大题培优02 立体几何（6大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题培优02 立体几何 题型1：求线面角问题 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则 1.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 2.如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且． (1)证明：平面ABCD； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 题型二：求面面角问题 1、几何法 （1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （4）射影面积法求二面角 2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 1.如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 2．如图，是边长为2的正方形，，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 题型三：距离问题 1、几何法求点面距 （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 2、向量法求空间距离： （1）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为 （2）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 （3）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 1．如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥. (1)证明：平面； (2)若求点到平面的距离. 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 题型四：折叠问题 　翻折问题的两个解题策略 1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 1．如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 2.如图，在平行四边形中，，以为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且. (1)证明：平面平面. (2)Q为线段上一点，P为线段上一点，且，求点P到平面ABQ的距离. 题型五：已知线面角或面面角求其他问题 1.已知二面角的题，建系计算稍微复杂，可以先尝试几何法， 几何法补充：三垂线法求二面角、面面角 使用前提：已知其中某个平面的垂线段 具体步骤 （1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB） （2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB） （3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求，且△AOB为直角三角形，邻比斜即可 2.借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在． 1．如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 2．如图，在四棱锥中，，. (1)若，求证：平面平面； (2)设点，分别为，上的点，，平面平面，且，是否存在直线和平面所成角的正弦值为1？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (3)若点，分别为，的中点，平面，且，求二面角的正切值. 题型六：体积问题 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 1.如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，． (1)证明：； (2)已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 2．如图，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积． . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题培优02 立体几何 题型1：求线面角问题 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则 1.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接, 由，易知为等腰直角三角形， 此时，又，所以. 因为,所以， 由，即，所以， 此时，,有四点共面，, 所以平面，又平面，所以. （2）由且,所以平面. 由，得为等边三角形， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， , 设平面的法向量 由,即，取，， 又，设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2.如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且． (1)证明：平面ABCD； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）在棱长为2的正方体中， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则， ， 由，得，解得， 即，显然平面ABCD，即为平面ABCD的法向量， 而，则，即平面ABCD，又平面ABCD， 平面ABCD． （2）由（1）知，，设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， ，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 题型二：求面面角问题 1、几何法 （1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （4）射影面积法求二面角 2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 1.如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【解析】（1）分别取的中点为，连接，延长至，使得， 连接，如下图： 在中，为中位线，则， 在中，由，则为外心，即平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）在中，，则， 因为平面，平面，所以，， 以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，，则，， 在中，，则， 则， 取， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为； 设平面的法向量为，则， 取，则，所以平面的一个法向量为； 设二面角的大小为， ， 则. 2．如图，是边长为2的正方形，，，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）连接， 因为且， 所以由余弦定理得， 即， 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）以A为原点，，，分别为轴轴轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即平面的一个法向量为， 同理设平面法向量为，则， 取，则，即平面的一个法向量为， 则平面与平面的夹角余弦值为． 题型三：距离问题 1、几何法求点面距 （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 2、向量法求空间距离： （1）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为 （2）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 （3）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 1．如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥. (1)证明：平面； (2)若求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：因为， 所以. 又因为平面，所以平面. （2）解：如图，点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 三角形的边长为2， 则. 设，因为， 所以 所以. 因为，所以， 所以. 设平面， 所以 故. 又， 所以点到平面的距离为. 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 题型四：折叠问题 　翻折问题的两个解题策略 1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 1．如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【解析】（1）由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，    建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 2.如图，在平行四边形中，，以为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且. (1)证明：平面平面. (2)Q为线段上一点，P为线段上一点，且，求点P到平面ABQ的距离. 【解析】（1）由题意平行四边形ABCM中，，则，又，所以， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以平面平面； （2）由于，平面，平面平面，所以平面， 以为轴，平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又Q为线段上一点，P为线段上一点，且， 则，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 又， 则到平面的距离等于， 题型五：已知线面角或面面角求其他问题 1.已知二面角的题，建系计算稍微复杂，可以先尝试几何法， 几何法补充：三垂线法求二面角、面面角 使用前提：已知其中某个平面的垂线段 具体步骤 （1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB） （2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB） （3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求，且△AOB为直角三角形，邻比斜即可 2.借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在． 1．如图，在三棱台中，平面平面，，，．    (1)求三棱台的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【解析】（1）作于点O，因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，即为三棱台的高， 又因为平面，所以，连接， 因为，，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，，， 所以，，所以三棱台的高为； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设，则， 设直线与平面所成角为，， 化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以）， 所以． 2．如图，在四棱锥中，，. (1)若，求证：平面平面； (2)设点，分别为，上的点，，平面平面，且，是否存在直线和平面所成角的正弦值为1？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； (3)若点，分别为，的中点，平面，且，求二面角的正切值. 【解析】（1）如图，取中点并连接，中点并连接，连接，设， ∵，∴，则 ，， ∵，∴四边形为等腰梯形， 、分别为上下底的中点，则， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）如图，取中点，连接， ∵，∴， ∵平面平面，平面平面， ∴平面， 过点作于点，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，过向上作直线垂直于平面为轴，由题可得，平面为等腰梯形， ∵，可得， ∴，，， ∵，∴点为中点， ∵，平面，由勾股定理可得， ，，，，，， ∵点在上，，设， 则， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 若存在直线和平面所成角的正弦值为1， 则有，无解， ∴不存在点E使得直线和平面所成角的正弦值为1. （3）由题可得，平面， ∵底面为等腰梯形，过点D作于点，以点为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 由(2)可得，，， 点，分别为，的中点， ∴，， ， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，令， ，令， 由图易得二面角为锐角，记为 ∴ 则 ∴. 题型六：体积问题 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 1.如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，． (1)证明：； (2)已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【解析】（1）因为，， 所以，所以， 同理，又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 连接，因为，，， 所以，所以． 又，由等腰三角形三线合一，得． 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为，，所以， 所以，又，，故，，两两垂直， 故以为坐标原点， ，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，所以，， 由（1）知平分，设，所以． 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 两边平方并化简得，解得或． 因为，，所以点到的距离为， 因为四边形为凸四边形，所以，所以不合题意， 即，则，可得， 所以． 2．如图，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积． 【解析】（1）因为平面，且平面， 所以，，又， 则以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系 (如图)， 则，． 因为，， 又平面， 所以平面， 故是平面的一个法向量，     又，所以，      又因为平面 所以平面． （2）设为平面的一个法向量， 则， 又， ， 所以， 令，可得．            又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）因为，平面的一个法向量， 所以点E到平面的距离 ， 因为，， 又平面，，则平面， 又平面， 所以，， 又，， 则， 在中：，， ， 所以，所以， 所以，                   所以四面体体积. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$