专题15 反比例函数与一次函数的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题15 反比例函数与一次函数的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 2 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 4 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 5 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 10 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 压轴题型讲练 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解． 【详解】解：A、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； B、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； C、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； D、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数它的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数函数的图象与性质是解题的关键． 先确定直线与y轴交于点，函数与可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，综合即可判断结果． 【详解】解：对于，当，， ∴直线与y轴交于点，故A、D不符合题意； 由函数与，可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，故C不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 例题：（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标． 【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：. ∴. ∴， 将点A坐标代入正比例函数得：. ∴. 故答案为：. 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·一模）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象有一个交点为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求反比例函数解析式等知识点，熟练掌握一次函数图象及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由一次函数的图象过点可得，进而可得，于是可得该交点坐标为，由反比例函数（k为常数，且）的图象过点可得，由此即可求出的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ， ， 反比例函数（k为常数，且）的图象过点， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 2．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 例题：（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； （2）解：当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例函数表达式、求直线与反比例函数交点、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)①8；② 或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用， （1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案； （2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可； ②根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数中，得 ， ， ， 将代入反比例函数得： ， ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：① 在中，当时， ， ， ∴， ； ②∵， ∴， 由图象可得：或． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)数的解析式为和点D的坐标为 (2) (3) (4)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法等； （1）将点的坐标代入可求出，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两解析式，解方程组即可得答案； （2）根据图象，由上方的图象对应的函数值较大，即可求解； （3）由即可求解； （4）设，则有，求出，可得，即可求解； 熟练利用一次函数与反比例函数的交点进行求解不等式及面积是解题的关键． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的根， ， ； 故反比例函数的解析式为、点D的坐标为； （2）解：由图象得 当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，， ， ； （4）解：设， ， 轴， ， ， 解得：， ， ， ， 或， 当时， 解得：，， 经检验：，是此方程的根； 当时， 整理得：， 不存在； 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、已知函数经过的象限求参数范围、已知双曲线分布的象限，求参数范围、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 【答案】4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，理解待定系数法是解题的关键．先根据待定系数法求出m、k的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 6．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 7．（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 【答案】 或； 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式． （1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案； （2）由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入，得直线的解析式为，分别令，即可得，，再根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为：或； 故答案为：或； （2）由题意知，，， 由图象可知，， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，，即， 令得，，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想． （1）由，可求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入求得的值，然后可得反比例函数解析式，设直线的解析式为，将点坐标代入求得的值，然后可得直线的解析式，联立反比例函数与直线的解析式，求得合适的的值，然后代入反比例函数解析式求解可得点坐标； （2）由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，根据题意确定和内的点坐标，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意可得， ∴， 解得：， ∴， ， 将代入得， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立两个解析式得， 解得：， ， ， 将代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为， ∵内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为， ∴内点坐标为内点坐标为， 由第二象限的反比例函数图象越靠近原点越大可得， 故答案为：． 三、解答题 9．（吉林省四平市2024~2025学年下学期九年级第一次月考试卷数学）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）先求出，再求出，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，然后利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵直线与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标． (1)点的坐标是______； (2)求反比例函数的表达式； (3)当直线绕着原点旋转时，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知反比例函数的对称性是解题的关键． （1）根据反比例函数的对称性可知，点A与点B关于原点对称，再由关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设点A的坐标为，则点B的坐标为，利用两点距离计算公式表示出，求出的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，且点的坐标， ∴点的坐标； （2）解：把代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （3）解：设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 12．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式； （2）设，然后根据三角形面积公式列方程求得C点坐标，从而利用待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）把代入中 得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 把代入中 ， ， 设反比例函数的解析式为， 把代入中 得， 反比例函数的解析式为； （2）设 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 14．（2025·甘肃金昌·一模）如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求三角形的面积． 把点的坐标反比例函数的解析式与一次函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式即可； 根据分别求出点、的坐标，再根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，根据三点的坐标求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入反比例函数()， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把点的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作， ， 点、的横坐标为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 解方程：， 整理得： 可得：(不符合题意，舍去)，， 点的横坐标为， ， 的面积为． 15．（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 【答案】(1)①5；② (2) 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的其他综合应用、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）①根据，，直线轴于点H，得出，，然后求出结果即可； ②设，则，求出，，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （2）根据点，得出，，求出，得出，求出，得出，说明为定值，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，，直线轴于点H， ∴， ， ∴；    ②设，则， ，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点， ∴，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D， ∴把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵和变化时，的值始终不变， ∴为定值， ∴为定值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数解析式中k的几何意义． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 反比例函数与一次函数的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 2 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 4 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 5 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 10 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 压轴题型讲练 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 例题：（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·一模）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象有一个交点为，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 2．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 例题：（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 4．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 6．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    7．（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 8．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 三、解答题 9．（吉林省四平市2024~2025学年下学期九年级第一次月考试卷数学）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 10．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标． (1)点的坐标是______； (2)求反比例函数的表达式； (3)当直线绕着原点旋转时，直接写出线段的最小值． 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 12．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 14．（2025·甘肃金昌·一模）如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 15．（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，直线轴于点H，且与反比例函数及反比例函数与的图像分别交于点A、B．    (1)若，，连接、． ①的面积为_______； ② 当时，求点B的坐标． (2)若点，过点A作x轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，点D在直线l的左侧，若和变化时，的值始终不变，求对应k的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$