精品解析：2025年河北省石家庄市桥西区中考数学质量监测一数学试卷

2025年初中学业水平质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号、学校填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下是四个城市中某天某一时刻的气温，其中气温最低的为（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 2. 某市全年人均生产总值67000元．用科学记数法将数据67000表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由五块相同的小正方体组成，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下表是某校一次体育模拟考试中6名同学的篮球成绩数据统计结果． 学生 A B C D E F 成绩（单位：个） 7 8 4 5 6 7 在统计的数据中，众数和中位数分别为（ ） A. 6，6.5 B. 7，6.5 C. 6，6 D. 7，4.5 7. 已知，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 11 10. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A. ∠CAD＝40° B. ∠ACD＝70° C. 点D为△ABC的外心 D. ∠ACB＝90° 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（ ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：a2﹣3a=_______． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 15. 现有三种不同的长方形纸片若干张（边长如图所示），若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A种纸片和C种纸片合计______张． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．点A与关于过点O的直线l对称，直线l与交于点P．当点落在的延长线上时，的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． （1）写出点所表示的数： （2）将点向右平移个单位后，若，求的值． 18. 规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：． 验证：是“如意式”； 证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 19. 如图，嘉嘉在某公园用无人机测量某居民楼的高度，将无人机垂直上升一定高度后到达点处，测得此居民楼底端点的俯角为，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行至点处，测得此居民楼顶端点的俯角为，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行，此时无人机到达此居民楼顶端点的正上方处． （1）求的长（结果保留根号）； （2）求居民楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 20. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题 （1）本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； （2）若全校共有1200名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数； （3）在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A运球”“B投篮”“C三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若，直接写出m的取值范围． 22. 如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G． （1）当时，与的数量关系为_______； （2）如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值； （3）当运动时间时，直接写出的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； （3）如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 24. 如图1，的半径为10，直线l经过的圆心O，且与交于A，B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线与交于点Q． （1）求点C到的距离； （2）如图2，当与相切时，求的长； （3）如图3，连接，当时，求与之间的距离； （4）当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号、学校填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下是四个城市中某天某一时刻的气温，其中气温最低的为（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，有理数比较大小，理解正负数的意义，掌握有理数比较大小的方法是关键． 根据零大于负数，正数大于零，正数大于负数即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 2. 某市全年人均生产总值67000元．用科学记数法将数据67000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图所示的几何体由五块相同的小正方体组成，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点进行判定即可． 【详解】解：其俯视图为 故选：D ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，负整数指数幂，根据相关计算法则分别计算出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，理解图示，掌握方位角的含义，平行线的性质是关键． 根据题意，，如图所示，过点作，则，则，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，过点作，则， ∴， ∴， 故选：C ． 6. 下表是某校一次体育模拟考试中6名同学的篮球成绩数据统计结果． 学生 A B C D E F 成绩（单位：个） 7 8 4 5 6 7 在统计的数据中，众数和中位数分别为（ ） A. 6，6.5 B. 7，6.5 C. 6，6 D. 7，4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数的定义，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义进行解答． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列为， 最中间的数是6和 7， ∴中位数是； 这组数据中7出现的次数最多， 故众数为7． 故选：B． 7. 已知，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 8. 一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，垂直的定义，理解图示，掌握角度的和差计算是关键． 根据三角板的特点得到，根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余得到，，由对顶角相等得到，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 10. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 11. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A. ∠CAD＝40° B. ∠ACD＝70° C. 点D为△ABC的外心 D. ∠ACB＝90° 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论． 【详解】∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD，∠B＝∠BCD， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BCD＝20°， ∴∠CDA＝20°＋20°＝40°． ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＝(180°−40°)＝70°， ∴A错误，B正确； ∵CD＝AD，BD＝CD， ∴CD＝AD＝BD， ∴点D为△ABC的外心，故C正确； ∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°， ∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（ ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：a2﹣3a=_______． 【答案】a（a﹣3） 【解析】 【分析】直接把公因式a提出来即可． 【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）． 故答案为a（a﹣3）． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 15. 现有三种不同的长方形纸片若干张（边长如图所示），若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A种纸片和C种纸片合计______张． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果，可确定A种卡片和C种卡片的张数，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴需要A种纸片6张，C种纸片7张， ∴需要A种纸片和C种纸片合计张， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．点A与关于过点O的直线l对称，直线l与交于点P．当点落在的延长线上时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，连接，过P作于H，由菱形的性质推出平分，，得到，求出，求出，，由轴对称的性质推出直线l垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，判定是等腰直角三角形，得到，设，由，求出，得到，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到． 【详解】解：连接，过P作于H， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A与关于直线l对称， ∴直线l垂直平分， ∴， ∴直线l平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． （1）写出点所表示的数： （2）将点向右平移个单位后，若，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查数轴的点表示有理数，数轴上两点之间的计算，点的平移，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，点平移的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可； （2）根据点的平移得到平移后点表示的数为，再根据两点之间距离的计算方法列方程求解． 【小问1详解】 解：∵点表示的数为，， ∴，即点表示的数为， ∵， ∴，即点表示的数为； 【小问2详解】 解：∵平移后，， ∴平移后点在点左边时，， 解得，， 平移后点在点右边时，， 解得，， 综上所述，的值为或． 18. 规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：． 验证：是“如意式”； 证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可． 【详解】解：验证：∵． ∴能被8整除， ∴是； 证明：设任意两个连续奇数为和（是整数）， 是整数， 是8的倍数． 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 19. 如图，嘉嘉在某公园用无人机测量某居民楼的高度，将无人机垂直上升一定高度后到达点处，测得此居民楼底端点的俯角为，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行至点处，测得此居民楼顶端点的俯角为，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行，此时无人机到达此居民楼顶端点的正上方处． （1）求的长（结果保留根号）； （2）求居民楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）约为 【解析】 【分析】（）解即可求解； （）由已知得，再解得，进而即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：， ∴， 在中，， ∴， ∴, 答：此居民楼的高度约为． 20. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设足球，篮球，乒乓球，跳绳，排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题 （1）本次调查共抽取了_______名学生；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； （2）若全校共有1200名学生，请估计喜爱“排球”项目的学生人数； （3）在汇报展示中，甲同学从篮球项目标有“A运球”“B投篮”“C三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率． 【答案】（1） （2）估计喜爱“排球”项目的学生人数约为200人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，运用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握样本百分比估算总体数量，圆心角的计算，列表或画树状图的方法的运用是解题的关键． （1）根据跳绳的人数，百分比可得抽样人数，根据乒乓球球的人数，运用圆心角的计算方法得到所对应的圆心角度数； （2）根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解即可； （3）运用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为， ∴（人）， ∴本次调查共抽取了名学生， 抽样中乒乓球的有人， ∴对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽样中排球的人数是人， ∴（人）， ∴估计喜爱“排球”项目的学生人数约为200人； 【小问3详解】 解：运用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的，共5中， ∴甲乙两人至少有一人抽到“A运球”的概率为． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． （1）求b的值，并在图中画出直线l； （2）当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），见解析 （2）①点的坐标为；② 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、画一次函数图象、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数解析式，利用二次函数的性质求不等式的解集是解答的关键． （1）利用待定系数法求得一次函数解析式，进而画一次函数的图象即可； （2）①先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再联立方程组求得点C的坐标； ②由题意，，，则，，，利用二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 当时，，则直线l经过点， 画出直线l如图所示： 【小问2详解】 解：①由题意，， 将代入中，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立方程组，则， 解得或， ∴； ②由题意，，， 由得， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴对应的二次函数的图象开口向下， 由得，， ∴当时，． 22. 如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G． （1）当时，与的数量关系为_______； （2）如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值； （3）当运动时间时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明可得结论； （2）过E作于P，则四边形 为矩形，可得，，证明为等腰直角三角形．则，；由求解即可； （3）如图2，先根据勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 证明：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 过E作于P，则． ∴四边形 为矩形， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴； 由题意得：． ∴， 即； 【小问3详解】 解：如上图2，则， ，， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； （3）如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 【答案】（1） （2）15 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，即，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 将代入得， 二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为． 当时，， ． ． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则， ． ， 当时，有最大值，此时的最大值为． 24. 如图1，的半径为10，直线l经过的圆心O，且与交于A，B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线与交于点Q． （1）求点C到的距离； （2）如图2，当与相切时，求的长； （3）如图3，连接，当时，求与之间的距离； （4）当时，直接写出的长． 【答案】（1）点到的距离为6 （2） （3）与之间的距离为 （4）5或25 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点C作于M，解求出的长即可得到答案； （2）由切线的性质可得，解得到，设，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）求出，得到，则，设点到的距离为h，利用等面积法求出h的值，再根据平行线的性质即可得到答案； （4）分点P在点O右边和左边两种情况，过点P作直线的垂线，垂足为H，设出线段的长，解直角三角形表示出的长，再利用线段的和差关系建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于M， 在中，， ∴， ∴点到的距离为6； 【小问2详解】 解：由切线的性质可得， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于M， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴与之间的距离为； 【小问4详解】 解：如图所示，当点P在点O右边时，过点P作于H， 在中，， 在中，， 由（2）可知， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点O左边时，过点P作，交延长线于H， 同理可得， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或25． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $