专题06 与垂直平分线有关的六大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题06 与垂直平分线有关的六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用垂直平分线的性质求长度………………………………………… 1 题型2：利用垂直平分线的性质求角度………………………………………… 7 题型3：线段垂直平分线中的最值问题………………………………………… 8 题型4：线段垂直平分线中的证明题…………………………………………… 12 题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线……………………………… 14 题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合…………………………………… 14 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 16 知识梳理 1、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 2、垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 重难点题型分类 【题型1：利用垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，F为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握垂直平分线到两端距离相等，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 根据垂直平分线的性质得出，点D为中点，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵为垂直平分线， ∴，点D为中点， ∵F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【例1】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（    ） A．7.5 B．5 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题法关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， 的周长． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是 ． 【答案】19 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的周长问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合是的垂直平分线，得，，根据的周长为，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， 则的周长是， 故答案为：19 【题型2：利用垂直平分线的性质求角度】 【例1】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：，， 又垂直且平分， ， ， ，即的度数是， 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，角度计算，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意利用垂直平分线性质可得，再利用三角形内角和定理可得，继而得到本题答案． 【详解】解：在中，，， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， 故答案为：． 【变式1-4】如图，已知的三条内角平分线相交于点I， 三边的垂直平分线相交点O，若， 则 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线性质和角平分线性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．连接，根据点O为各边中垂线的交点，可得，再根据的三条内角平分线相交于点I，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O为各边中垂线的交点， ， ，，， 又， ， ， 的三条内角平分线相交于点I， ， 故答案为：． 【变式1-5】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识． （1），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； （2），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； （3），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （3）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 【变式1-6】（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果； （2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果； 准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则； （2）设， 在中，， 在中，， ①+②得：， ∴． 【题型3：线段垂直平分线中的最值问题】 【例1】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式1-1】如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 【答案】 5 6 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、垂线段最短，熟练掌握三角形的中线与面积是解题关键． （1）先根据三角形的中线可得，，则可得，由此即可得； （2）过点作，交延长线于点，连接，先根据三角形的中线可得，，则可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据垂线段最短即可得． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的面积为5， ∴的面积为5， 故答案为：5． （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 由垂线段最短可知，线段长的最小值为， 故答案为：6． 【例2】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 【变式2-1】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【变式2-3】如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【题型4：线段垂直平分线中的证明题】 【例1】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，先证明，可得，，再证明，得到，，进而即可得出结论． 【详解】证明：平分，，， 则在和中， ，，， ， ，， 则在和中， ，，， ， ，， 垂直平分， 即垂直平分． 【变式1-1】如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可证明； （2）作于点，根据角平分线的性质定理可得，通过证明和，得到，，再利用线段的和差以及等量关系得到，代入数据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵平分，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【变式1-2】已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【变式1-3】如图，在中，点D是的中点，，交的平分线于点E，垂足为F，，交的延长线于点G，试判断线段、有何关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．根据角平分线的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得出，进而即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】解：，理由如下： ∵平分，，， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线】 【例1】如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 【变式1-1】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 【变式1-2】如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式1-3】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点； (2)在（）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据垂直平分线的方法即可； （）由是的垂直平分线，则，又的周长是，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，所以为所求； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 【例2】如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图—基本做题，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由作图可得平分，，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，，故C正确； ∴，故A正确， ∵， ∴，故D正确； 和不一定相等，故B错误， 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式2-2】如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作线段垂直平分线即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式2-3】如图，已知四边形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到，两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了作图——复杂作图，线段的垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线交于点于点，点即为所求，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【详解】解：如图，点即为所求． 【例3】如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：所作图形如图： （2）证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，D是边上一点，请用尺规作图法，在边上分别求作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，交边上分别求作点，即可得． 此题考查线段垂直平分线的作图，全等三角形的判定． 【详解】解：如图，点M，N即为所求； ∵垂直平分， ∴， 在和中 ∴． 【变式3-2】如图，在中，是的中线，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，三角形的中线：根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，进而得到，作出的中线即可． 【详解】解：如图，点E即为所作； 【题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合】 【例1】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明垂直平分得到，由求出，从而得到的周长为：，继而得解． 【详解】连接、， 依题意可知：， 又∵点D是AC的中点， ∴垂直，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长为： 【变式1-2】如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，证明出垂直平分，即可得解，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【变式1-3】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【详解】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【变式1-4】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式1-5】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 3．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 4．（2025·河南驻马店·三模）在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线． 故选D． 5．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 二、填空题 8．（2025·山东临沂·二模）如图，在中，，过点作线段的垂直平分线，根据尺规作图的痕迹，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握直角三角形两锐角互余是关键． 根据题意得到平分，由线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：32． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 11．（25-26八年级上·全国·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．结合网格，画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个． 故答案为：5． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/39度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得、，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025·吉林长春·二模）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是 ． ①；②；③平分；④；⑤． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可证，由可证，可得，，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示：连接、． 平分，，， ，故①符合题意； ，平分， ， ， ， ，， ， 同理：， ，故②符合题意； 由题意可知：， 假设平分，则， 又， ． ． 是否等于不知道， 不能判定平分，故③不符合题意； 在和中， ， ∴， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ∴， ，故⑤不符合题意； ，故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题 15．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 16．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查尺规作图的角平分线和中垂线做法，根据角平分线的作法求得平分，再中垂线作法结合求得的垂直平分线，两线的交点即为点P． 【详解】解：如图， 17．（2025·广东肇庆·一模）如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明，再由“”证明即可得出结论； （）作垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，四边形即为所求； 理由：由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 18．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 19．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． ①按照基本作图“作已知角的平分线”的要求作的平分线，交于点D即可； ②按照基本作图“作已知线段的垂直平分线”的要求作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点H即可． 因为垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，所以，而，，即可根据“”证明 【详解】（1）解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E，交于点F，垂足为点H， 线段及线段即为所求． （2）证明：垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H， ， 平分， ， 在和中， ， ． 20．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 21．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，.点是边的中点，点在边上（不与点、重合），作直线，与关于直线对称，点的对应点为点. (1)用圆规和无刻度直尺作出；（保留作图痕迹） (2)当时，的大小为_____度； (3)当且点在下方时，求的度数； (4)当时，直接写出的度数. 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了作垂线，轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质． （1）过点作的垂线，以点为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接，则即为所求； （2）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （3）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （4）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∵ ∴． 故答案为： （3）解：如图，当且点在下方时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴． ①如图，若向下翻折时， 当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴； ②如图，若向上翻折时， 当时，， ∴， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴； 综上所述，或． 22．（2024·甘肃兰州·模拟预测）阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 【答案】(1)①③ (2)见解析；， 【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质一一判断即可； （2）设与交于点J，与交于点T，过点P作于H，由角平分线的判定定理可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， ∴不能证明是的平分线．不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； 故答案为：①③； （2）解：如图6，设与交于点J，与交于点T，过点P作于H， ∵，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线和射线是的三等分线， 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题06 与垂直平分线有关的六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用垂直平分线的性质求长度………………………………………… 1 题型2：利用垂直平分线的性质求角度………………………………………… 3 题型3：线段垂直平分线中的最值问题………………………………………… 5 题型4：线段垂直平分线中的证明题…………………………………………… 6 题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线……………………………… 8 题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合…………………………………… 11 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 14 知识梳理 1、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 2、垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 重难点题型分类 【题型1：利用垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，F为的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式1-2】如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【例1】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（    ） A．7.5 B．5 C．8 D．6 【变式1-1】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是 ． 【题型2：利用垂直平分线的性质求角度】 【例1】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【变式1-4】如图，已知的三条内角平分线相交于点I， 三边的垂直平分线相交点O，若， 则 【变式1-5】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 【变式1-6】（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【题型3：线段垂直平分线中的最值问题】 【例1】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【变式1-1】如图，点为直线外一点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，已知图中阴影部分的面积为5． （1）的面积为 ； （2）线段长的最小值为 ． 【例2】如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【变式2-1】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【变式2-2】如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【变式2-3】如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【题型4：线段垂直平分线中的证明题】 【例1】如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分． 【变式1-1】如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-2】已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【变式1-3】如图，在中，点D是的中点，，交的平分线于点E，垂足为F，，交的延长线于点G，试判断线段、有何关系，并说明理由． 【题型5：尺规作图——作线段垂直平分线或垂线】 【例1】如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【变式1-1】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【变式1-3】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点； (2)在（）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【例2】如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °． 【变式2-2】如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式2-3】如图，已知四边形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到，两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【例3】如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【变式3-1】如图，在中，D是边上一点，请用尺规作图法，在边上分别求作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-2】如图，在中，是的中线，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型6：线段垂直平分线的判定与性质综合】 【例1】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1-1】如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1-2】如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【变式1-3】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【变式1-4】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式1-5】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·河南驻马店·三模）在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 5．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．（2025·山东临沂·二模）如图，在中，，过点作线段的垂直平分线，根据尺规作图的痕迹，则 ． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 11．（25-26八年级上·全国·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 14．（2025·吉林长春·二模）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是 ． ①；②；③平分；④；⑤． 三、解答题 15．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 16．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 17．（2025·广东肇庆·一模）如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 18．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 19．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证：． 20．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 21．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，.点是边的中点，点在边上（不与点、重合），作直线，与关于直线对称，点的对应点为点. (1)用圆规和无刻度直尺作出；（保留作图痕迹） (2)当时，的大小为_____度； (3)当且点在下方时，求的度数； (4)当时，直接写出的度数. 22．（2024·甘肃兰州·模拟预测）阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $