专题13 反比例函数的图象和性质八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题13 反比例函数的图象和性质八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据定义判断是否是反比例函数 3 类型二、根据反比例函数的定义求参数 4 类型三、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 类型四、已知反比例函数分布的象限求参数范围 6 类型五、已知反比例函数的增减性求参数 7 类型六、比较反比例函数值或自变量的大小 9 类型七、判断反比例函数的图象和性质 10 类型八、反比例函数的图象和性质综合 11 压轴能力测评（18题） 14 解题知识必备 1.反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2.确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 3.反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 压轴题型讲练 类型一、根据定义判断是否是反比例函数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二、根据反比例函数的定义求参数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数，那么m的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 2．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 类型三、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【变式训练】 1．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 类型四、已知反比例函数分布的象限求参数范围 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【变式训练】 1．（2024九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 类型五、已知反比例函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 类型六、比较反比例函数值或自变量的大小 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 类型七、判断反比例函数的图象和性质 例题：（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【变式训练】 1．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 2．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 类型八、反比例函数的图象和性质综合 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） x … … y … 1 2 3 6 … 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）以下四个点中，不在反比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 4．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）函数，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为；②当时，；③当时，；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 7．（2025·湖北孝感·一模）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是 ． 8．（2025·陕西西安·一模）已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如果函数的图像是位于第二、四象限内的双曲线，则k的值是 ； （2）若反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的值是 ． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，已知线段的坐标分别为，要使反比例函数图象的一支与此线段有公共点，则k的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 15．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 16．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 17．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 18．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 (1)函数自变量x的取值范围是________； (2)表格中m的值是________； (3)把函数图象补充完整； (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； (5)若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 反比例函数的图象和性质八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据定义判断是否是反比例函数 3 类型二、根据反比例函数的定义求参数 4 类型三、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 类型四、已知反比例函数分布的象限求参数范围 6 类型五、已知反比例函数的增减性求参数 7 类型六、比较反比例函数值或自变量的大小 9 类型七、判断反比例函数的图象和性质 10 类型八、反比例函数的图象和性质综合 11 压轴能力测评（18题） 14 解题知识必备 1.反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2.确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 3.反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 压轴题型讲练 类型一、根据定义判断是否是反比例函数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是反比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 类型二、根据反比例函数的定义求参数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】5 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 类型三、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 类型四、已知反比例函数分布的象限求参数范围 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【变式训练】 1．（2024九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 【答案】6（满足即可） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，；当时，图象在二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为6， 故答案为：6（满足即可）． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 类型五、已知反比例函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 类型六、比较反比例函数值或自变量的大小 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键． 在反比例函数中，，根据反比例函数的增减性即可确定． 【详解】∵在反比例函数中，， ∴在每一个象限内，随着增大而增大， ∵， ∴、两点在第二象限，在第三象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 类型七、判断反比例函数的图象和性质 例题：（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式训练】 1．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 2．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 类型八、反比例函数的图象和性质综合 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的性质、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式（，为常数），据此依次判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，故此选项不符合题意； B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意； D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）以下四个点中，不在反比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：因为反比例函数的表达式是， 所以横纵坐标的积等于4的点，在这个反比例函数的图象上． 又，，，． 所以D选项中的点的坐标不在反比例函数的图象上． 故选：D． 3．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 4．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 5．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）函数，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为；②当时，；③当时，；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的性质，从图象中有效的获取信息，根据一次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：令，解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴当时，， ∴两函数图象的交点A的坐标为；故①说法正确； 由图象可知，当时，，故②正确； 当时，对于，，对于，， ∴， ∴；故③正确； 由图象可知：当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小；故④正确； 故选：D． 二、填空题 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．（2025·湖北孝感·一模）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】（答案不唯一，只要） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大． ∴， 故答案为：（答案不唯一，只要） 8．（2025·陕西西安·一模）已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将点代入中，得出，，代入求解即可． 【详解】∵点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如果函数的图像是位于第二、四象限内的双曲线，则k的值是 ； （2）若反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式， 对于（1），根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可知，且，求出答案； 对于（2），根据反比例函数的图象在每一个象限内，函数值y随着x的增大而增大，可知反比例函数的图象位于第二，四象限，即，且，求出答案即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴，且， 解得； （2）∵反比例函数的图象在每一个象限内，函数值y随着x的增大而增大， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴，且， 解得． 故答案为：． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，已知线段的坐标分别为，要使反比例函数图象的一支与此线段有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】， 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出点A和点B在反比例函数图象上时k的值即可． 【详解】解：∵， ∴当反比例函数图象经过点A时，，此时k的值最小； 当反比例函数图象经过点B时，，此时k的值最大； ∴反比例函数图象的一支与此线段有公共点，则k的取值范围是， 故答案为：， 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象． （1）将点代入，求出k的值即可； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得； （2）解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 当，y随x的增大而减小， ∵，是该反比例函数图象上的两点，， ∴． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 15．（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解、正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】根据与成正比例，与成反比例，不妨设，，结合 得，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了成正比，成反比的意义，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 不妨设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， 故关于的函数解析式． 16．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得点的纵坐标为．结合反比例函数的性质求出，再运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答． （2）依题意，先得，再结合，轴，得，则． 把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：轴于点，， 点的纵坐标为． 将代入，得， ， 设直线的表达式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：令，得． ． ，轴， ． ． ． 17．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】(1)一次函数和反比例函数的解析式分别是， (2)的面积是 (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵设一次函数与反比例函数的图像相交于 ，两点， ∴， 解得， 故；． （2）解：设直线与y轴的交点为C， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，且， 故或． 18．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 (1)函数自变量x的取值范围是________； (2)表格中m的值是________； (3)把函数图象补充完整； (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； (5)若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 (4)减小 (5)或 【知识点】求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论， （2）把代入解方程得到即可； （3）根据题意画出函数的图象即可； （4）根据反比例函数的性质即可得到结论； （4）根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论． 【详解】（1）解：函数自变量x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：把代入得， 故答案为：1； （3）解：把函数图象补充完整如图所示； （4）解：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （5）解：一次函数过点，则， 由得：， ， 由图象得，不等式成立的x的取值范围为或 ， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$