第18课 整式的除法-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第18课 整式的除法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握单项式除以单项式的运算法则. 2.掌握多项式除以单项式的运算法则. 3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 单项式除以单项式 单项式除以单项式的法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 ( 能力拓展 )考点01 单项式除以单项式 【典例1】计算： （1）28x4y2÷7x3y；（2）﹣5a5b3c÷15a4b （3）﹣a2x4y3÷（﹣axy2） （4）（6x2y5）÷（3xy2）2． 【思路点拨】（1）直接利用整式的除法运算法则化简求出即可； （2）直接利用整式的除法运算法则化简求出即可； （3）直接利用整式的除法运算法则化简求出即可； （4）先算乘方，再利用整式的除法运算法则化简求出即可． 【解析】解：（1）28x4y2÷7x3y＝4xy； （2）﹣5a5b3c÷15a4b＝﹣ab2c； （3）﹣a2x4y3÷（﹣axy2）＝ax3y； （4）（6x2y5）÷（3xy2）2 ＝6x2y5÷9x2y4 ＝y 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【即学即练1】计算： （1）a•a4÷a3 （2）（﹣x）6÷（﹣x）2•（﹣x）3 （3）27x8÷3x4 （4）﹣12m3n3÷4m2n3 （5）（6x2y3z2）2÷4x3y4 （6）（﹣6a2b5c）÷（﹣2ab2）2． 【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘除法进行计算即可； （3）根据同底数幂的除法进行计算即可； （4）根据同底数幂的除法进行计算即可； （5）先算乘方，再根据同底数幂的除法进行计算即可； （6）先算乘方，再根据同底数幂的除法进行计算即可． 【解析】解：（1）原式＝a5÷a3 ＝a2； （2）原式＝（﹣x）4•（﹣x）3 ＝﹣x； （3）原式＝9x4； （4）原式＝﹣3m； （5）原式＝36x4y6z4÷4x3y4 ＝9xy2z4； （6）原式＝（﹣6a2b5c）÷4a2b4 ＝﹣bc． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握运算顺序和多项式除以单项式的法则是解题的关键． 考点02 多项式除以单项式 【典例2】计算． （1）（4x2y﹣8x3y2）÷（4x2y）； （2）（5x2y3﹣4x3y2+6x）÷（6x）； （3）； （4）[x（3﹣4x）+2x2（x﹣1）]÷（﹣2x）． 【思路点拨】原式各项利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【解析】解：（1）原式＝1﹣2xy； （2）原式＝xy3﹣x2y2+1； （3）原式＝﹣4a2+8ab﹣12b2； （4）原式＝（3x﹣6x2+2x3）÷（﹣2x）＝﹣+3x﹣2x2． 【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式法则是解本题的关键． 【即学即练2】计算： （1）（6a3b﹣9a2c）÷3a2； （2）（4a3﹣6a2+9a）÷（﹣2a）； （3）（﹣4m2+20m3n﹣m2n2）÷（﹣4m2）； （4）（x2y﹣xy2﹣2xy）÷． 【思路点拨】（1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （3）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【解析】解：（1）（6a3b﹣9a2c）÷3a2；＝2ab﹣3c； （2）（4a3﹣6a2+9a）÷（﹣2a）＝﹣2a2+3a﹣4.5； （3）（﹣4m2+20m3n﹣m2n2）÷（﹣4m2）＝1﹣5mn+n2； （4）（x2y﹣xy2﹣2xy）÷＝2x﹣y﹣4． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式的法则的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，难度不是很大． 考点03 整式的混合运算 【典例3】先化简，再求值：（12x3﹣6x2+3x）÷3x﹣（2x+y）（2x﹣y），其中． 【思路点拨】先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解：（12x3﹣6x2+3x）÷3x﹣（2x+y）（2x﹣y） ＝4x2﹣2x+1﹣（4x2﹣y2） ＝4x2﹣2x+1﹣4x2+y2 ＝﹣2x+y2+1， 当时，原式＝﹣2×+（﹣1）2+1＝﹣1+1+1＝1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【即学即练3】化简： （1）（﹣a2）3+（﹣a2）•a4； （2）（﹣3a2）（2ab2﹣3ab3）； （3）（15x2y2﹣2xy3﹣4y4）÷y2﹣（5x﹣2y）（3x+2y）； （4）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2． 【思路点拨】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法进行运算即可； （3）根据整式的混合运算进行计算即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）（﹣a2）3+（﹣a2）•a4 ＝﹣a6﹣a6 ＝﹣2a6； （2）（﹣3a2）（2ab2﹣3ab3）＝﹣6a3b2+9a3b3； （3）原式＝15x2﹣2xy﹣4y2﹣（15x2+10xy﹣6xy﹣4y2） ＝15x2﹣2xy﹣4y2﹣（15x2+4xy﹣4y2） ＝15x2﹣2xy﹣4y2﹣15x2﹣4xy+4y2 ＝﹣6xy； （4）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣5y2 ＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2 ＝﹣4xy． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列计算正确的是（　　） A．a•a2＝a2 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．2x6÷x2＝2x4 D．x2+x3＝x3 【思路点拨】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式除以单项式、合并同类项法则分别计算判断即可． 【解析】解：A、a•a2＝a3，故此选项不符合题意； B、（﹣a3）2＝a6，故此选项不符合题意； C、2x6÷x2＝2x4，故此选项符合题意； D、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 2．计算：（﹣4x2y+2xy）÷2xy＝（　　） A．﹣2x B．﹣2x+1 C．﹣3x2y D．﹣x2y 【思路点拨】利用多项式除以单项式的法则计算即可． 【解析】解：原式＝﹣2x+1， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．计算（a3b2﹣a2b）÷ab的结果为（　　） A．a2b﹣a B．a3b﹣a C．a2b2﹣ab D．a2b﹣ab 【思路点拨】根据多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【解析】解：原式＝a3b2÷ab﹣a2b÷ab ＝a2b﹣a， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 4．计算：＝（　　） A． B． C．﹣6x2y D．﹣6x2y2 【思路点拨】根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝﹣6x2y， 故选：C． 【点睛】本题有考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 5．长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（　　） A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b 【思路点拨】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解析】解：∵长方形的面积是12a2﹣6ab，一边长是3a， ∴它的另一边长是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a3b2）3＝﹣6a9b6 B．（﹣a5）÷（﹣a）2＝a3 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（﹣b+2a）＝4a2﹣b2 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6，故选项A错误，不符合题意； （﹣a5）÷（﹣a）2＝﹣a3，故选项B错误，不符合题意； （2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故选项C错误，不符合题意； （2a+b）（﹣b+2a）＝4a2﹣b2，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．下列运算中正确的是（　　） A．（3a﹣2）（2+3a）＝9a2﹣4 B．（m2﹣mn）÷m＝m﹣mn C．（y+1）2＝y2+1 D．n12÷n4＝n3 【思路点拨】根据整式运算法则逐一进行计算，根据计算结果就能选出此题结果． 【解析】解：A、（3a﹣2）（2+3a）＝9a2﹣4，计算正确，符合题意； B、（m2﹣mn）÷m＝m﹣n，计算错误，不符合题意； C、（y+1）2＝y2+2y+1，计算错误，不符合题意； D、n12÷n4＝n8，计算错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 8．计算：﹣5a5b3c÷15a4b＝　﹣ab2c　 ． 【思路点拨】根据整式的除法法则计算即可． 【解析】解：﹣5a5b3c÷15a4b＝（﹣5÷15）a5﹣4b3﹣1c＝﹣ab2c． 故答案为：﹣ab2c． 【点睛】本题考查了整式的除法法则：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． 9．计算：12x2y÷（﹣6xy）＝　﹣2x　 ． 【思路点拨】运用单项式除以单项式法则计算即可． 【解析】解：原式＝﹣2x． 故答案为：﹣2x． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式法则是关键． 10．计算：＝ 　8m3+9m﹣10　 ． 【思路点拨】根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【解析】解： ＝ ＝8m3+9m﹣10， 故答案为：8m3+9m﹣10． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．计算：（15x2y﹣10xy2）÷（5xy）＝　3x﹣2y　 ． 【思路点拨】根据多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，计算即可． 【解析】解：（15x2y﹣10xy2）÷（5xy）， ＝（15x2y）÷（5xy）+（﹣10xy2）÷（5xy）， ＝3x﹣2y． 故答案为：3x﹣2y． 【点睛】本题考查多项式除以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是 　1﹣3ab　 ． 【思路点拨】利用多项式的每一项除以单项式即可． 【解析】解：原式＝（﹣4a2）÷（﹣4a2）+（12a3b）÷（﹣4a2） ＝1+（﹣3ab） ＝1﹣3ab． 故答案为：1﹣3ab． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，利用多项式的每一项除以单项式是解题的关键． 13．计算： （1）（2a）3•b4÷12a3b2； （2）（﹣a7b5）÷a2b5； （3）（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3； （4）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2． 【思路点拨】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果； （3）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； （4）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【解析】解：（1）（2a）3•b4÷12a3b2＝8a3•b4÷12a3b2＝b2； （2）（﹣a7b5）÷a2b5＝﹣a5； （3）（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3＝2a2﹣； （4）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2＝y﹣xz． 【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．计算： （1）3a3b•a2b2÷（﹣a2b）2； （2）（6x3﹣24x2+4x）÷（﹣2x）； （3）（2x+1）（2x﹣1）+（3x﹣1）（1﹣x）． 【思路点拨】（1）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可； （2）根据平方差公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解析】解：（1）3a3b•a2b2÷（﹣a2b）2 ＝3a3b•a2b2÷a4b2 ＝3ab； （2）（6x3﹣24x2+4x）÷（﹣2x） ＝6x3÷（﹣2x）﹣24x2÷（﹣2x）+4x÷（﹣2x） ＝﹣3x2+12x﹣2； （3）（2x+1）（2x﹣1）+（3x﹣1）（1﹣x） ＝4x2﹣1+3x﹣3x2﹣1+x ＝x2+4x﹣2． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．计算： （1）3x•（4x2y）2÷8xy； （2）6a7b8c÷（﹣2ab）•（a）； （3）（y3﹣7xy2+y5）÷（y2）； （4）（﹣15x3y+12xy2﹣xy）÷（﹣xy）． 【思路点拨】（1）根据单项式除单项式的法则求解； （2）根据单项式除单项式的法则求解； （3）根据多项式除单项式的法则求解； （4）根据多项式除单项式的法则求解． 【解析】解：（1）原式＝48x5y2÷8xy＝6x4y； （2）原式＝﹣3a6b7c•a＝﹣a7b7c； （3）原式＝y﹣x+y3； （4）原式＝15x2﹣12y+1． 【点睛】本题考查了整式的除法，解答本题的关键是掌握单项式除单项式的法则以及多项式除单项式的法则． 题组B 能力提升练 16．下列运算正确的是（　　） A．3a2•2a3＝6a6 B．（6ab+a）÷a＝6b C．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 【思路点拨】利用单项式乘单项式，多项式除以单项式，多项式乘多项式，同底数幂除法法则逐项判断即可． 【解析】解：3a2•2a3＝6a5，则A不符合题意， （6ab+a）÷a＝6b+1，则B不符合题意， （a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，则C符合题意， （﹣a）3÷（﹣a）2＝﹣a，则D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 17．若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【思路点拨】根据题意列出式子a5b2÷2a，然后根据整式的除法法则计算即可得出m、n的值． 【解析】解：由题意得， ∴m＝4，n＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键． 18．下列计算错误的是（　　） A． B．2m（m2﹣3mn）＝2m3﹣6m2n C．（y+x）（y﹣x）＝x2﹣y2 D． 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：，故选项A计算正确，不符合题意； 2m（m2﹣3mn）＝2m3﹣6m2n，故选项B计算正确，不符合题意； （y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2，故选项C错误，符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．规定一种新运算“⊗”，则有a⊗b＝a2÷b，当x＝﹣1时，代数式（3x2﹣x）⊗x2＝　16　 ． 【思路点拨】根据“⊗”的运算方法对题目整理，再根据有理数的混合运算求解即可． 【解析】解：当x＝﹣1时，（3x2﹣x）⊗x2＝4⊗1＝42÷1＝16， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 20．（6×10﹣8）÷（1.2×10﹣5）＝　5×10﹣3　 .（结果用科学记数法表示） 【思路点拨】运用单项式除以单项式的计算方法和科学记数法知识进行求解． 【解析】解：（6×10﹣8）÷（1.2×10﹣5） ＝（6÷1.2）×（10﹣8÷10﹣5） ＝5×10﹣3， 故答案为：5×10﹣3． 【点睛】此题考查了单项式除以单项式和科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 21．计算： （1）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷2x2； （2）[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（2b+a）﹣2a（2a﹣b）]÷2a． 【思路点拨】（1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算即可． 【解析】解：（1）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷2x2 ＝4x6y2•（﹣2xy）+（﹣8x9y3）÷2x2 ＝﹣8x7y3﹣4x7y3 ＝﹣12x7y3； （2）[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（2b+a）﹣2a（2a﹣b）]÷2a ＝（a2﹣4ab+4b2+a2﹣4b2﹣4a2+2ab）÷2a ＝（﹣2a2﹣2ab）÷2a ＝﹣2a2÷2a﹣2ab÷2a ＝﹣a﹣b． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．先化简，再求值：，其中x＝3，． 【思路点拨】根据整式的除法的运算法则进行计算． 【解析】解：原式＝4（x﹣y）2﹣4（x2+y2） ＝4（x2﹣2xy+y2）﹣4（x2+y2） ＝﹣8xy， 当x＝3，时， ﹣8xy＝． 【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题组C 培优拔尖练 23．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为﹣2x2y．若小米报的整式是4x6y4﹣6x3y2，则小花应报的整式是　﹣2x4y3+3xy　 ． 【思路点拨】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式乘法运算法则求解即可． 【解析】解：根据题意可知，小花应报的整式为： （4x6y4﹣6x3y2）÷（﹣2x2y） ＝4x6y4÷（﹣2x2y）﹣6x3y2÷（﹣2x2y） ＝﹣2x4y3﹣6x3y2÷（﹣2x2y） ＝﹣2x4y3+3xy． 故答案为：﹣2x4y3+3xy． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法运算法则是关键． 24．已知A＝3x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得，试求： （1）B+A的值； （2）的值． 【思路点拨】（1）根据题意可得，从而求出B，然后再计算B+A，即可解答． （2）根据（1）中B的值，再代入，即可解答． 【解析】解：（1）， ∴， ∴B+A＝6x3﹣x2+6x． （2）由（1）可得B＝6x3﹣x2+3x， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 25．阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　7　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　23　 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　﹣4　 ． 【思路点拨】根据材料1与2的定义即可求出答案．由题意可知：f（1）＝m+n+5＝7，f（﹣1）＝m﹣n+5＝3，列出方程组解出m+n与m﹣n的值即可求出答案． 【解析】解：依题意，∵f（x）＝x2﹣2x﹣1， ∴f（﹣2）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1＝4+4﹣1＝7； 依题意，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于f（6）＝（6）2﹣2×6﹣1＝23； ∵依题意，f（x）除以（x﹣1）时所得余数为f（1）＝m+n+5＝7， f（x）除以（x+1）时所得余数为f（﹣1）＝m﹣n+5＝3， ∴， ∴， ∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×（﹣2）＝﹣4． 故答案为：7，23，﹣4 【点睛】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型． 26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算（8x2+6x+2）÷（2x+1），可用如图的竖式进行计算．因此商式是4x+1，余式是1． （1）计算（3x2+10x+4）÷（x+3），商式是 　3x+1　 ，余式是 　1　 ； （2）计算（a2+ab﹣2b2）÷（a﹣b），结果为 　a+2b　 ； （3）已知M是一个整式，m是常数，x≠﹣1，M（x+1）＝x2+mx+36，求m的值． 【思路点拨】（1）列竖式计算（3x2+10x+4）÷（x+3）即可得出商式和余式； （2）列竖式计算（a2+ab﹣2b2）÷（a﹣b）即可得出结果； （3）由M（x+1）＝x2+mx+36，得M＝（x2+mx+36）÷（x+1），再列竖式计算得出余式，然后根据余式为0即可得出m的值． 【解析】解：（1）列竖式计算如下： ∴商式是：3x+1，余式是：1， 故答案为：3x+1，1； （2）列竖式计算如下： ∴（a2+ab﹣2b2）÷（a﹣b）＝a+2b， 故答案为：a+2b； （3）∵M是一个整式，m是常数，x≠﹣1，M（x+1）＝x2+mx+36， ∴M＝（x2+mx+36）÷（x+1）， 列竖式计算如下： ∵M是一个整式， ∴37﹣m＝0， ∴m＝37． 【点睛】此题主要整式，整式的除法运算，熟练掌握题目中给出利用列竖式进行整式除法运算的规则进行计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18课 整式的除法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握单项式除以单项式的运算法则. 2.掌握多项式除以单项式的运算法则. 3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 单项式除以单项式 单项式除以单项式的法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 ( 能力拓展 )考点01 单项式除以单项式 【典例1】计算： （1）28x4y2÷7x3y；（2）﹣5a5b3c÷15a4b （3）﹣a2x4y3÷（﹣axy2） （4）（6x2y5）÷（3xy2）2． 【即学即练1】计算： （1）a•a4÷a3 （2）（﹣x）6÷（﹣x）2•（﹣x）3 （3）27x8÷3x4 （4）﹣12m3n3÷4m2n3 （5）（6x2y3z2）2÷4x3y4 （6）（﹣6a2b5c）÷（﹣2ab2）2． 考点02 多项式除以单项式 【典例2】计算． （1）（4x2y﹣8x3y2）÷（4x2y）； （2）（5x2y3﹣4x3y2+6x）÷（6x）； （3）； （4）[x（3﹣4x）+2x2（x﹣1）]÷（﹣2x）． 【即学即练2】计算： （1）（6a3b﹣9a2c）÷3a2； （2）（4a3﹣6a2+9a）÷（﹣2a）； （3）（﹣4m2+20m3n﹣m2n2）÷（﹣4m2）； （4）（x2y﹣xy2﹣2xy）÷． 考点03 整式的混合运算 【典例3】先化简，再求值：（12x3﹣6x2+3x）÷3x﹣（2x+y）（2x﹣y），其中． 【即学即练3】化简： （1）（﹣a2）3+（﹣a2）•a4； （2）（﹣3a2）（2ab2﹣3ab3）； （3）（15x2y2﹣2xy3﹣4y4）÷y2﹣（5x﹣2y）（3x+2y）； （4）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列计算正确的是（　　） A．a•a2＝a2 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．2x6÷x2＝2x4 D．x2+x3＝x3 2．计算：（﹣4x2y+2xy）÷2xy＝（　　） A．﹣2x B．﹣2x+1 C．﹣3x2y D．﹣x2y 3．计算（a3b2﹣a2b）÷ab的结果为（　　） A．a2b﹣a B．a3b﹣a C．a2b2﹣ab D．a2b﹣ab 4．计算：＝（　　） A． B． C．﹣6x2y D．﹣6x2y2 5．长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（　　） A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b 6．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a3b2）3＝﹣6a9b6 B．（﹣a5）÷（﹣a）2＝a3 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（﹣b+2a）＝4a2﹣b2 7．下列运算中正确的是（　　） A．（3a﹣2）（2+3a）＝9a2﹣4 B．（m2﹣mn）÷m＝m﹣mn C．（y+1）2＝y2+1 D．n12÷n4＝n3 8．计算：﹣5a5b3c÷15a4b＝　 　 ． 9．计算：12x2y÷（﹣6xy）＝　 　 ． 10．计算：＝ 　 ． 11．计算：（15x2y﹣10xy2）÷（5xy）＝　 　 ． 12．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是 　 　 ． 13．计算： （1）（2a）3•b4÷12a3b2； （2）（﹣a7b5）÷a2b5； （3）（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3； （4）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2． 14．计算： （1）3a3b•a2b2÷（﹣a2b）2； （2）（6x3﹣24x2+4x）÷（﹣2x）； （3）（2x+1）（2x﹣1）+（3x﹣1）（1﹣x）． 15．计算： （1）3x•（4x2y）2÷8xy； （2）6a7b8c÷（﹣2ab）•（a）； （3）（y3﹣7xy2+y5）÷（y2）； （4）（﹣15x3y+12xy2﹣xy）÷（﹣xy）． 题组B 能力提升练 16．下列运算正确的是（　　） A．3a2•2a3＝6a6 B．（6ab+a）÷a＝6b C．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 17．若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 18．下列计算错误的是（　　） A． B．2m（m2﹣3mn）＝2m3﹣6m2n C．（y+x）（y﹣x）＝x2﹣y2 D． 19．规定一种新运算“⊗”，则有a⊗b＝a2÷b，当x＝﹣1时，代数式（3x2﹣x）⊗x2＝　 　 ． 20．（6×10﹣8）÷（1.2×10﹣5）＝　 　 .（结果用科学记数法表示） 21．计算： （1）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷2x2； （2）[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（2b+a）﹣2a（2a﹣b）]÷2a． 22．先化简，再求值：，其中x＝3，． 题组C 培优拔尖练 23．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为﹣2x2y．若小米报的整式是4x6y4﹣6x3y2，则小花应报的整式是　 ． 24．已知A＝3x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得，试求： （1）B+A的值； （2）的值． 25．阅读材料：【材料1】将关于x的多项式用符号f（x）来表示，当x＝a时，该多项式的值就表示为f（a）．例如：f（x）＝2x2﹣x+1，当x＝3时，该多项式的值为f（3）＝2×32﹣3+1＝16．【材料2】当一个多项式f（x）除以（x﹣a）时，所得的余数就等于f（a）．例如，当多项式f（x）＝x2+x+2除以（x﹣3）时，所得的余数就等于f（3）＝32+3+2＝14．根据以上材料回答问题：已知多项式f（x）＝x2﹣2x﹣1，则f（﹣2）＝　 　 ，f（x）除以（x﹣6）时所得的余数等于 　 　 ；已知多项式f（x）＝mx2+nx+5（m、n为常数），若f（x）除以（x﹣1）时所得余数为7，f（x）除以（x+1）时所得余数为3，则m2﹣n2的值为 　 　 ． 26．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算（8x2+6x+2）÷（2x+1），可用如图的竖式进行计算．因此商式是4x+1，余式是1． （1）计算（3x2+10x+4）÷（x+3），商式是 　　 ，余式是 　　 ； （2）计算（a2+ab﹣2b2）÷（a﹣b），结果为 　 　 ； （3）已知M是一个整式，m是常数，x≠﹣1，M（x+1）＝x2+mx+36，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$