专题训练(3) 巧构含30°角的直角三角形解题（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

专题训练(三)　巧构含30°角的直角三角形解题 数学 八年级下册 北师版 四清导航 5．如图，在△ABC中，BD＝CD，若AD⊥AC，∠BAD＝30°，求证：AB＝2AC. 技巧三　延长两边构造含30°角的直角三角形 6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.若AB＝2，CD＝8，求AD的长． 技巧一　连接两点构造含30°角的直角三角形 1．(大连月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，若AE＝2，求CE的长． 解：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∴∠B＝∠C＝ eq \f(1,2) (180°－∠BAC)＝30°，∠BAD＝∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝60°.又∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－∠CAD＝30°，∴AD＝2AE＝2×2＝4，∴AC＝2AD＝8，∴CE＝AC－AE＝8－2＝6 2．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，求AC的长． 解：连接CF，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝CD，BD⊥AC，∠DBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝15°.又∵BC的垂直平分线EF交BD于点F，∴CF＝BF＝6，∴∠FCB＝∠DBC＝15°，∴∠DFC＝∠FCB＋∠DBC＝30°，∴在Rt△CDF中，CD＝ eq \f(1,2) CF＝3，∴AC＝2CD＝6 技巧二　作垂线构造含30°角的直角三角形 3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8 cm，点M，N在边OB上，且PM＝PN，若MN＝2 cm，求OM的长． 解：过点P作PH⊥MN于点H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝ eq \f(1,2) MN＝1 cm.在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝ eq \f(1,2) OP＝4 cm，∴OM＝OH－MH＝4－1＝3(cm) 4．(沈阳皇姑区期中)如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上的一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，若OC＝4，求PD的长. 解：过点P作PE⊥OA于点E，∵P是∠AOB的平分线上的一点，∴∠POA＝∠POB.又∵CP∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∠CPO＝∠POB＝∠AOP，∴CP＝OC＝4，∴PE＝ eq \f(1,2) CP＝2.又∵P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝2 证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠BED＝90°.又∵∠BAD＝30°，∴AB＝2BE.又∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°＝∠BED.又∵CD＝BD，∠ADC＝∠EDB，∴△ACD≌△EBD(AAS)，∴BE＝AC，∴AB＝2AC 解：延长CD，BA交于点E，在△EBC中，∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠E＝60°，CE＝2BE.又∵∠ADC＝120°，∴∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形．设AD＝x，则DE＝AE＝x，∴CE＝CD＋DE＝8＋x，BE＝AB＋AE＝2＋x，∴8＋x＝2(2＋x)，解得x＝4，∴AD＝4 $$