专题训练(4) 构造等腰三角形的常用方法（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

专题训练(四)　构造等腰三角形的常用方法 数学 八年级下册 北师版 四清导航 5．如图，点D是△ABC的三个内角平分线AD，BD，CD的交点，且AB＋BD＝AC.求证：∠ABC＝2∠ACB(至少用2种方法证明)． 方法三　利用折半加倍法构造等腰三角形 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D，求证：BC＝AC＋AD(至少用2种方法证明). 7．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．若∠ABC＝2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC＝AB，求∠A的度数． 方法一　作平行线构造等腰三角形 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，且AE是∠BAD的平分线，求证：AD＝AB＋CD. 证明：延长DC，AE交于点F，∵AB∥CD，∴∠F＝∠BAE.又∵E为BC的中点，∴CE＝BE.又∵∠FEC＝∠AEB，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB＝CF.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠F＝∠DAE，∴AD＝DF＝CD＋CF＝CD＋AB 2．(辽阳月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF＝BE，连接EF，交BC于点D.求证：DE＝DF. 证明：过点E作EG∥AC，交BC于点G，则∠BGE＝∠ACB，∠GED＝∠F，∠EGD＝∠FCD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝EG.又∵CF＝BE，∴CF＝GE，∴△GED≌△CFD(ASA)，∴DE＝DF 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－10，0)，以OA为边向上作等边△AOB. (1)求点B的横坐标； (2)点M，N分别为OB，OA边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连接OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数． 解：(1)过点B作BD⊥OA于点D，∵点A(－10，0)，∴OA＝10.又∵△AOB为等边三角形，BD⊥OA，∴OD＝ eq \f(1,2) OA＝5，∴点B的横坐标为－5 (2)过点M作MF∥AB交OA于点F，∵△AOB为等边三角形，∴∠MFO＝∠BAO＝60°，∠FMO＝∠ABO＝60°，∴△MOF为等边三角形，∴MF＝MO.又∵△MNE是等边三角形，∴∠NME＝60°＝∠FMO，MN＝ME，∴∠FMN＝∠OME，∴△MFN≌△MOE(SAS)，∴∠MOE＝∠MFN＝60°，∴∠MEO＝180°－∠MOE－∠EMO＝180°－60°－45°＝75° 方法二　利用截长补短法构造等腰三角形 4.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC(至少用2种方法证明)． 证明：方法1(截长法)：如图①，在AB上截取BE＝BC，连接ED，∵CA＝CB，∴∠A＝∠ABC＝ eq \f(1,2) (180°－∠ACB)＝36°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝18°.又∵BE＝BC，BD＝BD，∴△CBD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠ACB＝108°，∴∠AED＝72°，∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝72°＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC 方法2(补短法)：如图②，延长BC至点F，使BF＝AB，连接FD，∵AB＝BF，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴AD＝FD，∠F＝∠A＝36°，∴∠FDC＝∠ACB－∠F＝72°.又∵∠FCD＝180°－∠ACB＝72°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FC＝FD＝AD，∴AB＝FB＝FC＋BC＝AD＋BC 证明：方法1(截长法)：如图①，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则AB＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＋BD，∴CE＝BD.又∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB＝∠DAE，∠ABC＝2∠ABD，∠ACB＝2∠ACD.又∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝DE，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠ABD＝∠AED＝∠EDC＋∠ECD＝2∠ECD＝∠ACB，∴∠ABC＝2∠ACB 方法2(补短法)：如图②，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则AE＝AB＋BE＝AB＋BD＝AC，∠E＝∠BDE，∴∠ABD＝∠E＋∠BDE＝2∠E.又∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAE＝∠DAC，∠ABC＝2∠ABD，∠ACB＝2∠ACD.又∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴∠E＝∠ACD，∴∠ABD＝2∠ACD＝∠ACB，∴∠ABC＝2∠ACB 证明：方法1：如图①，延长BA至点E，使AE＝AC，连接CE，则∠E＝∠ACE，∴∠CAB＝∠E＋∠ACE＝2∠E＝2∠B，∴∠ACE＝∠E＝∠B，∴CE＝CB.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCD＋∠B，即∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE＝AE＋AD＝AC＋AD，∴BC＝AC＋AD 方法2：如图②，在BC上取一点E，使得∠EDB＝∠B，则DE＝BE，∠CED＝∠B＋∠EDB＝2∠B＝∠A.又∵∠ACD＝∠DCE，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，∴AD＝DE＝BE，CE＝AC，∴BC＝CE＋BE＝AC＋AD 解：过点B作BF平分∠DBC，交AC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD.又∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠ABD＝∠CBD.又∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，∴∠CBF＝∠DBF＝ eq \f(1,2) ∠DBC，∠DCO＝∠BCO＝ eq \f(1,2) ∠ACB，∴∠CBF＝∠DBF＝∠DCO＝∠BCO.又∵∠DBC＝∠ACB，BC＝CB，∴△OBC≌△FCB(ASA)，∴OC＝BF.又∵AB＝OC，∴BF＝AB.∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，∠AFB＝∠ACB＋∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴AB＝BF＝AF，∴△ABF为等边三角形，∴∠A＝60° $$