第16课 整式的化简-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第16课 整式的化简 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序. 2.会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简. 3.会利用整式的加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 整式的化简的运算顺序 整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能运用乘法公式的则运用公式. ( 能力拓展 )考点01 整式的混合运算 【典例1】计算． （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）﹣5x（﹣x2+2x+1）﹣（2x+3）（5﹣x2）； （3）（3x﹣y）（y+3x）﹣（x﹣3y）（4x+3y）． 【即学即练1】 1．计算： （1）（a+b）（a﹣2b）+b（a+2b）； （2）（a+b）2﹣a（a+2b+1）； （3）20232﹣2024×2022（运用乘法公式）． 2．计算： （1）（x﹣2y）（x+3y） （2）（x﹣1）（x2﹣x+1） （3）（﹣2x+9y2）（x2﹣5y） （4）（2a2﹣1）（a﹣4）﹣（a2+3）（2a﹣5） 考点02 整式的化简求值 【典例2】先化简，再求值： （1）3a2+[a2+（5a2﹣2a）﹣3（a2﹣3a）]，其中a＝﹣2． （2）﹣2（2x+y）2﹣（2x+y）+3（2x+y）2+（y+2x）﹣5，其中x＝﹣1，y＝2． 【即学即练2】1．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣2（x2+3）+（x﹣1）2，其中． 2．先化简，再求值：（2x）2﹣2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2，其中x＝1，y＝2． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列整式运算错误的是（　　） A．﹣ab+2ba＝ab B．3a2b+2ab2﹣5a2b﹣ab2＝﹣ab2 C．﹣2（3﹣x）＝﹣6+2x D．m﹣n2+m﹣n2＝2m﹣2n2 2．下列运算正确的是（　　） A．﹣3x2﹣2x2＝﹣5x4 B．（﹣2a2）4＝16a6 C．a（2a﹣1）＝2a2﹣a D．x（x2﹣x﹣1）＝x3﹣x2 3．下列计算正确的是（　　） A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2+x2＝2x4 C．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2 D．（2x2）4＝8x8 4．下列各式中计算正确的是（　　） A．（a+m）（b+n）＝ab+mn B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣2x+1 C．（x+2）2＝x2+4 D．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 5．下列计算正确的是（　　） A．（x+2y）（x+2y）＝x2+4y2 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 D．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 6．如果m2+m＝3，那么m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．10 B．9 C．4 D．﹣6 7．3x2•（﹣2xy3）＝　 　 ；＝　 　 ；（2m+3）（ 　 ）＝4m2﹣9；（﹣2ab﹣3）2＝　 　 ； 20242﹣2022×2026＝　 　 ． 8．计算：＝ 　 　 ． 9．若a2+2b2＝4，则3a（a+b）﹣（a﹣b）（a+4b）的值为 　 　 ． 10．先化简，再求值： （1）5a（a2﹣3a+1）﹣a2（1﹣a），其中a＝2． （2）（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y），其中x＝3，y＝1． 11．化简求值． （1）（x﹣2）（x+3）+3（x﹣1）（x+1）﹣（2x+1）（2x﹣3），其中x＝． （2）﹣a（a2﹣2ab﹣b2）﹣b（ab+2a2﹣b2），其中a＝2，b＝． 12．张老师在黑板上布置了一道题：计算2（x+2）2﹣2（4x﹣5），并求出当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？请说明理由． 13．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：（a﹣1）﹣3a（a﹣1）﹣（2a﹣6），其中a＝2． 解：原式＝a﹣1﹣3a2﹣3a﹣2a+6…步骤1 ＝﹣3a2+a﹣3a﹣2a﹣1+6…步骤2 ＝﹣3a2﹣4a+5…步骤3 当a＝2时，原式＝﹣3×22﹣4×2+5＝﹣15…步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤 　 　 开始出现错误，错误的原因是 　 　 ； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 14．先化简，再求值： （1）3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． （2）2x2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝﹣2． 15．先化简，再求值： （1）（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1． （2）（2x+y）（x﹣y）﹣2（x2﹣3xy）+y2，其中x＝﹣2，． 题组B 能力提升练 16．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（　　） A．2b B．2a C．2a﹣2b D．﹣2b 17．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　） A．4 B．10 C．16 D．20 18．小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2024代入，结果还是25．则m的值为 　 　 ． 19．计算： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2； （3）（2m﹣1）2﹣（3m﹣1）（3m+1）+5m（m﹣1）． 20．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中，y＝32023． 21．化简求值： （1）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b＝﹣2； （2）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 题组C 培优拔尖练 22．已知x满足（x﹣2020）（x﹣2024）＝516，则（x﹣2022）2的值是（　　） A．512 B．516 C．520 D．1032 23．定义一种新运算：＝ad﹣bc．如：＝2×5﹣3×4＝﹣2．若的值与x的取值无关，则的值为 　 　 ． 24．对于P、Q，定义一种新运算“⊕”，当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，下列说法： ①已知A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3，3⊕A+（﹣2⊕B）的值与x的取值无关，则a＝2，b＝2； ②对于任意的实数m、n，若，则 ； ③满足[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2的整数解（x，y）共有9种． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 25．已知2a+4b+6c+8d＝60，a2+b2+c2+d2＝30．则ab+bc+cd+da的值是　 　 ． 26．已知（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝5．则（a﹣2024）（2025﹣a）＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16课 整式的化简 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序. 2.会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简. 3.会利用整式的加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 整式的化简的运算顺序 整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能运用乘法公式的则运用公式. ( 能力拓展 )考点01 整式的混合运算 【典例1】计算． （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）﹣5x（﹣x2+2x+1）﹣（2x+3）（5﹣x2）； （3）（3x﹣y）（y+3x）﹣（x﹣3y）（4x+3y）． 【思路点拨】（1）利用立方差公式即可求得； （2）首先计算单项式与多项式的乘法以及多项式的乘法，最后合并同类项即可求解； （3）首先计算多项式的乘法，然后合并同类项即可求解． 【解析】解：（1）原式＝x3﹣1； （2）原式＝5x3﹣10x2﹣5x﹣（10x﹣2x3+15﹣3x2） ＝5x3﹣10x2﹣5x﹣10x+2x3﹣15+3x2 ＝7x3﹣7x2﹣12x﹣15； （3）原式＝9x2﹣y2﹣（4x2+3xy﹣12xy﹣9y2） ＝9x2﹣y2﹣4x2﹣3xy+12xy+9y2 ＝5x2+8y2+9xy． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，理解乘法法则以及正确进行合并同类项是关键． 【即学即练1】 1．计算： （1）（a+b）（a﹣2b）+b（a+2b）； （2）（a+b）2﹣a（a+2b+1）； （3）20232﹣2024×2022（运用乘法公式）． 【思路点拨】（1）按照多项式乘多项式的法则、单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式、单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （3）利用平方差公式简便计算． 【解析】解：（1）原式＝a2﹣2ab+ba﹣2b2+ba+2b2； ＝a2； （2）原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣a ＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣a ＝b2﹣a； （3）20232﹣2024×2022 ＝20232﹣（2023+1）×（2023﹣1） ＝20232﹣（20232﹣1） ＝1． 【点睛】本题考查了整式的乘除法运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 2．计算： （1）（x﹣2y）（x+3y） （2）（x﹣1）（x2﹣x+1） （3）（﹣2x+9y2）（x2﹣5y） （4）（2a2﹣1）（a﹣4）﹣（a2+3）（2a﹣5） 【思路点拨】根据多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，有同类项的再合并同类项． 【解析】解：（1）（x﹣2y）（x+3y）， ＝x2+3xy﹣2xy﹣6y2， ＝x2+xy﹣6y2； （2）（x﹣1）（x2﹣x+1）， ＝x3﹣x2+x﹣x2+x﹣1， ＝x3﹣2x2+2x﹣1； （3）（﹣2x+9y2）（x2﹣5y）， ＝﹣x3+10xy+3x2y2﹣45y3； （4）（2a2﹣1）（a﹣4）﹣（a2+3）（2a﹣5）， ＝2a3﹣8a2﹣a+4﹣（2a3﹣5a2+6a﹣15）， ＝2a3﹣8a2﹣a+4﹣2a3+5a2﹣6a+15， ＝﹣3a2﹣7a+19． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 考点02 整式的化简求值 【典例2】先化简，再求值： （1）3a2+[a2+（5a2﹣2a）﹣3（a2﹣3a）]，其中a＝﹣2． （2）﹣2（2x+y）2﹣（2x+y）+3（2x+y）2+（y+2x）﹣5，其中x＝﹣1，y＝2． 【思路点拨】本题应对方程去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把a或x、y的值代入即可． 【解析】解：（1）原式＝3a2+a2+5a2﹣2a﹣3a2+9a＝6a2+7a， 当a＝﹣2时，原式＝6×（﹣2）2+7×（﹣2）＝10． （2）原式＝﹣2（4x2+4xy+y2）﹣2x﹣y+3（4x2+4xy+y2）+y+2x﹣5， ＝﹣8x2﹣8xy﹣2y2﹣2x﹣y+12x2+12xy+4y2+y+2x﹣5， ＝4x2+4xy+x+y+y2﹣5， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝4×（﹣1）2+4×（﹣1）×2+（﹣1）+×2+22﹣5＝﹣5． 【点睛】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 【即学即练2】1．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣2（x2+3）+（x﹣1）2，其中． 【思路点拨】先用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项，最后代入求值即可． 【解析】解：原式＝x2﹣9﹣2x2﹣6+x2﹣2x+1 ＝﹣14﹣2x， ∵， ∴原式＝． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 2．先化简，再求值：（2x）2﹣2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2，其中x＝1，y＝2． 【思路点拨】先算积的乘方和完全平方公式，再算单项式乘多项式，同时去括号，然后合并同类项，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【解析】解：（2x）2﹣2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2 ＝4x2﹣2y（x﹣y）﹣（x2﹣2xy+y2） ＝4x2﹣2xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝3x2+y2， 当x＝1，y＝2时，原式＝3×12+22＝7． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列整式运算错误的是（　　） A．﹣ab+2ba＝ab B．3a2b+2ab2﹣5a2b﹣ab2＝﹣ab2 C．﹣2（3﹣x）＝﹣6+2x D．m﹣n2+m﹣n2＝2m﹣2n2 【思路点拨】根据合并同类项法则和去括号法则逐个判断即可． 【解析】解：A．﹣ab+2ba＝ab，故本选项不符合题意； B.3a2b+2ab2﹣5a2b﹣ab2＝﹣2a2b+ab2，故本选项符合题意； C．﹣2（3﹣x）＝﹣6+2x，故本选项不符合题意； D．m﹣n2+m﹣n2＝2m﹣2n2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，去括号法则和整式的混合运算，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．﹣3x2﹣2x2＝﹣5x4 B．（﹣2a2）4＝16a6 C．a（2a﹣1）＝2a2﹣a D．x（x2﹣x﹣1）＝x3﹣x2 【思路点拨】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式的乘法法则，对各选项计算后利用排除法求解． 【解析】解：A、应为﹣3x2﹣2x2＝﹣5x2，故本选项错误； B、应为（﹣2a2）4＝16a8，故本选项错误． C、a（2a﹣1）＝2a2﹣a，正确． D、应为x（x2﹣x﹣1）＝x3﹣x2﹣x，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2+x2＝2x4 C．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2 D．（2x2）4＝8x8 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，故选项A正确，符合题意； x2+x2＝2x2，故选项B错误，不符合题意； （x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，故选项C错误，不符合题意； （2x2）4＝16x8，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．下列各式中计算正确的是（　　） A．（a+m）（b+n）＝ab+mn B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣2x+1 C．（x+2）2＝x2+4 D．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 【思路点拨】根据整式的乘除，平方差公式，完全平方公式计算即可． 【解析】A． （a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，原计算错误，不符合题意； B． （x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，原计算错误，不符合题意； C． （x+2）2＝x2+4x+4，原计算错误，不符合题意； D． （﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘除，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 5．下列计算正确的是（　　） A．（x+2y）（x+2y）＝x2+4y2 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 D．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 【思路点拨】根据完全平方公式、多项式乘多项式的法则、平方差公式，判断即可． 【解析】解：（x+2y）（x+2y）＝x2+4xy+4y2，A错误； （x﹣2）2＝x2﹣4x+4，B错误； （x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，C错误； （﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2，D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、多项式乘多项式的法则、平方差公式是解题的关键． 6．如果m2+m＝3，那么m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．10 B．9 C．4 D．﹣6 【思路点拨】将所求式子先化简，然后将m2+m＝3代入化简后的式子计算即可． 【解析】解：∵m2+m＝3， ∴m（m﹣2）+（m+2）2 ＝m2﹣2m+m2+4m+4 ＝2m2+2m+4 ＝2（m2+m）+4 ＝2×3+4 ＝6+4 ＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．3x2•（﹣2xy3）＝　﹣6x3y3　 ；＝　a4b﹣ab2　 ；（2m+3）（ 　2m﹣3　 ）＝4m2﹣9；（﹣2ab﹣3）2＝　4a2b2+12ab+9　 ；20242﹣2022×2026＝　4　 ． 【思路点拨】根据整式的混合运算法则逐一计算即可． 【解析】解：3x2•（﹣2xy3）＝﹣6x3y3； 2ab（a3﹣b）＝a4b﹣ab2； （2m﹣3）•（2m+3）＝（4m2﹣9）； （﹣2ab﹣3）2＝4a2b2+12ab+9； 20242﹣2022×2026＝20242﹣（2024﹣2）（2024+2）＝20242﹣20242+4＝4； 故答案为：﹣6x3y3；a4b﹣ab2；2m﹣3；4a2b2+12ab+9；4． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 8．计算：＝ 　﹣6a3b+3a2b2　 ． 【思路点拨】先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得． 【解析】解： ＝﹣a3b﹣2a2b2﹣5a3b+5a2b2 ＝﹣6a3b+3a2b2， 故答案为：﹣6a3b+3a2b2． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 9．若a2+2b2＝4，则3a（a+b）﹣（a﹣b）（a+4b）的值为 　8　 ． 【思路点拨】根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【解析】解：3a（a+b）﹣（a﹣b）（a+4b） ＝3a2+3ab﹣（a2+4ab﹣ab﹣4b2） ＝3a2+3ab﹣a2﹣4ab+ab+4b2 ＝2a2+4b2， ∵a2+2b2＝4， ∴2a2+4b2＝8， 则原式＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 10．先化简，再求值： （1）5a（a2﹣3a+1）﹣a2（1﹣a），其中a＝2． （2）（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y），其中x＝3，y＝1． 【思路点拨】（1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将a＝2代入计算即可得； （2）先计算乘法公式，再计算整式的加减，然后将x＝3，y＝1代入计算即可得． 【解析】解：（1）5a（a2﹣3a+1）﹣a2（1﹣a） ＝5a3﹣15a2+5a﹣a2+a3 ＝6a3﹣16a2+5a， 将a＝2代入得：原式6×23﹣16×22+5×2＝﹣6． （2）[（x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）] ＝x2﹣2xy+y2﹣（x2﹣y2） ＝x2﹣2xy+y2﹣x2+y2 ＝﹣2xy+2y2， 将x＝3，y＝1代入得：原式﹣2×3×1+2×12＝﹣4． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式、乘法公式以及求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键． 11．化简求值． （1）（x﹣2）（x+3）+3（x﹣1）（x+1）﹣（2x+1）（2x﹣3），其中x＝． （2）﹣a（a2﹣2ab﹣b2）﹣b（ab+2a2﹣b2），其中a＝2，b＝． 【思路点拨】（1）首先利用多项式与多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可化简，最后代入x的值计算即可求解； （2）首先利用单项式与多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可化简，最后代入x的值计算即可求解 【解析】解：（1）原式＝x2+x﹣6+3（x2﹣1）﹣（4x2﹣4x﹣3） ＝x2+x+3x2﹣3﹣4x2+4x+3 ＝5x+3， 当x＝时，原式＝4+3＝7； （2）原式＝﹣a3+2a2b+ab2﹣ab2﹣2a2b+b3 ＝﹣a3+b3 当a＝2，b＝时，原式＝﹣8+＝﹣7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解运算法则，正确去括号、合并同类项是关键． 12．张老师在黑板上布置了一道题：计算2（x+2）2﹣2（4x﹣5），并求出当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？请说明理由． 【思路点拨】先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解． 【解析】解：2（x+2）2﹣2（4x﹣5） ＝2x2+8x+8﹣8x+10 ＝2x2+18． 当时，原式＝； 当时，原式＝． 当 x＝a时，原式＝2a2+18， 当 x＝﹣a时，原式＝2（﹣a）2+18＝2a2+18． 故小亮说得对． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法． 13．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：（a﹣1）﹣3a（a﹣1）﹣（2a﹣6），其中a＝2． 解：原式＝a﹣1﹣3a2﹣3a﹣2a+6…步骤1 ＝﹣3a2+a﹣3a﹣2a﹣1+6…步骤2 ＝﹣3a2﹣4a+5…步骤3 当a＝2时，原式＝﹣3×22﹣4×2+5＝﹣15…步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤 　一　 开始出现错误，错误的原因是 　括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号　 ； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【思路点拨】任务一：根据运算过程即可求解； 任务二：按去括号法则，合并同类项法则，正确运算即可求解． 【解析】解：任务一：小智的解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号， 故答案为：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号； 任务二： （a﹣1）﹣3a（a﹣1）﹣（2a﹣6） ＝a﹣1﹣3a2+3a﹣2a+6 ＝﹣3a2+a+3a﹣2a﹣1+6 ＝﹣3a2+2a+5， 当a＝2时， 原式＝﹣3×22+2×2+5＝﹣3． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握其运算法则． 14．先化简，再求值： （1）3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． （2）2x2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝﹣2． 【思路点拨】（1）先按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解． （2）先按单项式乘以多项式及平方差公式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解． 【解析】解：（1）原式＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a 当a＝﹣2时， 原式＝﹣20×（﹣2）2+9×（﹣2） ＝﹣20×4+（﹣18） ＝﹣98； （2）原式＝2x2﹣9x2+1+5x2﹣5x ＝﹣2x2﹣5x+1， 当x＝﹣2时， 原式＝﹣2×（﹣2）2﹣5×（﹣2）+1 ＝﹣2×4+10+1 ＝3． 【点睛】本题考查了整式化简求值，掌握化简步骤是解题的关键． 15．先化简，再求值： （1）（x+y）2+（3y+x）（3y﹣x），其中x＝2，y＝﹣1． （2）（2x+y）（x﹣y）﹣2（x2﹣3xy）+y2，其中x＝﹣2，． 【思路点拨】（1）先根据完全平方公式和平方差公式运算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可； （2）先运算多项式乘以多项式，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可． 【解析】解：（1）原式＝x2+2xy+y2+9y2﹣x2 ＝2xy+10y2 当x＝2，y＝﹣1时， 原式＝2×2×（﹣1）+10×（﹣1）2 ＝﹣4+10 ＝6； （2）原式＝2x2﹣2xy+xy﹣y2﹣2x2+6xy+y2 ＝5xy 当x＝﹣2，时， 原式＝ ＝﹣5． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式运算法则、完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 题组B 能力提升练 16．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（　　） A．2b B．2a C．2a﹣2b D．﹣2b 【思路点拨】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解析】解：∵S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）， ∴S2﹣S1 ＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a） ＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a） ＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab ＝b（AD﹣AB） ＝2b． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 17．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　） A．4 B．10 C．16 D．20 【思路点拨】根据已知条件求出a2+b2的值，可得结论． 【解析】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7， ∴（a2+b2）2﹣9＝7， ∴a2+b2＝4， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+6＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则． 18．小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2024代入，结果还是25．则m的值为 　±5　 ． 【思路点拨】根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，根据题意列式计算即可． 【解析】解：（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n） ＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣（33m2+12mn） ＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣33m2﹣12mn ＝m2， 由题意得：m2＝25， ∴m＝±5， 故答案为：±5． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19．计算： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2； （3）（2m﹣1）2﹣（3m﹣1）（3m+1）+5m（m﹣1）． 【思路点拨】（1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解； （3）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解． 【解析】解：（1）（a﹣2b﹣3c）2 ＝（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）•3c+9c2 ＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc． （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2 ＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． （3）（2m﹣1）2﹣（3m﹣1）（3m+1）+5m（m﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣（9m2﹣1）+5m2﹣5m ＝9m2﹣9m+1﹣9m2+1 ＝﹣9m+2． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解此题的关键． 20．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中，y＝32023． 【思路点拨】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【解析】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y） ＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣y2）﹣（2xy+2y2） ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2 ＝2xy， 当x＝（）2024，y＝32023时，原式＝2×（）2024×32023＝． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 21．化简求值： （1）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b＝﹣2； （2）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【思路点拨】（1）先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）根据已知易得：A﹣2B＝（5y﹣2）x+2y，然后根据A﹣2B的值与x的取值无关，可得5y﹣2＝0，最后进行计算即可解答． 【解析】解：（1）﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b） ＝﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b ＝﹣ab2， 当a＝﹣1，b＝﹣2时，原式＝﹣（﹣1）×（﹣2）2＝1×4＝4； （2）∵A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x， ∴A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣2（x2﹣xy+x） ＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x ＝5xy﹣2x+2y ＝（5y﹣2）x+2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴5y﹣2＝0， 解得：y＝． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．已知x满足（x﹣2020）（x﹣2024）＝516，则（x﹣2022）2的值是（　　） A．512 B．516 C．520 D．1032 【思路点拨】将所求式子化为[（x﹣2020）﹣2][（x﹣2024）+2]，再化简这个式子，然后将（x﹣2020）（x﹣2024）＝516整体代入求值即可． 【解析】解：∵（x﹣2020）（x﹣2024）＝516， ∴（x﹣2022）2 ＝[（x﹣2020）﹣2][（x﹣2024）+2] ＝（x﹣2020）（x﹣2024）+2（x﹣2020）﹣2（x﹣2024）﹣4 ＝516+2[（x﹣2020）﹣（x﹣2024）]﹣4 ＝516+2（x﹣2020﹣x+2024）﹣4 ＝516+2×4﹣4 ＝516+8﹣4 ＝520， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是注意观察式子的形式，利用整体思想进行运算． 23．定义一种新运算：＝ad﹣bc．如：＝2×5﹣3×4＝﹣2．若的值与x的取值无关，则的值为 　﹣4　 ． 【思路点拨】先化简，然后根据的值与x的取值无关，可以得到k的值，然后即可求得所求式子的值． 【解析】解：由题意可得， ＝（﹣x+1）×2﹣k（3﹣x） ＝﹣2x+2﹣3k+kx ＝（﹣2+k）x+2﹣3k， ∵的值与x的取值无关， ∴﹣2+k＝0， 解k＝2， ∴ ＝2﹣3k ＝2﹣3×2 ＝2﹣6 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减无关型问题，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键． 24．对于P、Q，定义一种新运算“⊕”，当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，下列说法： ①已知A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3，3⊕A+（﹣2⊕B）的值与x的取值无关，则a＝2，b＝2； ②对于任意的实数m、n，若，则 ； ③满足[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2的整数解（x，y）共有9种． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】对于①，因为P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，所以3⊕A+（﹣2⊕B）＝3+ax2﹣2x+1+（﹣2）﹣（2x2﹣bx+3），然后去括号、合并同类项，将式子进行化简，因为3⊕A+（﹣2⊕B）与x的取值无关，所以a﹣2＝0，b﹣2＝0，求出a、b． （2）对于②，因为若，所以m2+n2＝22，[5⊕（m2﹣4m）]﹣[﹣5⊕（n2﹣4n）]＝5+m2﹣4m﹣[﹣5﹣（n2﹣4n）]，然后去括号、合并同类项计算，求出结果是（m2+n2）﹣4（m+n）+10，代入数值得22﹣4×+10＝． （3）因为[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2，所以2+x2+y2﹣2x﹣2y≤2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，求出x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝0，y＝1；x＝1，y＝0；x＝2，y＝2；x＝2，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝0；x＝0，y＝2． 【解析】解：对于①： 因为当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q， A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3， 对于①： 3⊕A+（﹣2⊕B） ＝3+ax2﹣2x+1+（﹣2）﹣（2x2﹣bx+3） ＝3+ax2﹣2x+1﹣2﹣2x2+bx﹣3 ＝（a﹣2）x2+（b﹣2）x﹣1； 因为3⊕A+（﹣2⊕B）与x的取值无关， 所以a﹣2＝0，b﹣2＝0， 即a﹣＝2，b＝2． 故①正确． 对于②： 因为， 所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝10﹣2×（﹣6）＝22， [5⊕（m2﹣4m）]﹣[﹣5⊕（n2﹣4n）] ＝5+m2﹣4m﹣[﹣5﹣（n2﹣4n）] ＝m2﹣4m+5+5+n2﹣4n ＝（m2+n2）﹣4（m+n）+10 ＝22﹣4×+10 ＝； 故②正确． 对于③： [2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2 2+x2+y2﹣2x﹣2y≤2 （x2﹣2x+1）+（y2﹣2y+1）≤2 （x﹣1）2+（y﹣1）2≤2， 因为x、y为整数， 所以有x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝0，y＝1；x＝1，y＝0；x＝2，y＝2；x＝2，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝0；x＝0，y＝2． 即整数解（x，y）共有9种． 故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是将式子代入题中定义的式子进行计算． 25．已知2a+4b+6c+8d＝60，a2+b2+c2+d2＝30．则ab+bc+cd+da的值是　24　 ． 【思路点拨】将两个式子相减得a2+b2+c2+d2﹣2a﹣4b﹣6c﹣8d＝﹣30，化为（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2+（d﹣4）2＝0，即可求解． 【解析】解：2a+4b+6c+8d＝60①， a2+b2+c2+d2＝30②， ②﹣①整理得：a2+b2+c2+d2﹣2a﹣4b﹣6c﹣8d+30＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2+（d﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，d﹣4＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝4， ab+bc+cd+da ＝1×2+2×3+3×4+1×4 ＝24； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零，理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 26．已知（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝5．则（a﹣2024）（2025﹣a）＝ 　﹣2　 ． 【思路点拨】根据完全平方公式将题目中的式子变形，然后整理化简，即可得到所求式子的值． 【解析】解：∵（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝5， ∴[（a﹣2024）+（2025﹣a）]2﹣2（a﹣2024）（2025﹣a）＝5， ∴（a﹣2024+2025﹣a）2﹣2（a﹣2024）（2025﹣a）＝5， ∴（﹣1）2﹣2（a﹣2024）（2025﹣a）＝5， ∴1﹣2（a﹣2024）（2025﹣a）＝5， 解得（a﹣2024）（2025﹣a）＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$