝a，BC＝b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动，点F从点B出发沿BC以每秒个单位长的速度向点C运动．E、F分别从点A、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的． 5．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　 ． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 6．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【题型六 特殊平行四边形中的定值问题】 1．（2024秋•郓城县期中）如图所示，矩形ABCD中，AB＝30，AD＝40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 2．（2024春•河东区期末）亮亮学习《平行四边形》以后，利用身边的工具进行了如下操作与探究： 如图1，在边长为4的正方形纸板ABCD上，放置了一个三角板PEQ，作射线AC，使直角顶点E在射线AC上运动，EP始终经过点D，EQ交BC于点F． 依照上面操作，点E运动到如图2位置时，连接DE，EF，过点F作FG⊥EF于点F，过点D作DG⊥FG于点G，于是得到矩形DEFG，通过证明它的一组邻边相等，易证矩形DEFG为正方形，亮亮又作了如下思考，请你帮他完成以下问题： （1）若点E运动到线段AC的延长线上时，以上结论还成立吗？若成立，应该怎样画图，证明呢？若不成立，理由是什么？ （2）在（1）的情况下，若连接CG，CG﹣CE的值是否为定值？若是，结果是多少（直接写出结果即可）？若不是，理由是什么？ 3．（2024春•温江区期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝a，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系． 【深入研究】 （2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值．若是，求出△PCF的周长；若不是，请说明理由． 4．（2024春•思明区校级期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MNBF． （1）求证：BN⊥AF； （2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 5．（2024春•路桥区期中）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边BC上，作∠EAF＝60°，与CD相交于点F，AE，AF与对角线BD分别相交于点H，G． （1）如图1，当点E是BC中点时，　　 ； （2）如图2． ①求证：CF＝BE； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 6．已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与AD，BC分别相交于点E、F （1）如图①，请判断AE与CF的关系，并说明理由； （2）如图①，将平行四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、P，请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明； （3）如图②，若△COD是等边三角形，且OC＝CF＝2，请判断（）2是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由． 1．（2024春•惠安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 2．（2024春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为，则OA+OB的值等于（　　） A．7 B． C．8 D．8.5 3．（2024•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 4．（2024春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．9 C．9 D． 5．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（　　） A．10 B．83 C．63 D．35 6．（2024秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 　 ． 7．（2024•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为 　 ． 8．（2024秋•鲤城区校级月考）如图所示四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）四边形ABCD 　 　 平行四边形（是或不是）； （2）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （3）当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点24 与平行四边形有关的最值与定值问题 【题型一 平行四边形中的最值问题】 1．（2024春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　） A． B．3 C．2 D．2 【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°， ∵CF⊥AB，AN⊥CD， ∴AN∥CF，∠BCF＝30°， ∴四边形AFCN是平行四边形，BFBC＝2，CFBF＝2， ∴AN＝CF＝2， ∵AN⊥CD，∠D＝60°， ∴∠NAD＝30°， ∴ENAN，AEEN＝3， ∵AM⊥BC，NE⊥AD， ∴AM∥EN， ∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024春•凤城市期末）如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，得到CK∥l2，因此AM＝2，MN＝4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ（ASA），CP＝AM＝2，得到HN＝2，求出AH＝8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值． 【解答】解：过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P， ∵l1∥l2， ∴CK∥l2， ∴AH⊥l1，AH⊥l2， ∴AM＝2，MN＝4， 由题意得：BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠BAM＝∠QCD，AB＝CD， ∵l1∥l2， ∴∠ABM＝∠CDQ， ∴△ABM≌△CDQ（ASA）， ∴CP＝AM＝2， ∴HN＝CP＝2， ∴AH＝2+4+2＝8， ∵AC≥AH， ∴点A与点C之间距离的最小值是8． 故选：B． 【点评】本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到AC≥AH，求出HN即可解决问题． 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点E是折线BC﹣CD﹣DA上的一个动点（不与A、B重合）．则△ABE的面积的最大值是（　　） A． B．1 C．3 D．2 【分析】分三种情况讨论： ①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大，②当E在CD上时，如图2，△ABE的面积不变，③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 【解答】解：分三种情况： ①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1， 过A作AF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠B＝60°， Rt△ABF中，∠BAF＝30°， ∴BFAB＝1，AF， ∴此时△ABE的最大面积为2； ②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积S▱ABCD2； ③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积＝2， 综上，△ABE的面积的最大值是2； 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题． 4．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，△APB中，AB，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积最大值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形PCDE平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积＝EP×CF＝abab，最后根据a2+b2＝8，判断ab的最大值即可． 【解答】解：如图，延长EP交BC于点F， ∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°， ∴∠EPC＝150°， ∴∠CPF＝180°﹣150°＝30°， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB＝PC， ∴PF⊥BC， 设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b， 则CFCPb，a2+b2＝（2）2＝8， ∵△APE和△ABD都是等边三角形， ∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB， 在△EAD和△PAB中， ， ∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED＝PB＝CP， 同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP＝AP＝CD， ∴四边形PCDE是平行四边形， ∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝abab， 又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0， ∴2ab≤a2+b2＝8， ∴ab≤2， 即四边形PCDE面积的最大值为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线． 5．在等边中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形，如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可． 【详解】解：∵在等边中，，AD为边BC的中线， ∴BD＝CD＝， ∴AD＝， 如图，有三种情况． 在图1中，对角线AC＝2； 在图2中，过点A′作A′E⊥AD交AD的延长线于E， 在Rt△AE A′中，AE＝AD＋DE＝AD＋A′C＝，A′E＝CD＝1， ∴AA′＝； 在图3中，过点B作BF⊥CD交CD的延长线于F， 在Rt△BFC中，BF＝AD＝，CF＝DF＋CD＝2CD＝2， ∴BC＝， ∵， ∴对角线长度的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的拼接，平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的最大值与最小值的和是 　 ． 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【解答】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°， ∴EP＝OD＝a， Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EHEPa， ∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OCOA＝2，即a+2b的最小值是4； 当P在点B时，如图2，OC＝2，AC＝BC＝2， Rt△CHP中，∠HCP＝30°， ∴PH，CH＝3， 则OH的最大值是：OC+CH＝2+3＝5，即（a+2b）的最大值是5， ∴4≤a+2b≤5， 4+5×2＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 7．（2024春•前郭县期末）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题． 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求证：OE＝OF； 【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 　　 ，EF的最小值为 　　 ． 【分析】【教材原题改编】由四边形ABCD是平行四边形，得到OB＝OD，AB∥DC，因此∠EBO＝∠FDO，又∠BOE＝∠DOF，即可证明△BEO≌△DFO，得到OE＝OF． 【结论应用】由勾股定理求出BD的长，求出△ABD的面积，由△BEO≌△DFO，得到四边形ADFE的面积＝△ABD的面积＝6，当EF⊥AB时，EF的值最小，由三角形面积公式即可求出EF的最小值为2.4． 【解答】【教材原题改编】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥DC， ∴∠EBO＝∠FDO， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BEO≌△DFO， ∴OE＝OF． 【结论应用】解：∵∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3， ∴BD4， ∴△ABD的面积AD•BD＝6， ∵△BEO≌△DFO， ∴四边形ADFE的面积＝△ABD的面积＝6， 当EF⊥AB时，EF的值最小， ∵△ABD的面积AD•BDAB•FE， ∴3×4＝5FE， ∴EF＝2.4， ∴EF的最小值为2.4． 故答案为：6，2.4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由△BEO≌△DFO，得到四边形ADFE的面积＝△ABD的面积；当EF⊥AB时，EF的值最小，由三角形的面积公式，即可求解． 【题型二 矩形中的最值问题】 1．（2024•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝ODBD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键． 2．（2024春•靖江市校级月考）如图，矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】作CG⊥BD于点G，连接PC，可证明四边形PECF是矩形，所以EF＝CP，则∠ECF＝90°，CD＝5，BC＝12，求得BD＝13，由S△BCD13CG5×12，求得CG，由CP≥CG，得EF，则EF的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：作CG⊥BD于点G，连接PC， ∵四边形ABCD是矩形，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， ∴∠ECF＝∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝CP， ∵CD＝5，BC＝12， ∴BD13， ∴S△BCD13CG5×12， ∴CG， ∵CP≥CG， ∴EF， ∴EF的最小值为， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2024春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE， 则BE＝2AB＝8， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∴CE10， ∴PC+PB的最小值为10， 即PC+QD的最小值为10， 故选：B． 【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE是解题的关键． 4．（2025•花山区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M为AD的中点，N为BC上一动点，点B′、D′分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B′D′交MN于点E，则CE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BE，DE先根据折叠得到点E在BD上，即当CE⊥BD时，CE最小，然后根据勾股定理得到BD长，再利用面积法求出CE的最小值即可． 【解答】解：由折叠得∠DEM＝∠D′EM＝∠B′EN＝∠BEN， ∴点B、E、D共线，即点E在BD上， ∴当CE⊥BD时，CE最小，这时， ∵ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴， 又∵， ∴， 所以CE的最小值为， 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．（2024春•灌南县期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　 　． 【分析】先由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝ODBD＝6，再由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，然后由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；掌握矩形的性质是解题的关键． 6．（2024•平遥县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为直线BC下方一点，且以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为 　 　． 【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF． 【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°， ∵点F是CD中点，点O是BC的中点， ∴CF＝3，CO＝4， ∴OF5， ∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点， ∴OE＝OC＝4， ∵根据三角形三边关系可得：OE+OF＞EF， ∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝4+5＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键． 7．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出周长的最小值． （2）)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【分析】（Ⅰ）①根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； ②作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接'交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，利用勾股定理即可求得周长的最小值； （2）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【解答】（1）解：①∵矩形，，， ∴，，，， ，，， ∵为等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式，过点、点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式； ②作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接'交轴于点，交于，此时的周长最小， ∴，， 在中，， ∴周长的最小值为． （2）如图，作于， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴，， 又∴，   ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，两点之间线段最短．灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【题型三 菱形中的最值问题】 1．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（　　） A．8 B．10 C．10.4 D．12 【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长． 【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大， ∵四边形AECF是菱形 ∴AE＝CF＝EC＝AF， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， ∴AE2＝1+（5﹣AE）2， ∴AE＝2.6 ∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键． 2．（2024秋•南关区校级期中）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，P是对角线AC上一点．若BC＝CD＝2，∠DCB＝60°，则PB+PE的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D．4 【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD＝2， ∴▱ABCD是菱形， 连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB， ∴PE+PB＝PE+PD＝DE， 即DE就是PE+PB的最小值． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝2， ∴△DCB是等边三角形， ∵BE＝CE＝1， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt△ADE中，DE． 即PB+PE的最小值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键． 3．（2024•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FDMD， ∴FM＝DM×， ∴MC， ∴A′C＝MC﹣MA′1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 4．（2024春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A．4 B．8 C．8 D．4+4 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为8， ∴DE4， ∴2DE＝8． ∴MA+MB+MD的最小值是8． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 5．（2024春•青县期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值 　 　． 【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值． 【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2， 连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴， ∴Rt△BHC中，BH＝CH， ∴HG＝HC﹣GC＝3﹣2＝1， ∴Rt△BHG中，BG， ∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短）， ∴PE+PF的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理． 6．（2024春•兴宁区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，OC＝4，OB＝3，DH⊥AB于点H，点E是AD上一点，且AD＝5DE，点F是DH的中点，点P是线段BD上一动点．点P在运动过程中，PE+PF的最小值为 　 ． 【分析】如图，在DC上取，由菱形可推知DI＝DE，PI＝PE，，进一步由菱形面积求得，，Rt△FDI中，，，所以PE+PF＝PF+PI≥FI，故最小值为． 【解答】解：如图，在DC上取， ∵四边形ABCD是菱形，为轴对称图形， ∴DI＝DE，PI＝PE， ∵OD＝3，OC＝4， ∴， ∴AB＝CD＝5， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠FDI＝∠AHD＝90°， 在Rt△FDI中，， ， ∴PE+PF＝PF+PI≥FI， ∴PE+PF的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键． 7．（2024春•潮阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），∠C＝60°，点M在边BC上移动（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、B重合），在移动的过程中保持CM+AN＝8． （1）连结OM，ON，求∠MON的大小； （2）求△OMN周长的最小值及此时点N的坐标； （3）在（2）的结论下，若P为平面内一点，当以点O，N，A，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）由“SAS”可证△COM≌△BON，可得OM＝ON，∠BON＝∠COM，即可求解； （2）可证△MON是等边三角形，可得△OMN周长＝3OM，当OM⊥BC时，△OMN周长有最小值，由等边三角形的性质可求解； （3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质列出等式，即可求解． 【解答】解：（1）连接BO， ∵四边形ABCO是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），∠C＝60°， ∴AO＝BA＝BC＝8，△BOC和△AOB是等边三角形， ∴CM+BM＝8，AN+BN＝8，BO＝CO，∠ABO＝∠C＝60°＝∠AOB， ∵CM+AN＝8，∠C＝60°， ∴BN＝CM， ∴△COM≌△BON（SAS）， ∴OM＝ON，∠BON＝∠COM， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝∠BOC＝60°； （2）∵OM＝ON，∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形， ∴△OMN周长＝3OM， ∴当OM⊥BC时，△OMN周长有最小值， ∵△OBC是等边三角形， ∴CM＝BMBC＝4，OMCM＝4， ∴△OMN周长的最小值为12，点B坐标为（4，4）， ∵BN＝CM＝4， ∴点N为AB的中点， ∴点N（6，2）； （3）设点P（x，y）， 由题意可得：点N（6，2），点A（8，0），点O（0，0）， 当AO为对角线时， 由题意可得：， 解得：， ∴点P（2，﹣2）， 当AN为对角线时， 由题意可得：， 解得：， ∴点P（14，2）， 当ON为对角线时，， ∴， ∴点P（﹣2，2）， 综上所述：点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）或（14，2）． 【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【题型四 正方形中的最值问题】 1．（2024春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MCBC＝3，即可得出结果． 【解答】解：连接MC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠DBC＝45°， ∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F ∴四边形MECF为矩形， ∴EF＝MC， 当MC⊥BD时，MC取得最小值， 此时△BCM是等腰直角三角形， ∴MCBC3， ∴EF的最小值为3； 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 2．（2024春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF＝OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OPBC， ∵AC＝2， 则BC＝2， ∴OP＝1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 3．（2024秋•长丰县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】过点H作HM⊥BC于点M，过H点作PQ∥BC，分别与AB、CD交于点P、点Q，证明△AEF≌△MHE，得BE＝MH＝3，BF＝ME，设BF＝x，根据勾股定理用x表示CH，再解析式特点求得CH的最小值． 【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，连接CH， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝HE，∠FEH＝90°， ∴∠BEF+∠MEH＝∠MEH+∠MHE＝90°， ∴∠BEF＝∠MHE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°＝∠EMH， ∴△BEF≌△MHE（AAS）， ∴BE＝HM＝3，BF＝EM， 设BF＝EM＝x，则CM＝BC﹣BE﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x， ∴CH， ∵0≤x≤4， ∴当x＝4时，CH有最小值为CH 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等，确定H点运动的轨迹． 4．（2024•科尔沁区模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　） A．3 B．22 C．2 D．23 【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EIF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OIBE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， ∵BF＝EG， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB ∵∠ABF+∠AFB＝90° ∴∠ABF+∠BEG＝90° ∴∠EIF＝90°， ∴BF⊥EG； ∵△EIB是直角三角形， ∴OIBE， ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2， ∵OD﹣OI≤DI， ∴当O、D、I共线时，DI有最小值， ∵IOBE＝2， ∴OD2， ∴ID＝22，即DI的最小值为22， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题． 5．（2024•永寿县模拟）如图，在△ABP中，，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 　 　． 【分析】如图①，连接BN、NP，证明△ADP≌△ABN（SAS），则当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线，如图②，过A作AH⊥BN于H，则∠APH＝45°，，由勾股定理，计算求解即可． 【解答】解：如图①，连接BN、NP， ∵四边形APMN和四边形ABCD均是正方形， ∴AD＝AB，AP＝AN，∠DAB＝90°＝∠PAN， ∴∠DAP＝∠BAN， ∴△ADP≌△ABN（SAS）， 当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线， 如图②，过A作AH⊥BN于H， ∴∠APH＝45°， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，连接FH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形MHNB是矩形， ∴MH＝BN， ∵BE＝2， ∴EC＝3， ∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC， ∴EC＝EH＝3，EN＝NC＝1.5，∠HEC＝60°， ∴BN＝3.5＝MH， ∵△FGE是等边三角形， ∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC， ∴∠FEH＝∠GEC， 在△FEH和△GEC中， ， ∴△FEH≌△GEC（SAS）， ∴FH＝GC， ∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值， ∴点F与点M重合时，FH＝HM＝3.5， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．如图1，点P是正方形ABCD对角线BD上一点（不与B，D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接PA、EF． （1）请探究线段AP与线段EF的大小关系； （2）如图2，若AB＝4，点H是AD的中点，求AP+HP的最小值． 【分析】（1）过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明AP＝EF； （2）取CD的中点G，连接AG，交BD于P，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使AP+HP最小的点，AP+HP的最小值为AG的长度，利用勾股定理列式计算求出AG，从而得解． 【解答】解：（1）过点P作PG⊥AB于点G， ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合）， ∴GB＝GP， 同理：PE＝BE， ∵AB＝BC＝GF， ∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB， ∴AG＝PF， 在△AGP和△FPE中， ， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF； （2）取CD的中点G，连接AG，交BD于P， ∵四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，G是CD的中点， ∴H、G关于BD对称， 由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使AP+HP最小的点， AP+HP的最小值为AG的长度， ∵AB＝4， ∴AD＝4，DG＝2， ∴AG2， ∴AP+HP的最小值为2． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质以及最短距离的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 【题型五 平行四边形中的定值问题】 1．（2024春•方城县期中）如图，四边形ABCD、AEFD均为平行四边形，边AE、DC相交于点P，边BC、EF在同一条直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则△ACE的面积与△PCF的面积差的变化情况是（　　） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 【分析】由题意可得：S▱ABCD＝S▱ADFE，则可得S△ACD＝S△APD+S△PEF，即可得S△ACP＝S△PEF．则可求△ACE的面积与△PCF的面积差． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∵边BC、EF在同一条直线上 ∴BF∥AD ∴四边形ABCD、四边形AEFD是同底等高的平行四边形 ∴S▱ABCD＝S▱ADFE． ∵S△ACDS▱ABCD，S△APD+S△PEFS▱ADFE ∴S△ACD＝S△APD+S△PEF ∴S△ACP+S△APD＝S△APD+S△PEF ∴S△ACP＝S△PEF ∵△ACE的面积与△PCF的面积差＝（S△ACP+S△PCE）﹣（S△PEF+S△PCE） ∴△ACE的面积与△PCF的面积差＝0 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用面积和差关系解决问题是本题的关键． 2．（2024春•温州期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，点F在线段AB上，依次连接EB、EC、FC，当点F从点B出发向点A运动时（点F不与B，A重合），△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是（　　） A．先变小，再变大 B．一直不变 C．一直变小 D．一直变大 【分析】利用平行四边形的性质和关系式△CHE的面积与△BFH的面积差＝（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC）S△BFC，结合三角形与平行四边形的面积公式解答即可． 【解答】解：设平行四边形BC边上的高为h， ∴S平行四边形ABCD＝BC•h． ∵， ∴． 过点F作FM⊥BC，如图， ∴BC•FM． ∵△CHE的面积与△BFH的面积差 ＝（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC） S△BFC， 又∵点F从点B出发向点A运动时FM逐渐增大， ∴△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是一直变小， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形与平行四边形的面积公式，利用等式的性质将△CHE的面积与△BFH的面积差转化为（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC）解答是解题的关键． 3．如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM＝∠PBN，则在整个运动过程中，下列各值：①∠APB；②PA+PB；③；④S△PAB中，一定为定值的是 　 　 ．（填序号） 【分析】过点P作PQ∥AM交B'P'于点Q，可得 AM∥BN∥PQ，进而可得∠APB＝2∠PAM，△P'PQ 是等腰三角形，可得①②为定值；再根据比值及面积公式推出③④中式子的值是发生变化的． 【解答】解：如图，过点P作PQ∥AM交B′P′于点Q， ∵AM∥BN， ∴AM∥BN∥PQ， ∴∠APQ＝∠PAM，∠BPQ＝∠PBN， ∵∠PAM＝∠PBN， ∴∠APQ＝∠PAM＝∠BPQ＝∠PBN， ∴∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝2∠PAM，为定值， 故①符合题意． 由题意可知，P′B′∥PB， ∵BN∥PQ， ∴∠P'QP＝∠BPQ，且四边形 PBB'Q 是平行四边形， ∴∠BPQ＝∠APQ＝∠P'Q，B'Q＝BP， ∴P'P＝PQ， ∴AP+PB＝AP'+P'P+PB＝AP'+P'Q+QB'＝AP'＝P'B′，为定值， 故②符合题意． 由题意可知，点B从下往上运动的过程中，AP逐渐变短，PB逐渐变长， ∴的值会发生变化，且点B从下往上运动的过程中，的值逐渐变小， 故③不符合题意． 设PA+PB＝t，则PA＝t﹣PB， 假设∠PAM＝45°，则∠APB＝90°， ∴， 随着PB的长度发生变化，S△PAB的值也发生变化， 同理可得，当∠PAM为其他值时，S△PAB的值也会发生变化， 故④不符合题意； 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，的值根据图形变化进行推理，S△PAB的值先表达，再分析，比较复杂，所以选取特殊值．注意，特殊值不能证明，只能推翻一些结论． 4．（1）如图1，△ABC的面积是10，E是BC的中点，连接AE，△AEC的面积是　 　 ； （2）如图2，四边形ABCD的面积是10，E、F分别是一组对边AB、CD的中点，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是　 ； （3）如图3，E、F分别是一组对边AB、CD上的点，且AEAB，CFCD，若四边形ABCD的面积是10，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是　 　 ； （4）如图4，平行四边形ABCD的面积是2，AB＝a，BC＝b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动，点F从点B出发沿BC以每秒个单位长的速度向点C运动．E、F分别从点A、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的． 【分析】（1）根据△AEC和△ABC，高相同，底边相差一半可得出答案． （2）（3）连接AC，在△ACD和△ACB中，根据底边与高的关系可得出四边形AECF与四边形ABCD的面积的关系．、 （4）根据同底等高的三角形的面积相等，结合（1）（2）（3）的结论即可做出解答． 【解答】解：（1）△AEC和△ABC，高相同，底边相差一半， 又∵△ABC的面积是10 ∴△AEC的面积是5． （2）由图形可得△AEC是△ABC面积的一半，△AFC是△ADC面积的一半， ∴四边形AECF的面积四边形ABCD的面积＝5． （3）由图形可得△AEC是△ABC面积的，△AFC是△ADC面积的， ∴四边形AECF的面积四边形ABCD的面积． （4）四边形DEBF的面积的值不随时间t的变化而变化； ∵AE＝vt，AB＝a， ∴， ∵BF，BC＝b， ∴， ∵△AED与△ABD同底， ∴， ∵△DBF与△DBC同底， ∴， ∴， ∵S△ABD＝S△DBC， ∴S△AED＝S△DBF， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积，属于综合题，解答本题关键是要掌握高相同，底边在一条直线上的三角形的面积比等于底边之比． 5．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　 ． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【分析】（1）先求出平行四边形ABCD的面积，利用面积和差关系可得四边形BMDN的面积＝5DM，则当DM有最小值时，四边形BMDN的面积有最大值，即可求解； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于H，过点B作BN⊥DH于N，可证四边形ADHC是平行四边形，可AD＝CH，AC＝DH，则△AOD与△BOC的周长之和为10+BH，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD，交DA延长线于E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， ∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AEAB，CFBC， ∴BE，BF， ∴四边形ABCD的面积＝AD×BE， ∵四边形BMDN的面积＝S四边形ABCD﹣S△ABM﹣S△BCNAMCN（5﹣DM）（﹣1+DM）， ∴四边形BMDN的面积＝5DM， 则当DM有最小值时，四边形BMDN的面积有最大值， ∵DM+DN＝4， ∴DN＝4﹣DM， ∵DN≤3， ∴4﹣DM≤3， ∴DM≥1， ∴当DM＝1时，四边形BMDN的面积， 故答案为； （2）存在， 设AC＝x， ∵AC+BC＝4， ∴BC＝4﹣x， ∴AB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4， ∴当x＝2时，△ABC的周长的最小值为4+2； （3）△AOD与△BOC的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于H，过点B作BN⊥DH于N， ∵AD∥BC，DH∥AC， ∴四边形ADHC是平行四边形， ∴AD＝CH，AC＝DH， ∴C△AOD+C△BOC＝AD+AO+OD+BC+BO+OC＝CH+BC+AC+BD＝BH+BD+DH＝10+BH， 设BD＝x，则AC＝DH＝10﹣x， ∵AC∥DH， ∴∠BDH＝∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠DBN＝30°， ∴DNDB， ∴BNx， ∵NH＝10﹣BD﹣DN＝10x， ∴BH， ∴C△AOD+C△BOC＝10， ∴△AOD与△BOC的周长之和不是定值， ∴当x＝5时，△AOD与△BOC的周长之和的最小值为15． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD＞CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q． （1）求证：AP＝AQ． （2）若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系． （3）若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论； （2）过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E，证明△EQP≌△CQD（AAS），由全等三角形的性质得出QE＝QC，则可得出结论； （3）方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F，证明△AMB≌△EMC（SAS），得出∠B＝∠ECM，证出PF＝AE＝2AM，DQ＝DF，则可得出结论． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DP⊥BC， ∴∠B+∠P＝∠C+∠CQD＝90°， ∴∠AQP＝∠CQD＝∠P， ∴AP＝AQ． （2）解：QC＝2AQ． 理由：过点P作PE∥BC，交CA的延长线于点E， ∴∠E＝∠C，∠APE＝∠B， 由题意，得∠E＝∠APE， ∴AE＝AP＝AQ． ∴QE＝2AQ． ∵点Q是线段DP的中点， ∴PQ＝DQ， ∵∠EQP＝∠DQC， ∴△EQP≌△CQD（AAS）， ∴QE＝QC， ∴QC＝2AQ． （3）解：DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AM至E，使AM＝ME，连接CE，延长QD交CE于点F， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM， ∵∠AMB＝∠CME，AM＝ME， ∴△AMB≌△EMC（SAS）， ∴∠B＝∠ECM， ∴AB∥CE， ∵AM⊥BC，PD⊥BC， ∴AM∥PD， ∴四边形AEFP是平行四边形， ∴PF＝AE＝2AM， ∵AM＝ME，AM⊥CM， ∴AC＝CE， ∴∠CAM＝∠CEM， ∵AE∥QFD， ∴∠CAM＝∠CQF，∠CEM＝∠CFQ， ∴∠CQF＝∠CFQ， ∴CQ＝CF， ∴DQ＝DF， ∴PD+DQ＝PD+DF＝PF＝2AM． 即DP+DQ的值是定值，这个定值是BC边上的高的2倍． 方法二：过A作PQ垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【点评】本题考查了等腰三角形与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型六 特殊平行四边形中的定值问题】 1．（2024秋•郓城县期中）如图所示，矩形ABCD中，AB＝30，AD＝40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 【分析】根据勾股定理求出BD，求出OC、OB，求出三角形ABC面积，求出三角形BOC面积，根据三角形面积公式得出BO×PNCO×PM＝300，求出即可． 【解答】 解：当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化， 理由是：连接PO， ∵在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝AD＝40， ∴AC＝BD，∠ABC＝90°，AO＝OC＝BO＝OD， 由勾股定理得：AC＝50， ∴AO＝OC＝OB＝OD＝25， ∴S△ABCAB×BC30×40＝600， ∴S△BOCS△ABC＝300， ∴BO×PNCO×PM＝300， ∴PM+PN＝24， 即当P点在BC上运动时，PM+PN的值不发生变化，永远是24． 【点评】本题考查了矩形的面积，三角形的面积，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 2．（2024春•河东区期末）亮亮学习《平行四边形》以后，利用身边的工具进行了如下操作与探究： 如图1，在边长为4的正方形纸板ABCD上，放置了一个三角板PEQ，作射线AC，使直角顶点E在射线AC上运动，EP始终经过点D，EQ交BC于点F． 依照上面操作，点E运动到如图2位置时，连接DE，EF，过点F作FG⊥EF于点F，过点D作DG⊥FG于点G，于是得到矩形DEFG，通过证明它的一组邻边相等，易证矩形DEFG为正方形，亮亮又作了如下思考，请你帮他完成以下问题： （1）若点E运动到线段AC的延长线上时，以上结论还成立吗？若成立，应该怎样画图，证明呢？若不成立，理由是什么？ （2）在（1）的情况下，若连接CG，CG﹣CE的值是否为定值？若是，结果是多少（直接写出结果即可）？若不是，理由是什么？ 【分析】（1）过点E作EH⊥BF于点H，EI⊥DC的延长线于点I，证明△EHF≌△EID，得到邻边相等，从而得证； （2）通过证明△ADE≌△CDG，将线段CG转化为AE，从而得证． 【解答】解：（1）以上结论仍然成立， 证明：如图，过点E作EH⊥BF于点H，EI⊥DC的延长线于点I， ∵四边形DEFG为矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵∠3+∠2＝90°， ∴∠2＝∠4， ∵DC∥HE， ∴∠4＝∠1， ∴∠2＝∠1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形EHCI为正方形， ∴EH＝EI， 在△EHF和△EID中， ， ∴△EHF≌△EID（AAS）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； （2）CG﹣CE的值是定值8，如图， ∵矩形DEFG为正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝AC，∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD＝4， ∴∠ADC+∠1＝∠EDG+∠1，AC＝8， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CG﹣CE＝AE﹣CE＝AC＝8， ∴CG﹣CE的值是定值8． 【点评】本题属于几何综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，第一问解题关键是能够构造△EHF≌△EID，从而证明矩形邻边相等为正方形，第二问解题关键是证明△ADE≌△CDG求解． 3．（2024春•温江区期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝a，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系． 【深入研究】 （2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值．若是，求出△PCF的周长；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠B＝90°，由旋转的性质可得AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，由外角的性质可证∠BAP＝∠CPE； （2）由等腰直角三角形的性质可得GPBP，由“SAS”可证△GAP≌△CPE，可得CE＝GP，即可求解； （3）由“SAS”可证△ABP≌△ADH，可得AP＝AH，∠BAP＝∠DAH，由“SAS”可证△APF≌△AHF，可得PF＝HF，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． ∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC， ∵∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴∠BAP＝∠CPE； （2）如图，在AB上截取BG＝BP，连接PG， ∵∠ABC＝90°，BG＝BP， ∴GPBP， ∵AB＝BC，BP＝BG， ∴AG＝PC， 又∵∠BAP＝∠CPE，AP＝PE， ∴△GAP≌△CPE（SAS）， ∴CE＝GP， ∴； （3）△PCF的周长是定值，理由如下： 如图，延长CD至H，使DH＝BP，连接AH， ∵AB＝AD，∠ABC＝∠ADH＝90°，BP＝DH， ∴△ABP≌△ADH（SAS）， ∴AP＝AH，∠BAP＝∠DAH， ∵AP＝PE，∠APE＝90°， ∴∠PAE＝∠PEA＝45°， ∴∠BAP+∠DAF＝45°， ∴∠DAH+∠DAF＝45°， ∴∠FAH＝∠PAF＝45°， 又∵AF＝AF， ∴△APF≌△AHF（SAS）， ∴PF＝HF， ∴△PFC的周长＝PF+PC+CF＝FH+PC+FC＝BP+PC+FC+DF＝BC+CD＝2a， ∴△PCF的周长是定值． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2024春•思明区校级期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MNBF． （1）求证：BN⊥AF； （2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 【分析】（1）首先根据点M为BF的中点，得出MB＝MF＝MN，进而可得∠BFN＝∠MNF，∠FBN＝∠MNB，然后根据三角形的内角定理可得出∠FNB＝90°，从而得出结论； （2）首先根据勾股定理的逆定理证明△ADE为直角三角形，再证△ABN和△ADE全等，从而得出AN＝DE，然后计算AB﹣AN即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵点M为BF的中点， ∴， ∵， ∴MB＝MF＝MN， ∴∠BFN＝∠MNF，∠FBN＝∠MNB， ∴∠BFN+∠FBN＝∠MNF+∠MNB＝∠FNB， ∵∠BFN+∠FBN+∠FNB＝180°， 即：2∠FNB＝180°， ∴∠FNB＝90°， 即：BN⊥AF． （2）解：猜想AB﹣AN的值不发生变化，AB﹣AN＝2，理由如下： ∵AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1， ∴AD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，AE2＝（2m）2＝4m2，DE2＝（m2﹣1）2＝m4﹣2m2+1， ∴AE2+DE2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1 ∴AE2+DE2＝AD2， ∴△ADE为直角三角形，即：∠AED＝90°， 由（1）可知：BN⊥AF， ∴∠BNA＝90°， ∴∠BNA＝∠AED＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝m2+1，∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠BAN＝90°， 又∠BNA＝90°， ∴∠ABN+∠BAN＝90°， ∴∠ABN＝∠DAE， 在△ABN和△ADE中， ， ∴△ABN≌△ADE（AAS）， ∴AN＝DE＝m2﹣1， ∴AB﹣AN＝m2+1﹣（m2﹣1）＝2， ∴AB﹣AN的值不发生变化，值为2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解正方形的性质，勾股定理逆定理是解决问题的关键． 5．（2024春•路桥区期中）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边BC上，作∠EAF＝60°，与CD相交于点F，AE，AF与对角线BD分别相交于点H，G． （1）如图1，当点E是BC中点时，　　 ； （2）如图2． ①求证：CF＝BE； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）如图1，连接AC，证明△ABC是等边三角形，由E是BC中点，可得AE⊥BC，即∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2BE，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接AC，由（1）可知，△ABC是等边三角形，证明△ACF≌△ABE（ASA），进而可得CF＝BE； ②如图3，连接CH，CG，由菱形ABCD，CF＝BE，可得CE＝DF，证明△ABH≌△CBH（SAS），则S△ABH＝S△CBH 同理，△ADG≌△CDG（SAS），S△ADG＝S△CDG，根据，求解作答即可． 【解答】（1）解：如图1，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC中点， ∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴AB＝2BE， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接AC， 由（1）可知，△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠CAB＝60°＝∠EAF， ∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD＝60°＝∠ABC， ∵∠ACF＝∠ABE，AC＝AB，∠CAF＝∠BAE， ∴△ACF≌△ABE（ASA）， ∴CF＝BE； ②解：的值为定值，理由如下： 如图3，连接CH，CG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝∠ADB， 由①可知，CF＝BE， ∴AB﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF， ∵AB＝BC，∠ABH＝∠CBH，BH＝BH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴S△ABH＝S△CBH， 同理，△ADG≌△CDG（SAS），S△ADG＝S△CDG， ∴1， ∴的值为定值，且定值为1． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与AD，BC分别相交于点E、F （1）如图①，请判断AE与CF的关系，并说明理由； （2）如图①，将平行四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、P，请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明； （3）如图②，若△COD是等边三角形，且OC＝CF＝2，请判断（）2是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由． 【分析】（1）AE＝CF，AE∥CF．如图①中，连接AC，证明△AOE≌△COF即可解决问题． （2）证明△A1PE≌△CGF（AAS）即可解决问题． （3）是定值．如图③中，作OH⊥BC于H．解直角三角形求出OF2，BF2即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：AE＝CF，AE∥CF． 理由：如图①中，连接AC， ∵对角线AC，BD相交于点O， ∴AC经过点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AO＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF． （2）结论：FG＝EP． 理由：如图②中，连AC， 由（1）可知：△AOE≌△COF， ∴AE＝CF， 由折叠可知，AE＝A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠BCD， ∵∠A1PE＝∠DPH，∠D＝∠B1，∠PHD＝∠B1HG， ∴∠DPH＝∠B1GH， ∵∠B1GH＝∠CGF， ∴∠A1PE＝∠CGF， ∴△A1PE≌△CGF（AAS）， ∴FG＝EP． （3）是定值． 理由：如图③中，作OH⊥BC于H． ∵△OCD是等边三角形， ∴OD＝OC＝CD＝2，∠ODC＝∠OCD＝∠COD＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝90°， ∴BCCD＝2， ∵OC＝OF＝2， ∴BF＝22， 在Rt△OHC中，∵∠OCH＝30°，∠OHC＝90°， ∴OHOC＝1，CH，FH＝2， ∴OF2＝OH2+FH2＝1+（2）2＝8﹣4， ∴（）2， 由（1）可知OE＝OF， ∴（）2． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 1．（2024春•惠安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB与P′， ∵∠BAC＝45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AOAC＝4， ∴OP′AO＝2， ∴PQ的最小值＝2OP′＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形． 2．（2024春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为，则OA+OB的值等于（　　） A．7 B． C．8 D．8.5 【分析】由面积关系可求OA×OB＝14，由勾股定理可求36＝AO2+BO2，即可求解． 【解答】解：如图， ∵AB＝6，AE＝2BE， ∴AE＝4，BE＝2， ∴S△AEDAD×AE4×2＝4， ∵四边形OADE的面积为， ∴S△AOE， ∵AE＝2BE， ∴S△AOB＝7， ∴OA×OB＝7， ∴OA×OB＝14， ∵AB2＝AO2+BO2， ∴36＝AO2+BO2， ∴（AO+BO）2＝36+28， ∴AO+BO＝8（负值舍去）， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出OA×OB＝14是解题的关键． 3．（2024•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BOBD＝3，OCAC＝4，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥AB时，OP有最小值，由面积法可求解． 【解答】解：连接OP，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AC⊥BD，BOBD＝3，AOAC＝4， ∴AB＝5， ∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD， ∴四边形OEPF是矩形， ∴FE＝OP， ∵当OP⊥AB时，OP有最小值， 此时S△OBCOB×OAAB×OP， ∴OP＝2.4， ∴EF的最小值为2.4， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 4．（2024春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．9 C．9 D． 【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出ADAM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题． 【解答】解：如图， 将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM， 由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴ADAM， ∴当AM的值最大时，AD的值最大， ∵AM≤AC+CM， ∴AM≤9， ∴AM的最大值为9， ∴AD的最大值为． 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 5．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（　　） A．10 B．83 C．63 D．35 【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD， CP+PM＝C′P+PM， 当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小， 根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上， 圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3， ∵BC＝CD＝8， ∴CC′＝16， ∴C′B8． ∴CP+PM的最小值是83． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键． 6．（2024秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 　 ． 【分析】首先证明动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离． 【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h． ∵S△PBC＝30，BC＝15， ∴•BC•h＝30， ∴h＝4， ∴动点P在与CD平行且与CD的距离是4的直线l上， 过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝15，B′B＝15， ∴B′C15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 7．（2024•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为 　 ． 【分析】连接ED，由菱形的性质及AC＝8，，得出AF＝4，DF＝4，AC⊥BD，BA＝DA，由勾股定理求出AD＝8，进而得出∠ADB＝∠ABD＝30°，证明△BAP≌△DAE，得出∠ADE＝30°，进而得出当OE⊥DE时，OE的值最小，求出此时OE的长度即可． 【解答】解：如图，连接ED， ∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，， ∴AFAC＝4，DFBD＝4，AC⊥BD，BA＝DA， ∴AD8， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°， 将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD， ∴AP＝AE， ∴∠BAP＝∠DAE， 在△BAP和△DAE中， ， ∴△BAP≌△DAE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABP＝30°， ∴DE是满足∠ADE＝30°的线段， 当OE⊥DE时，OE的值最小， ∵O是AD的中点， ∴ODAD8＝4， ∴OEOD4＝2， ∴在点P的运动过程中，线段OE的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE＝30°是解决问题的关键． 8．（2024秋•鲤城区校级月考）如图所示四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）四边形ABCD 　 　 平行四边形（是或不是）； （2）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （3）当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【分析】（1）根据AB＝BC＝CD＝DA＝4可知四边形ABCD是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及∠BAD＝120°，可证得△ABC和△ACD为等边三角形，则∠BAC＝60°，∠ABE＝∠4＝60°，AC＝AB，再结合△AEF是等边三角形，进而证得∠1＝∠3，利用ASA即可证明△ABE≌△ACF，即可得结论； （3）根据△ABE≌△ACF，得S△ABE＝S△ACF，故由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，可知四边形AECF的面积是定值，作AH⊥BC于H点，由等边三角形的性质求得BH＝2，进而求得AH即可求得S△ABC，可得定值． 【解答】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：是． （2）证明：由（1）知四边形ABCD为平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC， ∵∠BAD＝120°，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， 又∵AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，∠4＝60°，AC＝AB， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝60°， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵∠ABE＝∠4＝60°，AC＝AB， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF； （3）解：四边形AECF的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC＝4， ∴，则， ∴， 综上，四边形AECF的面积不变，为定值． 【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$