第一章《三角形的证明》复习巩固练习（1）2024－2025学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》 复习巩固练习（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 2．如图，在△ABC中，DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，且∠ACD＝∠BCD．若DE＝9，BE＝7.5，则BC的长为（　　） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 3．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 4．如图，作△ABC中边AB的垂直平分线DE，AB＝8cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　）cm A．20 B．16 C．15 D．21 5．在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．75° 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB的平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 8．如图，已知△ABC，∠BAC＞90°，AC＞AB，DE垂直平分AC，垂足为D，交BC于点E，点F在BC上，且DF＝DC，连结AE，AF．下面四个结论中，正确的是（　　） A．DF＝AE B．AF＝BF C．∠FAE＝∠C D．∠AFD＝∠AED 9．如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标为（　　） A．（1，） B．（1，） C．（，1） D．（，） 10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　°． 12．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是 　 　． 13．如图：△ABC中，∠A＝90°，∠ABD＝22°，DE垂直平分BC，则∠C＝　 　． 14．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，一个边长为3的正三角形沿着x轴负方向滚动，点A的初始位置为（8，0），当三角形的任一顶点落在y轴上时，点B的坐标为　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度数． 17．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离AB为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN为60m，喷泉B到供水点M的距离BM为75m．求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长． 18．如图，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分线，连接AE． （1）若∠B＝20°，求∠CAE的度数． （2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的长． 19．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数． 20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上； （2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数． 22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 23．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，∠B＝2∠C． （1）求证：AB＝AE； （2）作AD⊥BC交BC于点D，若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求△ADC的面积． 24．如图，在△ABC中，AC＞AB，以点A为圆心、AB长为半径的弧交BC于点D，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E． （1）若AB＝10，DE＝2，求△ABD的面积； （2）若AC＝12，AD＝20，CD＝4，求△ABC的面积． 25．△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°． （1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB； （2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 7页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A A A B D A C 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．52． 12．20． 13．34°． 14．4：3． 15．（0，2 2），（2，0），（ 2 6−1 2 ， 2 2− 3 2 ）． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：∵DE垂直平分 BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝50°，∠ACP＝28°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝180°﹣50°﹣28°＝102°， ∴3∠ABP＝102°， ∴∠ABP＝34°． 17．解：根据题意得，MN＝60m， 在 Rt△MNB中，BN= ��2 −��2 = 752 − 602 =45（m）， ∴AN＝AB﹣BN＝125﹣45＝80（m）， 在 Rt△AMN中，AM= ��2 +��2 = 802 + 602 =100（m）， ∴供水点 M到喷泉 A，B需要铺设的管道总长＝100+75＝175（m）． 18．解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， 第 2页（共 7页） ∵∠B＝20°， ∴∠BAC＝70°， ∵ED是 AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠BAE＝20°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝50°； （2）∵ED⊥AB，EC⊥BC，EC＝ED， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠B＝∠BAE，∠B+∠BAE+∠CAE＝90°， ∴∠B＝∠CAE＝30°， ∴BE＝AE＝2EC， ∵BC＝BE+EC＝12， ∴EC＝4． 19．解：∵DE垂直平分 BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵EB＝EC，BE＝AC， ∴AC＝EC， ∴∠AEC＝∠EAC= 12 ×（180°﹣12°）＝84°， ∴∠EBC＝∠ECB= 12∠AEC＝42°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠CBF＝21°， ∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°． 20．解：（1）如图，点 D，射线 AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段 AB， 第 3页（共 7页） ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE= 12∠DAC＝40°． 21．（1）证明：如图所示：连接 BP，AP，PC， ∵PE垂直平分 AB，PM垂直平分 AC， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴点 P在线段 BC的垂直平分线上； （2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC， ∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°， ∴∠B+∠BFE＝∠C+∠MNC＝90°， 设∠B＝x，∠C＝y， ∴∠B＝∠BAF＝x，∠C＝∠CAN＝y，∠BFE＝90°﹣x，∠MNC＝90°﹣y， ∴∠PFN＝∠BFE＝90°﹣x，∠PNF＝∠MNC＝90°﹣y， ∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝56° ∴2x+2y+56°＝180°， 2（x+y）＝124°， x+y＝62°， ∵∠PFN+∠PNF+∠FPN＝180°， ∴90°﹣x+90°﹣y+∠FPN＝180°， ∴∠FPN＝180°﹣180°+（x+y）＝62°． 第 4页（共 7页） 22．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC= 12∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC= 12 ×120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ∠��� = ∠��� = 60° �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 23．（1）证明：∵AC的垂直平分线分别交 BC、AC于点 E、F， ∴AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ECA， ∴∠AEB＝2∠C， ∵∠B＝2∠C． ∴∠B＝∠AEB， ∴AB＝AE； 第 5页（共 7页） （2）解：∵AC＝7cm，△ABC的周长为 17cm， ∴AB+BC＝17﹣7＝10（cm）， ∵AE＝CE， ∴AB+BE+AE＝10（cm）， ∵AD⊥BE，AB＝AE， ∴BD＝DE， ∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE= 12 × 10 =5（cm），即 CD＝5（cm）， 由勾股定理可得：AD= ��2 − ��2 = 72 − 52 = 24 =2 6（cm）． ∴S△ADC= 1 2 × 5 × 2 6 =5 6（cm 2）． 24．解：（1）∵AB＝AD，AB＝10，DE＝2， ∴AE＝AD﹣DE＝8， ∵BE⊥AD， 在 Rt△ABE中，BE= ��2 − ��2 = 102 − 82 =6， ∴S△ABD= 1 2AD×BE= 1 2 ×10×6＝30； （2）如图，过点 A作 AF⊥BD于点 F， ∵AB＝AD， ∴BF＝DF， 在 Rt△ACF中，AF2＝AC2﹣CF2， 在 Rt△ADF中，AF2＝AD2﹣DF2， ∴AC2﹣CF2＝AD2﹣DF2， ∵AC＝12 5，AD＝20，CD＝4 10， ∴(12 5)2 − (�� + 4 10)2 = 202 − ��2， 解得 DF= 2 10， ∴AF= ��2 − ��2 = 202 − (2 10)2 = 6 10， ∴S△ABC= 1 2BC•AF= 1 2 × (2 10 + 2 10 + 4 10) × 6 10 =240． 第 6页（共 7页） 25．证明：（1）∵D点在 AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°， ∴BD＝2AD＝AD+CD； （2）成立． 理由：在 DB上截取 DE＝AD， ∵∠ADB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，∠EAD＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD， ∴BD＝DE+BE＝AD+CD． 第 7页（共 7页）