专题14 反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题14 反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【变式训练】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（   ） A． B．10 C． D．5 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，点在函数的图像上，点在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ．    7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 8．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连接，取的中点D，连接，则的面积为 ． 9．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 10．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知．求的值． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 14．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 15．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．根据反比例函数值的几何意义计算即可． 【详解】解：连接， 点，点 B的坐标是， 轴， ． 故选B． 【变式训练】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据的面积是，得到，得到，再根据函数图象得到，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：， ，即 ， ， 故答案为：． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键，由可知，，根据几何意义，可以求出和，即可求出的面积． 【详解】如图，连接，， 点和点分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， 故答案为：4． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 【答案】6 【分析】过点C作于点E，连接，利用平行四边形的性质，证明，得到，进而得到，再根据反比例函数系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，连接， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 点C在第一象限， ，， ，， ， 反比例函数的分支过点C， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】过点A作规于E，过点B作规于F，设与y轴交于G，MJ ，，再根据平等四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F，    ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 【答案】 【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案； 【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵点B在上， ∴， 解得：， 故答案为； 【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴， ， ， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和，的面积即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的k值与矩形和三角形的面积关系． 2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可． 【详解】解：点为反比例函数的图象上一点，过作轴于点， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，由轴，则，然后由反比例函数的几何意义得出，从而求解． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 连接，，设与轴交于点，由轴，则，然后由反比例函数比例系数的几何意义得出，最后由图象即可求解． 【详解】解：连接，，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，点在函数的图像上，点在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故选B． 5．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象． 分别判断当点P在上运动时，点P在上运动时的图像变化趋势，即可作出选择． 【详解】解：当点P在上运动时，此时的面积（），保持不变； 当点P在上运动时，设路线的总路程为l，点P的速度为b， ∴， ∵l，，b均是常数，所以S与t成一次函数关系． 综上所述，S关于t的函数图象大致为A选项， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】5 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，过点A作于点C，先根据反比例函数k的几何意义求出，根据等腰三角形性质即可求出，即可得到答案； 【详解】解：过点A作于点C，如图所示：    根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 8．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连接，取的中点D，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．根据反比例函数值的几何意义和三角形中点平分三角形面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵是的中点， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 10．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键． 根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：∵等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2025，     ∴阴影矩形的一边长都为1，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点B， 将面积为的矩形向左平移到下方，则有： ， 当时，，即， ， 根据反比例函数k值的几何意义得：， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，已知．求的值． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴，， ∴． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、两点间的距离、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)      【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 15．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$