专题21 特殊的平行四边形中的最值和新定义问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题21 特殊的平行四边形中的最值和新定义问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的最值问题 2 类型二、矩形中的最值问题 6 类型三、菱形中的最值问题 10 类型四、正方形中最值问题 14 类型五、平行四边形中的新定义型问题 19 类型六、矩形中的新定义型问题 25 类型七、菱形中的新定义型问题 30 类型八、正方形中的新定义型问题 36 压轴能力测评（10题） 41 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的最值问题 例题：（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，作于点E，则，因为，所以，则，由，求得，则，所以长的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． 过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即， ，， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 类型二、矩形中的最值问题 例题：（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，为矩形的边上一动点，为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理，作点关于的对称点，连接，则，，从而得出，，连接交于，当、、在同一直线上时，的值最小，为，再由矩形的性质结合勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， 则，， ∴，， 连接交于， ∴当、、在同一直线上时，的值最小，为， ∵四边形为矩形，为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 . 【答案】5 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】在上取一点，使得，连接，由中位线的性质得，，当时，最短，再证当时，四边形是矩形，得此时，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴，， 故当取最小值时，即最短，当时，最短， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， ∴此时， ∵， ∴在中，， ∴当线段取得最小值时，线段的长度是5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂线段最短、矩形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的判定及性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如下图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成”将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为的直线上运动，再作对称求解即可. 【详解】解：如图，过点作，交、于、，过点作于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形和都是矩形， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键. 类型三、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】如图所示，连接，，首先由菱形得到点A和点C关于对称，然后由，得到当点A，P，M三点共线时，有最小值，即的长度，然后证明出是等边三角形，得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形 ∴点A和点C关于对称 ∴ ∴当点A，P，M三点共线时，有最小值，即的长度 ∵四边形是菱形，， ∴ ∴是等边三角形 ∵为的中点， ∴， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，最短距离等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确添加辅助线． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】取中点K，连接，过D作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含30度角的直角三角形，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ， ， ，， 菱形， ， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 类型四、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是 . 【答案】6 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查轴对称 最短路线问题、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据两点之间线段最短和点和点关于对称，即可求得周长的最小值，本题得以解决． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，，两点关于对称， ∴连接于交于点，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴此时的周长就是周长的最小值， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查正方形的性质与判定，勾股定理，过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，，即可得到是平行四边形，是正方形，则，当在上时，取最小值，最小值为的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，使， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴当在上时，取最小值，最小值为的长， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，E为边长是2的正方形的中点，M为上一点，N为上一点，连，则四边形周长的最小值为 。 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，延长至，使，延长至，使，连接，交于，交于，此时，，四边形周长，根据两点之间线段最短，就是四边形周长的最小值，然后根据勾股定理即可求得，正确作图是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，延长至，使，延长至，使，连接，交于，交于，此时，，四边形周长，根据两点之间线段最短，就是四边形周长的最小值； ，， ，， ，， ， 四边形周长的最小值为． 故答案为：6． 类型五、平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型六、矩形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】[探究1]：见解析；[探究2]：或；[探究3]：①点A是否是的“幸运点”，理由见解析；②或 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等，理解题中定义，熟练运用勾股定理求解以及分类讨论是解答的关键． [探究1]根据网格特点，利用勾股定理，结合题中定义可得点P的位置； [探究2]分点P离A近和点P离B近，设，利用矩形性质和勾股定理，结合题中定义列方程求解x值即可； [探究3]①连接,利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出得到，在中，利用勾股定理可得，根据题中定义可得结论； ②由①中结论得结合已知求得，若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，在中,利用含30度角的直角三角形的性质求得，，在中，利用勾股定理求得 ；若点D在A左上方时，同理求解即可． 【详解】解：[探究1]如图，点P即为所求作：    理由：连接，，，， ∴， 则格点P是的“幸运点”； [探究2]解：若点P离A近，如图，连接，，，过O作于H，    ∵矩形中，对角线交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∴，则， 设，则，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）； 若点P离B近，如图，    同理，得，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（大于的值已舍去）， 综上，满足条件的的值为或； [探究3] 点A是的“幸运点”，理由为： 连接,    ∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故点A是的“幸运点”； ②由①中结论得， ∵， ∴， 解得， 若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，    ∵，， ∴， ∴在，， 则， 在中，， ∴； 若点D在A左上方时，如图，      同理可证， 同理可求得，， ，， ∴， 综上，的长为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 类型七、菱形中的新定义型问题 例题：（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心． (1)①写出一种你学过的伪矩形： ． ②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ． A．正方形    B．矩形    C．菱形    D．无法确定 (2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长． (3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积． 【答案】(1)①等腰梯形；②C (2) (3) 【分析】（1）①根据题意，写出对角线相等的四边形，例如等腰梯形，即可求解； ②根据中位线的性质可得，进而根据伪矩形的定义，可得，进而即可得出结论； （2）根据伪矩形的定义，可得，进而勾股定理，即可求解． （3）作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）①写出一种你学过的伪矩形：等腰梯形； 故答案为：等腰梯形． ②如图所示，伪矩形中，， 分别为四边中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形； ∴顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是菱形， 故选：C． （2）在伪矩形中， ，，， ； （3）解：作，垂足为， 伪矩形中，，， ， ，，， ，， ， 这个伪矩形的面积为 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 类型八、正方形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【答案】(1)④ (2)见解析 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证，得，再由，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论； 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 【答案】(1)四边形是“等补四边形”，理由见解析； (2)的周长为； (3)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． （）连接，证明，则有，，由，则，所以，由，从而有，则，根据等边对等角和全等三角形的性质即可得出，从而判断； （）过作，交延长线于点，则，证明，，根据性质得出，则有的周长； （）过作，交延长线于点，则，证明，，则，设，则，，然后由勾股定理得，求出即可． 【详解】（1）解：四边形是“等补四边形”，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等补四边形”； （2）解：过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：如图，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点是的中点． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【知识点】垂线段最短、根据三线合一证明、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，先分别做出点M，N关于y轴和x轴的对称点，结合两点间线段最短，结合矩形性质结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得作点M关于y轴的对称点，点N关于y轴的对称点， ∵点M关于y轴的对称点是点，点N关于y轴的对称点是点， ∴，， ∴， ∴当点，，，四点共线时最小，此时四边形的周长最小， ∵长方形在第一象限，点B的坐标是， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】如图，连接，过点C作，使得，连接．证明，推出，推出，求出即可解决问题．本题考查轴对称-最短问题，全等三角形，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，连接，过点C作，使得，连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点O，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接、、，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段的最值问题等．利用正方形的性质可得，，利用证明，进而推出是等腰直角三角形，可得，当时，取最小值，由此可得线段的最小值． 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值， ，， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】矩形与折叠问题、轴对称中的光线反射问题、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形 【分析】（1）由矩形的性质可得与相等且互相平分，进而可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，于是结论得证； （2）作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，进而可得，由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为，由矩形的性质可得，，由轴对称的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， 关于的对称图形为， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，作于点，交于点， 沿所在直线折叠，得到， ，， ， 由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）和垂线段最短是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若，，则______°； (2)如图2，四边形ABCD中，，，，．试说明四边形ABCD是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)或或． 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意得：，再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解从而可得答案； （2）如图，连接，先证明是等边三角形，可得，根据勾股定理证明，从而根据新定义可得四边形是“等腰四边形”； （3）分三种情况讨论，一是四边形 “等腰四边形”，且，可证明，得，则，，所以；二是四边形 “等腰四边形”，且，可证明是等边三角形，则，所以，则，所以；三是四边形 “等腰四边形”，且，设，作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，可证明是等边三角形，得，则，，所以，得． 【详解】（1）解：∵四边形是“等腰四边形”，为”界线”， ，， ． ∴，， ∴； 故答案为：50． （2）解：如下图，连接，   ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 所以四边形是“等腰四边形”， BD为“界线”． （3）如图，四边形 “等腰四边形”，且，   ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ； 如图，四边形 “等腰四边形”，且，   ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 如图，四边形 “等腰四边形”，且，设，    作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ，垂直平分， ， ， ， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，解题的关键是第（3）题应进行分情况讨论． 7．（2023·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展] 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题延伸]连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴点到的距离为． [问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于． ∵， ∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长， ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． 即的最小值为； 故答案为：； [问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A．    平行四边形     B．  矩形     C． 菱形   D． 正方形 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”： 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条站论： ① ；② 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若的最小值是4，则的长度为 ，（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D； 问题解决：见解析； 性质探究：①；②； 拓展应用：（1）．理由见解析；（2）． 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】对于概念理解，结合“中方四边形”的定义解答即可； 对于问题解决，设四边形的边的中点分别为M，N，R，L，连接交于点P，连接交于点K，先根据三角形中位线的性质说明四边形是平行四边形，再根据正方形的性质证明，可证明平行四边形是菱形， 然后说明，可得答案； 对于性质探究，根据上述解答过程可得答案； 对于拓展应用，（1）标注的中点为E，F，连接，根据 “中方四边形”的定义得四边形是正方形，根据正方形的性质得 ，即可得出答案；（2），连接交于点O，连接，说明的最小值，再根据直角三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】概念理解：∵四边形是正方形，点E，F，G，H依次是的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∴四边形是菱形，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形． 所以正方形的一定是“中方四边形”； 问题解决，证明：如图，设四边形的边的中点分别为M，N，R，L，连接交于点P，连接交于点K． ∵四边形各边的中点分别为M，N，R，L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； 问题解决：①；②； 故答案为：，； 拓展应用，．理由如下： 标注的中点为E，F，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴． ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； （2）如图，连接交于点O，连接， 当点O在上（即点M，O，N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知． ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， 由拓展应用（2）知：， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线的定义和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为． 【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点． （1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________； （2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________； 【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点． （3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________； （4）当时，__________（结果用含n的式子表示）； 【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度． 【答案】（1）4,4；（2）3,3；（3）或；（4）；应用：米 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、坐标与图形 【分析】理解：（1）根据定义结合垂线段最短即可得出答案； （2）根据定义结合垂线段最短即可得出答案； 拓展：（3）证明四边形是菱形，得出平分和，推出线段到四边形的距离为，从而得到[线段，]，即，计算即可得解； （4）由（3）得：四边形是菱形，作于，交于，作于，则有，从而得到，即可得解； 应用：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，计算即可得解． 【详解】理解：（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形， ∴根据题意可得，当点G在边上时，即时，的最小值是， ∴d[点O，线段]； 故答案为：4；4； （2）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形， ∴根据题意可得，当点G在任意边上时，即或时，的最小值是， ∴d[点O，]； 故答案为：3；3； 拓展：（3）解：如图： ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分和， ∴线段到四边形的距离为， ∴[线段，]， ∴， 解得：或； （4）解：由（3）得：四边形是菱形， 如图，作于，交于，作于， 则有， ∴， ∴； 应用：解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，如图， 则所需彩绳的长度为：米． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的判定与性质，理解新定义，利用数形结合的思想是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 特殊的平行四边形中的最值和新定义问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的最值问题 2 类型二、矩形中的最值问题 6 类型三、菱形中的最值问题 10 类型四、正方形中最值问题 14 类型五、平行四边形中的新定义型问题 19 类型六、矩形中的新定义型问题 25 类型七、菱形中的新定义型问题 30 类型八、正方形中的新定义型问题 36 压轴能力测评（10题） 41 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的最值问题 例题：（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为 ． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    类型二、矩形中的最值问题 例题：（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，为矩形的边上一动点，为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 . 3．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如下图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为 ． 类型三、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 类型四、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是 . 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值 ． 2．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，E为边长是2的正方形的中点，M为上一点，N为上一点，连，则四边形周长的最小值为 。 类型五、平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 类型六、矩形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 类型七、菱形中的新定义型问题 例题：（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心． (1)①写出一种你学过的伪矩形： ． ②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ． A．正方形    B．矩形    C．菱形    D．无法确定 (2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长． (3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 类型八、正方形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 4．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点O，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接、、，则线段的最小值为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若，，则______°； (2)如图2，四边形ABCD中，，，，．试说明四边形ABCD是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 7．（2023·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A．    平行四边形     B．  矩形     C． 菱形   D． 正方形 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”： 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条站论： ① ；② 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若的最小值是4，则的长度为 ，（不需要解答过程） 10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为． 【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点． （1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________； （2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________； 【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点． （3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________； （4）当时，__________（结果用含n的式子表示）； 【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$