信息必刷卷02（江苏南京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（南京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C A D D 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7．（x+y）2（x﹣y）2 8．﹣7 9． 19 10． 11． k＞9 12．54 13． 25cm 14． 15． y＝2（x+1）2﹣4 16． 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（7分） 解：∵， ∴3（3﹣x）+6≥2x， 9﹣3x+6≥2x， ﹣3x﹣2x≥﹣6﹣9， ﹣5x≥﹣15， 则x≤3， 将解集表示在数轴上如下： 18．（7分） 解：原式• ， 当x时，原式． 19．（6分） 证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AB+BE＝CD+DF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠F， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． 20．（8分） 解：（1）学校这次调查抽取的总人数为：56÷28%＝200（人）， 则选择D的学生人数为：200﹣64﹣32﹣56＝48（人）， 故答案为：200， 补全条形统计图如下： （2）1000320（人）， 答：估计选择“A”课程的学生有320人． （3）3个小组记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中明明和兰兰两人恰好分在同一组的结果有3种， ∴明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率为． 21．（8分） 解：杨师傅在行驶过程中有超速，理由如下： 设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝90， ∴（1+25%）x＝（1+25%）×90＝112.5（千米/小时）， ∴（1+10%）×112.5＝123.75（千米/小时）． ∵123.75＞120， ∴杨师傅在行驶过程中有超速． 22．（8分） 解：（1）过点D作DG⊥BE于点G． 由题意知i＝1：3， ∴CG＝3DG． 又CD＝4，， 即DG2+9DG2＝160， ∴DG＝4米． 答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）过点D作DH⊥AB于点H， ∵DG＝4，CG＝3DG ∴CG＝3×4＝12（ m）． 设大树高为x m． ∵∠ACB＝45°， ∴CB＝AB＝x m，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m． 又∠ADH＝30°， ∴，即，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：大树AB的高度是． 23．（8分） 解：（1）如图，线段AC即为所求． （2）如图，∠MBD即为所求． 24．（8分） 解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）． ∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米． 设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9． ∵经过点（0，0）， ∴9a+0.9＝0， 解得：a＝﹣0.1． ∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． （2）取y＝0． 第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6． ∴l1＝6． 第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4． ∴l1＝4.4． ∵6＞4.4， ∴l1＞l2． 25．（8分） 解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 26．（10分） （1）证明：连接BG，如图： ∵CD⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠F+∠BAF＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAF＝90°， ∴∠ABG＝∠F， ∵， ∴∠ADG＝∠ABG， ∴∠ADG＝∠F； （2）解：①连接BG，OD，如图： ∵AB＝10，CDAB， ∴CD10＝6， ∵CD⊥AB， ∴DECD6＝3， ∵ODAB＝5， ∴OE4， ∴AE＝OA+OE＝5+4＝9， ∴AD2＝DE2+AE2＝32+92＝90， ∴AD＝3， 由（1）知，∠ABG＝∠F， ∵tanF， ∴tan∠ABG， ∴， 设AG＝3x，则BG＝4x， ∵∠AGB＝90°，AB＝10， ∴（3x）2+（4x）2＝102， 解得x＝2（负值已舍去）， ∴AG＝3x＝3×2＝6， ∵∠DAG＝∠FAD，∠ADG＝∠F， ∴△ADG∽△AFD， ∴，即， ∴AF＝15， ∴GF＝AF﹣AG＝15﹣6＝9， ∵四边形ADCG为圆的内接四边形， ∴∠GCF＝∠DAF， ∵∠F＝∠F， ∴△GCF∽△DAF， ∴， ∴， 解得CG，CF＝9， ∴CF+GF+CG＝9+918， ∴△CGF的周长为18； ②连接OD，BD，如图： 设AB＝10k， ∵CDAB， ∴CD10k＝6k， ∵CD⊥AB， ∴DECD6k＝3k， ∵ODAB＝5k， ∴OE4k， ∴AE＝OA+OE＝9k，BE＝OB﹣OE＝k， ∴BDk，AD3k， （Ⅰ）当AP＝AG时， ∴∠AGP＝∠APG＝∠DPB， ∵， ∴∠AGP＝∠ABD， ∴∠DPB＝∠ABD， ∴PD＝BDk， ∴PEk， ∴AP＝AE﹣PE＝9k﹣k＝8k＝AG，BP＝BE+PE＝k+k＝2k， 由相交弦定理可得AP•BP＝PD•PG， ∴PGk， ∴DG＝PD+PGkkk， ∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG， ∴△GCF∽△GAD， ∴； （Ⅱ）当AP＝GP时，如图： ∵AP＝GP， ∴∠PAG＝∠PGA． ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠PGA＝∠ADC， ∴∠PAG＝∠ADC． ∵∠ADC+∠DAE＝90°， ∴∠PAG+∠DAE＝90°， ∴∠DAG＝90°， ∴DG为⊙O的直径， ∴DG＝AB＝10k，AGk， ∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG， ∴△GCF∽△GAD， ∴10； 综上所述，的值为或10． 27．（10分） （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵CD＝AB， ∴； （2）解：方法一：∵∠COD+∠BAD＝180°，∠COD+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝∠DAF， ∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△DCE∽△OCD， ∴， ∴， ∴， 即， ∵AB＝4，AD＝7， ∴的值为； 方法二：如图，在DE上找一点K，使CK＝CD，则∠CKD＝∠CDK， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝4， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠CKD+∠CKE＝180°， ∴∠CKE＝∠A， ∵∠COD+∠BAD＝180°， ∴∠EOF+∠BAD＝180°， ∴∠AFD+∠AEO＝180°， ∵∠CEK+∠AEO＝180°， ∴∠CEK＝∠AFD， ∴△CEK∽△DFA， ∴； （3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD， 同（2）可得， ∵， ∴设AB＝a，AD＝3a， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°， ∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°， ∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD， ∴△PBC∽△MCD， ∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a， ∴CMPBxa， ∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a， ∴3x﹣a+4xxa＝3a， 解得xa， ∴DM＝3xa， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：随着教育理念的不断更新，2025年南京数学中考可能会更加注重对学生数学思维和综合应用能力的考查。例如，在代数部分，可能会减少单纯的计算题目，增加函数与方程、不等式的综合应用题目，要求学生能够灵活运用代数知识解决实际问题。在几何方面，可能会加强对图形变换（如平移、旋转、对称）与几何证明的融合考查，让学生通过对图形的操作和分析来完成证明和计算。 题目呈现方式变化：题目可能会更多地以实际生活情境或数学文化背景为载体呈现。比如，以南京本地的建筑、经济数据等为背景设计应用题，让学生从实际问题中抽象出数学模型并求解。同时，可能会出现更多的图表、图像类题目，要求学生具备较强的信息提取和分析能力，从图表中获取关键信息并进行数学处理。 中考·新考法：常规考点新设问和知识融合：对于函数这一常规考点，可能不再是简单地求函数表达式、性质等，而是会设置一些新的问题情境，如结合物理中的运动问题，让学生建立函数模型来描述物体的运动状态，考查学生对函数概念的深入理解以及跨学科知识的融合运用（如第24题）。在三角形考点中，要求学生在复杂的图形中准确找到相关的三角形关系，进行推理和计算（如第26与第27题）。 非常规考点创新糅合：对于一些相对不常考的知识点，如概率中的条件概率等，可能会与统计知识进行创新糅合（如第20题）。 命题·大预测：趋势性预测：从整体来看，2025 年南京数学中考题目难度可能会保持相对稳定，但会在区分度上有所调整，通过设置不同难度层次的题目来更好地选拔人才。计算量可能会适当控制，更加注重思维量的考查。题目会更加注重对学生核心素养的考查，如数学抽象、逻辑推理、数学建模等（如第6题）。 备考方向：学生在备考时，要注重基础知识的扎实掌握，不仅要理解定理、公式的内容，还要清楚其推导过程和应用场景。多进行综合性题目的练习，提高知识的融合运用能力。关注生活中的数学问题，培养数学建模的意识和能力。同时，要加强对图表、图像类题目的训练，提高信息提取和分析能力（如第3题，第20题，第24题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，的相反数在数轴上表示的点位于（　　）两个点之间． A．点 E和点 F B．点 F 和点G C．点 G和点 H D．点H和点I 2．下列计算正确的是（　　） A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 3．城市运动会举办在即，某校为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加城市运动会跳高比赛，教练记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高成绩的平均数与方差． 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 175 170 175 170 方差 4.7 2.2 2.3 6.1 根据以上数据，最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF＝3，，则cos∠DEH＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2＝ 　 　 ． 8．据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为2.3×10n的形式，则n＝　 　 ． 9．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少　 　 人？” 10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE，得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是 　 cm2． 11．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 　 　 ． 12．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC＝　 　 °． 13．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则m的值为　 　 ． 15．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　 ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径，CE⊥AB于点E，tan∠CBE＝2，BC＝2．若点M是线段AC上一动点，则OM的最小值是 　 　 ． 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（7分）解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 18．（7分）先化简，再求值：，其中x． 19．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF． 20．（8分）晴明中学为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，特开设了A农业园艺、B家禽饲养、C营养烹饪、D家电维修等四项特色劳动课程，学校要求每名学生必须选修且只能选修一项课程．为保证课程的有效实施，学校随机对部分学生选择课程情况进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校这次调查共抽取 　 　 人，补全条形统计图； （2）该校有1000名学生，请你估计选择“A”课程的学生有多少名； （3）在劳动课程中表现优异的明明和兰兰两位同学被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，求明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率． 21．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快25%，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 22．（8分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； （2）求大树AB的高度（结果保留根号）． 23．（8分）如图，已知∠MAN，点B在射线AM上，尺规作图： （1）在AN上取一点C，使AC＝BA； （2）作∠MBD＝∠MAN．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4 竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小． 25．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 26．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的动点，连结AD，AG，DG，CG．DG与AB交于点P，延长AG，DC相交于点F． （1）求证：∠ADG＝∠F； （2）已知CDAB， ①若AB＝10，tan∠F，求△CGF的周长； ②在点G的运动过程中，当△APG成为以AP为腰的等腰三角形时，求的值． 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：随着教育理念的不断更新，2025 年南京数学中考可能会更加注重对学生数学思维和综合应用能力的考查。例如，在代数部分，可能会减少单纯的计算题目，增加函数与方程、不等式的综合应用题目，要求学生能够灵活运用代数知识解决实际问题。在几何方面，可能会加强对图形变换（如平移、旋转、对称）与几何证明的融合考查，让学生通过对图形的操作和分析来完成证明和计算。 题目呈现方式变化：题目可能会更多地以实际生活情境或数学文化背景为载体呈现。比如，以南京本地的建筑、经济数据等为背景设计应用题，让学生从实际问题中抽象出数学模型并求解。同时，可能会出现更多的图表、图像类题目，要求学生具备较强的信息提取和分析能力，从图表中获取关键信息并进行数学处理。 中考·新考法：常规考点新设问和知识融合：对于函数这一常规考点，可能不再是简单地求函数表达式、性质等，而是会设置一些新的问题情境，如结合物理中的运动问题，让学生建立函数模型来描述物体的运动状态，考查学生对函数概念的深入理解以及跨学科知识的融合运用（如第24题）。在三角形考点中，要求学生在复杂的图形中准确找到相关的三角形关系，进行推理和计算（如第26与第27题）。 非常规考点创新糅合：对于一些相对不常考的知识点，如概率中的条件概率等，可能会与统计知识进行创新糅合（如第20题）。 命题·大预测：趋势性预测：从整体来看，2025 年南京数学中考题目难度可能会保持相对稳定，但会在区分度上有所调整，通过设置不同难度层次的题目来更好地选拔人才。计算量可能会适当控制，更加注重思维量的考查。题目会更加注重对学生核心素养的考查，如数学抽象、逻辑推理、数学建模等（如第6题）。 备考方向：学生在备考时，要注重基础知识的扎实掌握，不仅要理解定理、公式的内容，还要清楚其推导过程和应用场景。多进行综合性题目的练习，提高知识的融合运用能力。关注生活中的数学问题，培养数学建模的意识和能力。同时，要加强对图表、图像类题目的训练，提高信息提取和分析能力（如第3题，第20题，第24题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，的相反数在数轴上表示的点位于（　　）两个点之间． A．点 E和点 F B．点 F 和点G C．点 G和点 H D．点H和点I 【分析】先求出的相反数，再根据12，确定在数轴上的位置． 【解答】解：的相反数是， ∵12， ∴位于1和2中间，即：位于点H和点I之间， 故选：D． 【点评】考查实数的意义，理解相反数、绝对值以及数轴表示数的意义是正确判断的前提． 2．下列计算正确的是（　　） A．b2+b3＝b5 B．2a3b÷b＝2a3 C．（2a2）3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式除以单项式可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D． 【解答】解：b2+b3不能合并，故选项A错误，不符合题意； 2a3b÷b＝2a3，故选项B正确，符合题意； （2a2）3＝8a6，故选项C错误，不符合题意； （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．城市运动会举办在即，某校为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加城市运动会跳高比赛，教练记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高成绩的平均数与方差． 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 175 170 175 170 方差 4.7 2.2 2.3 6.1 根据以上数据，最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】先由平均数可得从甲和丙中选择一人参加比赛，再由丙的方差小于甲的方差，从而选择丙去参赛． 【解答】解：∵甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵丙的方差小于甲的方差， ∴选择丙参赛， 故选：C． 【点评】本题考查了算术平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，可得，即可解得答案． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DE＝CF， 设DE＝CF＝x， ∵BF＝8， ∴BC＝BF+CF＝8+x， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得x， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题． 5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF＝3，，则cos∠DEH＝（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OE，由切线的性质推出半径OE⊥EH于E，得到∠OEF+∠DEH＝90°，又∠OEF+∠EOF＝90°，推出∠EOF＝∠DEH，求出AB＝3，得到OE＝OBAB，求出OF＝OB﹣BF，于是得到cos∠DEH＝cos∠EOF． 【解答】解：连接OE， ∵EH切圆于E， ∴半径OE⊥EH于E， ∴∠OEF+∠DEH＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠OEF+∠EOF＝90°， ∴∠EOF＝∠DEH， ∵AF＝3，， ∴AB＝3， ∴OE＝OBAB， ∴OF＝OB﹣BF， ∵∠DEH＝∠EOF， ∴cos∠DEH＝cos∠EOF． 故选：D． 【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，关键是由切线的性质，得到半径OE⊥EH于E，由余角的性质推出∠EOF＝∠DEH． 6．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当6＜x≤9时，即点P在线段CA上，此时，PC＝（x﹣6）cm，则y＝（x﹣6）2（6＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象． 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于点D， 则AD＝1.5cm，CDcm， ①当点P在AB上时，0≤x≤3，AP＝x cm，PD＝|1.5﹣x|cm， ∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x；由此可排除A，B，C． ②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm； 则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线，且对称轴为x＝6； ③当6＜x≤9时，即点P在线段CA上，此时，PC＝（x﹣6）cm， 则y＝（x﹣6）2（6＜x≤9）， ∴该函数的图象是在6＜x≤9上的抛物线，且对称轴为直线x＝6； 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选． 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2＝ 　（x+y）2（x﹣y）2　 ． 【分析】利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2， 故答案为：（x+y）2（x﹣y）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为2.3×10n的形式，则n＝　﹣7　 ． 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【解答】解：0.00000023科学记数法表示为2.3×10﹣7， ∴n＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 9．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少　19　 人？” 【分析】设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：10x， 整理得：x2﹣19x＝0， 解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE，得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是 　　 cm2． 【分析】设该圆锥的底面圆的半径为r cm，根据正方形的性质得到∠DAC＝45°，AD＝4，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：设该圆锥的底面圆的半径为r cm， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAC＝45°，AD＝4cm， 根据题意得2πr，解得r． 圆锥的全面积（cm2）． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质． 11．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 　k＞9　 ． 【分析】让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴k﹣9＞0， 解得k＞9． 故答案为：k＞9． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0． 12．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC＝　54　 °． 【分析】先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得∠ABF＝90°，从而可得∠CBF＝18°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠C＝∠ABC＝108°， ∵FB⊥AB， ∴∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝18°， ∴∠BFC＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 13．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　25cm　 ． 【分析】连接OA，设圆的半径为r，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25cm． 【点评】本题考查垂径定理，正确利用垂径定理进行计算是解题关键． 14．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则m的值为　　 ． 【分析】首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，接着利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴1+x2＝﹣（4m+1），x1•x2＝2m﹣1， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1•x2+x1+x2+1＝2， 即：2m﹣1﹣（4m+1）+1＝2， 解得：m． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关系式1+x2＝﹣（4m+1），x1•x2＝2m﹣1是解此题的关键． 15．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 　y＝2（x+1）2﹣4　 ． 【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，4），再根据旋转的性质得到旋转后的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为2，由此根据顶点式可写出旋转后的抛物线解析式． 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象顶点坐标为（1，4）， 因为二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 所以旋转后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣4． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径，CE⊥AB于点E，tan∠CBE＝2，BC＝2．若点M是线段AC上一动点，则OM的最小值是 　　 ． 【分析】作点O关于AC的对称点O'，连接AO'，CO'，OC，O'M，过点M作MH⊥AO于点H，过点O'作O′P⊥AB于点P，利用圆周角定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到MHAM；利用O′M+MH≥O'P，则当O′，M，P三点共线时，的值最小，最小值为O′P的长；利用菱形的判定与性质和平行线之间的距离相等的性质得到O′P＝CE；设BE＝x，CE＝2x，利用勾股定理求得x值，则结论可求． 【解答】解：作点O关于AC的对称点O'，连接AO'，CO'，OC，O'M，过点M作MH⊥AO于点H，过点O'作O′P⊥AB于点P，如图， ∵CE⊥AB，AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠ABC＝∠ECB+∠ABC＝90°． ∴∠MAH＝∠ECB． ∵tan∠CBE＝2， ∴tan∠MAH＝tan∠ECB， ∴tan∠MAH， 即AH＝2MH． ∴AMMH， ∴MHAM． ∵点O关于AC的对称点O'， ∴MO＝MO′， ∴OMO′M+MH． ∴O′M+MH≥O'P， ∴当O′，M，P三点共线时，的值最小，最小值为O′P的长． ∴O′P的长即为所求． ∵点O关于AC的对称点O'， ∴OA＝O′A，OC＝O′C， ∵OA＝OC， ∴OA＝OC＝AO'＝CO'， ∴四边形 AOCO'是菱形， ∴OC∥AB． ∵O′P⊥AB，CE⊥AB， ∴O′P＝CE． 在Rt△BCE 中，由tan∠CBE＝2， ∴tan∠CBE＝2， 设BE＝x，CE＝2x， 则x2+（2x）2＝22， ∵x＞0， ∴， ∴CE＝2x， ∴． ∴OM的最小值为 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了胡不归问题，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆周角定理，圆的有关性质，利用两点之间线段最短的性质求得当O′，M，P三点共线时，的值最小，最小值为O′P的长是解题的关键． 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（7分）解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：∵， ∴3（3﹣x）+6≥2x， 9﹣3x+6≥2x， ﹣3x﹣2x≥﹣6﹣9， ﹣5x≥﹣15， 则x≤3， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 18．（7分）先化简，再求值：，其中x． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得答案． 【解答】解：原式• ， 当x时，原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF． 【分析】通过证明△AOE≌△COF，即可求证． 【解答】证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AB+BE＝CD+DF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠F， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 20．（8分）晴明中学为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，特开设了A农业园艺、B家禽饲养、C营养烹饪、D家电维修等四项特色劳动课程，学校要求每名学生必须选修且只能选修一项课程．为保证课程的有效实施，学校随机对部分学生选择课程情况进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校这次调查共抽取 　200　 人，补全条形统计图； （2）该校有1000名学生，请你估计选择“A”课程的学生有多少名； （3）在劳动课程中表现优异的明明和兰兰两位同学被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，求明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率． 【分析】（1）由选择C的学生人数除以百分比得出学校这次调查共抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由该校学生总人数乘以选择“A”课程的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中明明和兰兰两人恰好分在同一组的结果有3种，由概率公式求解即可 【解答】解：（1）学校这次调查抽取的总人数为：56÷28%＝200（人）， 则选择D的学生人数为：200﹣64﹣32﹣56＝48（人）， 故答案为：200， 补全条形统计图如下： （2）1000320（人）， 答：估计选择“A”课程的学生有320人． （3）3个小组记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中明明和兰兰两人恰好分在同一组的结果有3种， ∴明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率为． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快25%，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 【分析】设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合杨师傅比刘师傅少用40分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，将其代入（1+25%）x中，可求出杨师傅的平均速度，结合杨师傅在行驶过程中的最快车速比平均车速快10%，可求出杨师傅的最快车速，再将其与120千米/小时比较后，即可得出结论． 【解答】解：杨师傅在行驶过程中有超速，理由如下： 设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝90， ∴（1+25%）x＝（1+25%）×90＝112.5（千米/小时）， ∴（1+10%）×112.5＝123.75（千米/小时）． ∵123.75＞120， ∴杨师傅在行驶过程中有超速． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（8分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； （2）求大树AB的高度（结果保留根号）． 【分析】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG； （2）过点D作DH⊥AB于点H，设AB＝x m米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G． 由题意知i＝1：3， ∴CG＝3DG． 又CD＝4，， 即DG2+9DG2＝160， ∴DG＝4米． 答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）过点D作DH⊥AB于点H， ∵DG＝4，CG＝3DG ∴CG＝3×4＝12（ m）． 设大树高为x m． ∵∠ACB＝45°， ∴CB＝AB＝x m，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m． 又∠ADH＝30°， ∴，即，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：大树AB的高度是． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念． 23．（8分）如图，已知∠MAN，点B在射线AM上，尺规作图： （1）在AN上取一点C，使AC＝BA； （2）作∠MBD＝∠MAN．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）根据要求作出图形即可． 【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求． （2）如图，∠MBD即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 24．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4 竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为0.9，把顶点坐标连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得a的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度y为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得x后取正值即为l1和l2的长度，比较l1，l2的大小即可． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）． ∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米． 设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9． ∵经过点（0，0）， ∴9a+0.9＝0， 解得：a＝﹣0.1． ∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． （2）取y＝0． 第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6． ∴l1＝6． 第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4． ∴l1＝4.4． ∵6＞4.4， ∴l1＞l2． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴为：直线x． 25．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y1＝0时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把y2＝﹣x﹣1代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据A（﹣1，0），C（2，﹣3），结合图象，即可确定x的取值范围． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 【点评】本题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 26．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的动点，连结AD，AG，DG，CG．DG与AB交于点P，延长AG，DC相交于点F． （1）求证：∠ADG＝∠F； （2）已知CDAB， ①若AB＝10，tan∠F，求△CGF的周长； ②在点G的运动过程中，当△APG成为以AP为腰的等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）证明：连接BG，由CD⊥AB，可得∠F+∠BAF＝90°，又AB为⊙O的直径，可得∠ABG+∠BAF＝90°，故∠ABG＝∠F，而∠ADG＝∠ABG，即得∠ADG＝∠F；（2）解：①连接BG，OD，由AB＝10，CDAB，求出CD＝6，DECD＝3，OE4，AE＝OA+OE＝9，AD＝3，而tanF，可得，设AG＝3x，则BG＝4x，根据勾股定理得（3x）2+（4x）2＝102，即可得AG＝3x＝6，证明△ADG∽△AFD，得，AF＝15，知GF＝AF﹣AG＝15﹣6＝9，再证△GCF∽△DAF，可得，解得CG，CF＝9，从而△CGF的周长为18； ②连接OD，BD，设AB＝10k，求出CD10k＝6k，DECD6k＝3k，OE4k，AE＝OA+OE＝9k，BE＝OB﹣OE＝k，BDk，AD3k，（Ⅰ）当AP＝AG时，可证∠DPB＝∠ABD，得PD＝BDk，求出PEk，AP＝AE﹣PE＝9k﹣k＝8k＝AG，BP＝BE+PE＝k+k＝2k，由相交弦定理可得PGk，知DG＝PD+PGkkk，根据△GCF∽△GAD，即可得；（Ⅱ）当AP＝GP时，证明DG为⊙O的直径，可得DG＝AB＝10k，AGk，同（Ⅰ）可得10． 【解答】（1）证明：连接BG，如图： ∵CD⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠F+∠BAF＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAF＝90°， ∴∠ABG＝∠F， ∵， ∴∠ADG＝∠ABG， ∴∠ADG＝∠F； （2）解：①连接BG，OD，如图： ∵AB＝10，CDAB， ∴CD10＝6， ∵CD⊥AB， ∴DECD6＝3， ∵ODAB＝5， ∴OE4， ∴AE＝OA+OE＝5+4＝9， ∴AD2＝DE2+AE2＝32+92＝90， ∴AD＝3， 由（1）知，∠ABG＝∠F， ∵tanF， ∴tan∠ABG， ∴， 设AG＝3x，则BG＝4x， ∵∠AGB＝90°，AB＝10， ∴（3x）2+（4x）2＝102， 解得x＝2（负值已舍去）， ∴AG＝3x＝3×2＝6， ∵∠DAG＝∠FAD，∠ADG＝∠F， ∴△ADG∽△AFD， ∴，即， ∴AF＝15， ∴GF＝AF﹣AG＝15﹣6＝9， ∵四边形ADCG为圆的内接四边形， ∴∠GCF＝∠DAF， ∵∠F＝∠F， ∴△GCF∽△DAF， ∴， ∴， 解得CG，CF＝9， ∴CF+GF+CG＝9+918， ∴△CGF的周长为18； ②连接OD，BD，如图： 设AB＝10k， ∵CDAB， ∴CD10k＝6k， ∵CD⊥AB， ∴DECD6k＝3k， ∵ODAB＝5k， ∴OE4k， ∴AE＝OA+OE＝9k，BE＝OB﹣OE＝k， ∴BDk，AD3k， （Ⅰ）当AP＝AG时， ∴∠AGP＝∠APG＝∠DPB， ∵， ∴∠AGP＝∠ABD， ∴∠DPB＝∠ABD， ∴PD＝BDk， ∴PEk， ∴AP＝AE﹣PE＝9k﹣k＝8k＝AG，BP＝BE+PE＝k+k＝2k， 由相交弦定理可得AP•BP＝PD•PG， ∴PGk， ∴DG＝PD+PGkkk， ∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG， ∴△GCF∽△GAD， ∴； （Ⅱ）当AP＝GP时，如图： ∵AP＝GP， ∴∠PAG＝∠PGA． ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠PGA＝∠ADC， ∴∠PAG＝∠ADC． ∵∠ADC+∠DAE＝90°， ∴∠PAG+∠DAE＝90°， ∴∠DAG＝90°， ∴DG为⊙O的直径， ∴DG＝AB＝10k，AGk， ∵∠GCF＝∠DAG，∠F＝∠ADG， ∴△GCF∽△GAD， ∴10； 综上所述，的值为或10． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键． 27．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠CDE＝90°，求得∠AFD+∠ADF＝90°，得到∠CED＝∠AFD，根据相似三角形的性质得到，求得； （2）根据补角的性质得到∠DOE＝∠DAF，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AB＝CD，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，；于是得到结论； （3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，得到∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD，同（2）可得，在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，根据平行线的性质得到∠N＝60°，推出△NBP是等边三角形，得到BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，求得∠BPC＝120°＝∠M；根据相似三角形的性质得到，设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a，得到CMPBxa，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵CD＝AB， ∴； （2）解：方法一：∵∠COD+∠BAD＝180°，∠COD+∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝∠DAF， ∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△DCE∽△OCD， ∴， ∴， ∴， 即， ∵AB＝4，AD＝7， ∴的值为； 方法二：如图，在DE上找一点K，使CK＝CD，则∠CKD＝∠CDK， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝4， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠CKD+∠CKE＝180°， ∴∠CKE＝∠A， ∵∠COD+∠BAD＝180°， ∴∠EOF+∠BAD＝180°， ∴∠AFD+∠AEO＝180°， ∵∠CEK+∠AEO＝180°， ∴∠CEK＝∠AFD， ∴△CEK∽△DFA， ∴； （3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD， 同（2）可得， ∵， ∴设AB＝a，AD＝3a， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°， ∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°， ∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD， ∴△PBC∽△MCD， ∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a， ∴CMPBxa， ∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a， ∴3x﹣a+4xxa＝3a， 解得xa， ∴DM＝3xa， ∴． 【点评】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$