专题12 一次函数的实际应用问题四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题12 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 5 类型三、一次函数的应用之行程问题 8 类型四、一次函数的应用之几何问题 14 压轴能力测评（15题） 21 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式训练】 1.（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 2.（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 3.（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， A，B两城相距，故①正确，符合题意； 乙车比甲车晚出发，却早到，故②正确，符合题意； 甲车的速度为：，乙车的速度为， 乙车出发后行驶的路程为：，此时甲车行驶的路程为：，故③错误，不符合题意； 当甲、乙两车相距时，设甲车行驶的时间为t小时， 乙车没有出发，则，得； 乙车出发后，两车相遇之前：，得； 两车相遇之后，乙车未到达B城：，得； 乙车到达B城后：，得； 由上可得，当甲、乙两车相距时，或或或，故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 观察函数图象，可得出：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确；当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确；利用待定系数法求出：当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与50比较后即可得出结论③正确；当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时x的值，将其与比较，即可得出结论④错误． 【详解】解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确； 当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴每月上网时间为时，选择B方式最省钱，结论③正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴当时，选择B方式比C方式最省钱，结论④错误． 综上所述，以上四个结论中正确的是①②③． 故选：A． 二、填空题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，购买一种苹果所付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为（元），购买五次1千克所付金额为（元），则 ． 【答案】6 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图象中的数据，可以分别计算出和，然后作差即可． 【详解】解：由图象可得， 2千克以内，每千克苹果的单价为：（ 元）， 当时，设y与x的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， ， ， ∴， 故答案为：6． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B，由题意可得，据此求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点B的坐标是解题的关键． 【详解】如图，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B 由题意可得，， ， ， ， ， 设直线解析式为：过点得 解得： 故直线解析式为： 故答案为： 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． (1)请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； (2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 【答案】(1)；； (2)两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出，关于x的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线的交点横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 把代入中得：， ∴， ∴； 把代入中得：， ∴， ∴； （2）解：联立， 解得， ∴两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 6．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 【答案】(1)17.6元；32元 (2) (3)最多能交13立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了有理数的混合运算、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意，分两种情况：当时，，当时，，分别求解即可； （3）令，求解即可． 【详解】（1）解：∵某户某月用水8立方米，小于立方米， ∴用水8立方米，应交水费（元）； ∵用水14立方米，大于立方米， ∴用水14立方米，应交水费（元）； （2）解：由题意可得：当时，， 当时，， 故； （3）解：∵， ∴令， 解得：， ∵水量x为整数， ∴最多能交13立方米． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)的值为 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）镇北台位于榆林市境内，有“万里长城第一台”的称号，为古长城沿线现存最大的边防要塞之一．周末，小宇一家开车从家出发，前往120千米远的镇北台进行参观，当他们行驶1小时时，汽车突然发生故障、停车检修后又继续向前行驶，他们离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（图中段）与之间的函数关系式； (2)当的值为2时，求小宇一家离镇北台的距离． 【答案】(1)； (2)千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．正确理解题意是解题的关键． （1）设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，将，代入，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设汽车修好后y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴函数关系式为； （2）解： 将代入得，， （千米） ∴当的值为2时，小宇一家离镇北台的距离为千米． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）气温可用摄氏温度和华氏温度表示．下表是小华查阅资料得到的部分对应数据： 0 10 20 30 a 32 50 68 b (1)小华发现，y是x的一次函数关系，请根据表中数据求出y与x的函数表达式； (2)求出a，b的值； (3)某天贵阳的最高气温是，海南的最高气温是，这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)， (3)这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高摄氏度 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）知y与x的函数表达式，将代入计算即可求解出a，b的值； （3）将代入一次函数，求出，再与比较作差即可， 【详解】（1）解：设y与x的一次函数关系为， 由表可得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：将代入一次函数，则， 将代入一次函数，则； （3）解：将代入一次函数，则， ∵，且 ∴这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高摄氏度． 10．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间距离是_____________ ，_____________； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60，1 (2) (3)或或 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了，即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，， ∴A，B两地之间的距离是， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1 （2）解：∵一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发， ∴ ∵A，B两地之间的距离是， ∴ 则设线段所在直线的解析式为 将=代入，得 ， 解得． ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发x小时两车相距， 由题意得，巡逻车的速度为 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距，则， 解得； 综上所述，当货车出发或或时，两车相距． 11．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 【答案】(1) (2)55张 【知识点】求一次函数自变量或函数值、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张．根据单价、数量、总价之间的关系列式即可； （2）令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：所有参与人员总共有（人）， 二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张． 由题可得：． 购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式是； （2）解：令，即， 解得， 购买二等座高铁票的数量是55张． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 【答案】(1)130，20 (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设参加社会实践的学生和老师的人数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）若要总费用最低，必须让尽量多的学生购买二等座，因此分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座，从而写出总费用与之间的函数关系式即可． 【详解】（1）解：设参加社会实践的学生人，老师人． 根据题意，得， 解得． 答：参加社会实践的学生 130 人，老师 20 人． （2）解：（人）， 根据题意，分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座． 则． 答：总费用（单程）与之间的函数关系式为． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、圆的定义、待定系数法求正比例函数解析式、行程问题等知识点，读懂题目信息、理解蚂蚁的爬行轨迹是解题的关键． （1）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间、路程、速度计算即可求出a即可； （2）设，然后利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （3）根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，花坛的半径是4米， 蚂蚁的速度为米/分，． 故答案为：4，8． （2）解：设， ∵函数图象经过点， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵沿途只有一处食物， ∴蚂蚁只能在段吃食物，， ∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，， ∴蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离是． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】(1)当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元 (2)， (3)①A；②或时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）由图象可得当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）利用待定系数法确定；即可． （3）①由骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，当时，构建方程，当时，构建方程，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元． （2）设，经过， ， 得， ． 当时，； 当时， 设，函数经过，， 则 解得 ， ∴； （3）解：①∵骑行时间， ∴当骑行时间小于，A品牌更省钱． ②当时，， 得． 当时，， 变形得， 解得（舍去）或， 或时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 15．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大 (3) 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了动点问题，一次函数的图象与性质，正确理解动点问题是解题的关键． （1）当E在，F在上运动时，，则，利用即可求解，当E、F在上运动时，，则，，因此，利用即可求解； （2）结合（1）中求解的函数解析式即可画出其图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 当E在，F在上运动时，， 则， ， 当E、F在上运动时，， 则，， ， ， 综上所述：； （2）由（1）可得： 该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大； （3）若面积大于6，则 当 时，， 解得， 当时， ， 解得， 综上所述：的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 5 类型三、一次函数的应用之行程问题 8 类型四、一次函数的应用之几何问题 14 压轴能力测评（15题） 21 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【变式训练】 1.（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 2.（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 3.（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 二、填空题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，购买一种苹果所付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为（元），购买五次1千克所付金额为（元），则 ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． (1)请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； (2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 6．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）镇北台位于榆林市境内，有“万里长城第一台”的称号，为古长城沿线现存最大的边防要塞之一．周末，小宇一家开车从家出发，前往120千米远的镇北台进行参观，当他们行驶1小时时，汽车突然发生故障、停车检修后又继续向前行驶，他们离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（图中段）与之间的函数关系式； (2)当的值为2时，求小宇一家离镇北台的距离． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）气温可用摄氏温度和华氏温度表示．下表是小华查阅资料得到的部分对应数据： 0 10 20 30 a 32 50 68 b (1)小华发现，y是x的一次函数关系，请根据表中数据求出y与x的函数表达式； (2)求出a，b的值； (3)某天贵阳的最高气温是，海南的最高气温是，这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高多少摄氏度？ 10．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间距离是_____________ ，_____________； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 11．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 15．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$