高频考点14 锐角三角函数的实际应用-【中考123】2025年中考数学仿真大联考高频考点小卷（吉林省专用）

高频考点14锐角三角函数的实际应用（必考） ✉易错易混练 4.如图，为了测量一处人工湖两岸A,B两棵树之间的距 离，某数学兴趣小组的同学们先在B处测得点A位于 1,(对坡度的概念理解错误)如图所示的斜坡AB的坡度 其北偏西20°方向上，又选择一个合适的位置C,在C 为3：4，若坡面AB的长为20m,则AC= m 处测得点A位于其北偏东25°方向上，点B位于其南 偏东78°方向上，并测得A,C之间的距离为30m.请利 用以上测量数据求出A,B两棵树之间的距离。（结果 B 精确到0.1m.参考数据：sin58°=0.85，cos58°= 1题图 0.53,tan58°≈1.60,2≈1.41) @中考对点练 北 东 2.(2024,第22题，考点对点)如图，线段AB,CD分别表 示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD为 30m.若在点A处测得点D的俯角α为30°，点C的仰 角B为45°，则乙建筑物的高CD约为 m.（结 25 果精确到0.1m.参考数据：2≈1.414,3=1.732) 20 B 4题图 B D 2题图 3.数学实践活动中，某兴趣小组的同学们想测量一栋大 楼的高度AB.如图，他们测得楼附近的斜坡CD的底 部C到大楼底部的距离BC=30m,在斜坡CD上的E 处测得大楼顶部A的仰角为30°.已知CE=20m,斜 坡CD的坡角为37°，点A,B,C,D,E在同一平面内， 求大楼的高度（结果保留整数参考数据：in37° 5 c0s37 5,tan37≈3 w51.7小 D 3:30 37 3题图 —20— 5.(2022,第21题，题型对点)图①为太阳能路灯，其顶 考法创新练 >> 端是太阳能电池板，白天吸收太阳光向灯杆中的蓄电 池组充电，晚上蓄电池组给LED灯供电，实现照明功 6.某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂 能.图②是该路灯上部的平面示意图，灯臂AD,支架 的高度作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案， BC与立柱分别交于A,B两点，灯臂AD与支架BC交 并制作了如下不完整的测量报告. 于点C.已知∠MAC=75°，∠ACB=15°，BC=60cm, 课题 测量学校礼堂的高度 CD=80cm,点B到地面的距离为5.14m,求灯臂的最 方案一 方案二 高点D到地面的距离.（结果精确到0.1m.参考数据： 测量 工具 标杆、平面镜、测角仪、皮尺 测角仪、皮尺 sin15°=≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin75° 0.97,c0s75°≈0.26，tan75°≈3.73，√5≈1.73)》 测 D 案 意 DE 5题图① 5题图② 在地面上水平放置一个 平面镜E(点B,E,D在 同一水平线上)，使得在 量 标杆的点F处通过平面 镜E恰好观测到礼堂顶 程 部A,在点F处测得礼堂 顶部A的仰角为a,测量 FD及DE的长 数据 a=54°，FD=1.8米，DE= 记录0.9米 结果AB= AB= (1)请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂的高 度AB(结果精确到0.1米.参考数据：sin54°= 0.8,c0s54°=0.6，tan54°≈1.4)； (2)请你根据上表中方案二的示意图补全其测量 过程： (3)该小组的小方同学根据方案二计算得到礼堂的高 度约为9.6米，请你写出该结果与方案一测得的 结果相差多少，并为该小组提供一条能使测量结 果更准确地建议 21(3)解：AP的长为12-6√3或3√3+3. 【解析】分两种情况讨论.①当PE⊥AB时，如答图①,延长EP交AB于点F,设BE交AD于点G,则 ∠EPD=∠APF=90°-60°=30°,∴∠BGP=60°+30°=90°,即BE⊥AD,∴ BG=AB·sin 60°=6× =3√3,∴EG=6-3√3,∴AP=PE=2EG=12-6√3;②当PE⊥BC时，如答图②,设PE交BC于点 H,则∠HBE=90°-60°=30°,∴HE=2BE=3,BH=BE=3√3,∠ABE=120°+30°=150°, ∴∠PBE=75°,∴∠PBH=45°,∴PH=BH=3√3,∴AP=EP=PH+HE=3√3+3.综上可知，当PE 与菱形ABCD的一边垂直时，AP的长为12-6√3或3√3+3. EP DA. GF B C 9题答图① DPA CB H E 9题答图② 10.解：(1)CG=3 (2)不变.证明：∵E,G分别是AD,DC的中点， ∴DE=2AD=4,DG=2Dc=2AB=3. C=6=3,CD=DG 又∵∠ADE=∠CDG, CG=CD=3∴△ADE∽△CDG,∴ 3√13+3或313-3(3)CG的长为 【解析】分两种情况讨论.①当点E在线段AF上时，如答图①,过点D作DH⊥AE于点H.∵DG//EF, ∴∠AED=∠GDE=60°,∴DH=DE·sin 60°=2√3,HE=DE·cos 60°=2,∴AH=√AD2-DH2= √82-(2√3)2=2√13,∴AE=AH+HE=2√13+2,:CG=3AE=3√13+3;②当点E在线段 AF的延长线上时，如答图②,过点D作DMIAE,交AE的延长线于点M.∵DG//EF,∴∠MED= ∠GDE=60°,∴DM =DE·sin 60°=2√3,ME=DE·cos 60°=2,∴AM= √AD2-DM2= √82-(2√3)2=2√13,:AE=AM-ME=2√13-2,:c=3AE=3√13-3.综上可知，CG的长 为3√3+3或313-3 DA G H E FB C M E F A D G B C 10题答图① 10题答图② 参考答案 第40页(共47页) 高频考点14 锐角三角函数的实际应用 1.12 2.47.3 3.解：如答图，过点E分别作EM⊥BC交BC的延长线于点M,EN⊥AB于点N, 则四边形 EMBN是矩形. 在Rt△CME中，∠ECM=37°,CE=20m, ∴MC=CE·cosLECM≈20×专=16(m), EM=CE·sin∠ECM≈20×3=12(m), ∴BN=EM=12m,EN=BM=MC+BC=16+30=46(m). 在Rt△AEN中，∠AEN=30°, :AN=EN·an∠AEN=46×3~26.1(m), ∴AB=AN+BN=26.1+12≈38(m). 答：大楼的高度约为38 m. 4.解：如答图，过点A作AD//EF,则AD//MN, ∴∠CAD=∠ACE=25°, ∴∠BAD=∠ABM=20°,∴∠BAC=45°. 过点C作CH⊥AB于点H, 则AH=CH=AC=2×30=15/2~21.15(m). ∵EF//MN,∴∠CBM=∠BCF=78°, ∴∠CBH=78°-20°=58°. 在Rt△BCH中，tan∠CBH=器， ∴BH=tan58~2.65~13.22(m), ∴AB=AH+BH=21.15+13.22≈34.4(m). 答：A,B两棵树之间的距离约为34.4 m. 4 D.30° NE 37° M C B 3题答图 北 东A D H259 E 20° CF M78°F |B N 4题答图 5.解：如答图，过点C作CE⊥MB于点E,过点D作DF⊥MB于点F,过点C作CG⊥DF于点G, M则四边形 EFGC是矩形，∴FE=CG,CE//DF. GF D∵∠MAC=75°,∠ACB=15°, E∴∠EBC=∠MAC-∠ACB=60°,∠ECA=180°-∠AEC-∠EAC=15°. CA 在Rt△ECB中，∠EBC=60°,BC=60 cm=0.6m, B ∴EB=BC·cosLEBC=0.6×2=0.3(m) ∵CE//DF,∴∠D=∠ECA=15°. 在Rt△CGD中，∠D=15°,CD=80 cm=0.8m, 5题答图 ∴EF=GC=CD·sin D=0.8×0.26≈0.21(m), ∴BF=EB+EF=0.3+0.21=0.51(m), ∴点D到地面的距离为0.51+5.14=5.65≈5.7(m). 答：点D到地面的距离约为5.7m. 参考答案 第41页(共47页) 6.解：(1)如答图，过点F作FH⊥AB于点H, 则∠AFH=54°,四边形 BDFH是矩形， ∴BH=FD=1.8米，FH=BD. 根据题意可知∠AEB=∠FED, ∴tan∠AEB=tan∠FED, E粤=0.9=2,:BE=2AB. 设AH=x米，则AB=(x+1.8)米， ∴BE=(2+0.9)米，∴FH=BD=(2+1.8)米. ∵tan∠AFH=tan 54°=m,⋯AH=FH·tan 54°, ∴x≈1.4(+1.8),解得x=8.4, ∴AB=x+1.8=8.4+1.8=10.2(米). A αF DE B 6题答图 答：礼堂的高度AB约为10.2米. (2)方案二测量过程：在标杆的点F处测得礼堂顶部A的仰角为β,底部B的俯角为y.测量FD的长. (3)与方案一的结果相差0.6米. 建议：使用同一种方案测量3次以上，取平均值. 高频考点15 与特殊四边形相关的判定与计算 524 1.B 2.D 3.2或8 4.12 5. 5 6.解：(1)如题图①,当E'O'经过点A时， ∵矩形ABCO的顶点B(4,2),∴0A=BC=2. 由平移，得O'D'=DO=3,D'E'=DE=3,∠O'D'E'=∠ODE=90°. ∵△O'D'E'是等腰直角三角形，∴∠E'O'D'=45°. ∵∠0'OA=90°,∴△O'AO是等腰直角三角形， ∴0'0=0A=2,∴OD'=0'D'-0'0=3-2=1, ∴点E'的坐标为(-1,3). (2)①如题图②,当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时， ∵矩形 ABCO中，AB=0C=4,BC=0A=2,∠B=∠BCO=90°, ∴四边形 BCD'M是矩形. ∵00'=t,∴CP=CO'=t-4, ∴CD'=O'D'-CO'=3-(t-4)=7-t,BP=BC-CP=2-(t-4)=6-t. ∵∠O'PC=∠BPN=∠E'O'D'=45°, ∴△BPN是等腰直角三角形，∴BN=BP=6-t, ∴S=Scecw-Smw=BC·CD'-—BP2=2(7-t)-2(6-t)2=-2P+41-4. {-4<2,∵ ∴4<t<6. 14s=2 或5.②满足： -的所有t的值为- 参考答案 第42页(共47页)