信息必刷卷02（江西专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷02（江西专用） 数学·参考答案 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 C B B A D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上。 7． 1 8． 9． 2024 10． 220 11． 7 12． 6或2或4 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.（6分） 【详解】解：（1）原式 ；（3分） （2）解：原式 .（6分） 14．（6分） 【详解】解： 解不等式①，得.（1分） 解不等式②，得.（2分） 故原不等式组的解集为.（4分） 故正整数解为1，2，3，4. （6分） 15．（6分） 【详解】解：（1）不可能事件；（2分） （2）画树状图如下， （4分） 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的结果数有6种，故小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的概率为．（6分） 16．（6分） 【详解】解：（1） 如图，即为所求；（3分） （2） 如图四边形即为所求．（6分） 17．（6分） 【详解】解：（1）将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为；（3分） （2）如下图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时．（6分） 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（8分） 【详解】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；（4分） （2）设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．（8分） 19．（8分） 【详解】解：如图所示，过点A作于点E， ∵入射角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴．（8分） 20．（8分） 【详解】解：（1）B．（2分） （2）①如答图1，连接． 分别与相切， ，平分，，． ． 又， ， ．（5分） ②如答图2，在△ABC中，过点A作于点H． 在△ABC中，，，， ，，． ． ． ，， 是等边三角形． ． 在中，， ． ， ． 如答图1，连接，交于点G，易知，且， ． ．（8分） 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.（9分） 【详解】解：（1）②③；（2分） （2）表格补充如下 ①60°、30°. （5分） ②432(人) （7分） (3)本小题答案不唯一，可以从如下两个方面说明： 答案一：东海中学成绩较好，极差、方差小于南山中学，说明东海中学学生两极分化较小，学生之间的差距较南山中学小． 答案二：南山中学成绩较好，A、B类的频率和大于东海中学，说明南山中学学生及格率较东海中学学生好． （9分） 22.（9分） 【详解】解：（1）（1）， ， 已知，设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为．（3分） （2）由题知，， ， 点的横坐标为70， 将代入，得 ， ∴系杆的长度为42米．（6分） （3）小智的说法不正确，理由如下： 设存在一根系杆的长度是的一半，即28米， 将代入，解得． 相邻系杆之间的间距均为5米， 每根系杆上的点的横坐标均为整数， 与实际不符， 不存在一根系杆的长度恰好是长度的一半．（9分） 六、解答题（本大题共12分） 23.（12分） 【详解】解：（1）（或相等），60．（4分） （2）．理由如下：（5分） 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ．（9分） （3）9 （12分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：命题更加凸显素养导向，强化对数学核心素养的考查。在函数、几何等板块，不再局限于公式套用，而是要求从实际问题中抽象数学模型（如本卷第19题，第22题），注重逻辑推理能力。同时，跨学科板块融合趋势明显（如本卷第2,5,19题，数学与历史、物理等学科融合），考查学生知识网络构建能力。 中考·新考法：常创设贴近生活与本土特色的场景。例如第15题以学校社团选择为背景，设计概率计算题目；或第21题结合结合日常的成绩分析，设置统计的应用情境；或第22题的结合拱桥，考察二次函数的相关性质运用，更贴近生活实际。考查学生在真实场景中运用数学知识解决问题的能力。 命题·大预测：解答题必考的考点仍然是如本卷中出现的：特殊角的三角形函数值、零指数幂、化简绝对值、二次根式运算等的综合计算；分式的混合运算，化简求值；不等式组求解集；概率计算；一次函数与反比例函数的综合题；解直角三角形的实际应用；统计题；圆的性质的综合运用；二次函数的综合运用。难度相对于2024年学考应该会有一点点提升，尤其是几何综合题的考察。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．实数（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（   ） A．兽面纹铜方鼎 B．曹魏白玉杯 C．唐三彩黑釉马 D．子申父己铜鼎 3．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（   ） A．地磅所受的压力越大，的阻值越小 B．当时，的阻值是 C．当时，检测装置会自动报警 D．当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 6．抛物线的对称轴直线．抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③关于的方程有两个不相等实数根；④，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．计算： ． 8．因式分解： ． 9．设a、b是方程的两个不等的实根，则的值为 ． 10．某水果店销售某种水果，销售额y（元）与一次销售量与之间的函数关系如图所示．若王叔叔从该水果店一次性购买该种水果，需要付款 元． 11．如图，在等边△ABC中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 12．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（1）计算：； （2）化简：． 14．解不等式组并写出它的正整数解． 15．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、篮球社团、书法社团、排球社团（分别用字母M、F、W、S依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的是_______事件（选填“随机”或“必然”或“不可能事件”）． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的概率． 16．如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出中边上的高； (2)在图2中，作出一个菱形． 17．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当面积最大时，求点的坐标． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 19．如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 20.【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（   ） A．    B．    C．    D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求部分． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题： 【收集数据】 (1)若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 ；(只要填写序号即可) ①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生； 【整理数据】 (2)将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图(不完整)如下．请根据图表中数据填空： ①C类和D类部分的圆心角度数分别为_________、_________； ②估计全年级A、B类学生大约一共有_________名； 成绩（分） 频数 频率 A类（80~100） 0.5 B类（60~79） 0.25 C类（40~59） 8 D类（0~39） 4 (3)学校为了解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表： 学校 平均分（分） 极差（分） 方差 A、B类的频率和 第一中学 71 52 432 0.75 第二中学 71 80 497 0.82 你认为哪所学校的教学效果较好?结合数据，请给出一个解释来支持你的观点． 22．如图1所示是下承式桥（），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、主梁）下面的桥梁．图2是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面水平线（）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度为，且桥的最高点与桥面的距离为，以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； (2)若系杆与桥拱中轴相距，求系杆的长度； (3)小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究． 【数学思考】如图1，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接，． （1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°． 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，△ABC和都是等边三角形，且，． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：命题更加凸显素养导向，强化对数学核心素养的考查。在函数、几何等板块，不再局限于公式套用，而是要求从实际问题中抽象数学模型（如本卷第19题，第22题），注重逻辑推理能力。同时，跨学科板块融合趋势明显（如本卷第2,5,19题，数学与历史、物理等学科融合），考查学生知识网络构建能力。 中考·新考法：常创设贴近生活与本土特色的场景。例如第15题以学校社团选择为背景，设计概率计算题目；或第21题结合结合日常的成绩分析，设置统计的应用情境；或第22题的结合拱桥，考察二次函数的相关性质运用，更贴近生活实际。考查学生在真实场景中运用数学知识解决问题的能力。 命题·大预测：解答题必考的考点仍然是如本卷中出现的：特殊角的三角形函数值、零指数幂、绝对值化简、二次根式等的综合计算；分式的混合运算，化简求值；不等式组求解集；概率计算；一次函数与反比例函数的综合题；解直角三角形的实际应用；统计题；圆的性质的综合运用；二次函数的综合运用。难度相对于2024年学考应该会有一点点提升，尤其是几何综合题的考察。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．实数（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴在实数（相连两个1之间依次多一个0）中，无理数的有（相连两个1之间依次多一个0），共3个； 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握各个概念是解题的关键. 2．李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（   ） A．兽面纹铜方鼎 B．曹魏白玉杯 C．唐三彩黑釉马 D．子申父己铜鼎 【答案】B 【分析】根据主视图是从正面看，左视图是从左边看，然后一一判断即可． 【详解】解：．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图相同 ，故该选项符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了判断简单几何体的三视图. 3．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（   ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数， ∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方可判断A项和D项，根据合并同类项的法则可以判断B项和C项． 【详解】解：，故A正确； 不能合并为，故B错误； ，故C错误； ，故D错误；． 故选A． 【点睛】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项． 5．公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（   ） A．地磅所受的压力越大，的阻值越小 B．当时，的阻值是 C．当时，检测装置会自动报警 D．当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 【答案】D 【分析】根据函数图象与电流与压力传感器的阻值的关系式即可作出判断． 【详解】解：由图2知，地磅所受的压力越大，的阻值越小，故选项A说法正确； 由图2知，当时，的阻值是，故选项B说法正确； 当时，由图2知，，由图3知，，则检测装置会自动报警，故选项C说法正确； 由图3中，得，结合图2知，压力F增大，此时检测装置会自动报警，故选项D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用． 6．抛物线的对称轴直线．抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③关于的方程有两个不相等实数根；④，正确的有（   ） A． ①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①抛物线的对称轴即可得；②先根据抛物线与x轴交点位置、对称性可得当时，，再结合即可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线有两个交点，由此即可得；④先根据顶点坐标可得，再结合即可得． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则结论①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，且时，， 当时，， 由二次函数的对称性得：时的函数值与时的函数值相等， 当时，， 即， ，即， ，即，则结论②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等实数根，则结论③正确； ∵化成顶点式为，且其顶点坐标为， ∴，即， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向下， ， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．计算： ． 【答案】1 【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可回答. 【详解】解： 故答案为：1 ． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值. 8． 因式分解： ． 【答案】 【分析】提公因式即可因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确提公因式是解题的关键． 9． 设a、b是方程的两个不等的实根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，+a-2025=0，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵设a、b是方程的两个不等的实根， ∴，+a-2025=0， ∴+a=2025， ∴． 故答案为：2024． 【点睛】题考查一元二次方程的解，根与系数关系．能想到将分和两部分求解是解决此题的关键． 10．某水果店销售某种水果，销售额y（元）与一次销售量与之间的函数关系如图所示．若王叔叔从该水果店一次性购买该种水果，需要付款 元． 【答案】220 【分析】先根据题意求出时与y之间的函数关系式，再把代入计算即可解答． 【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 当时，， 所以小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元． 故答案为：220． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． 11．如图，在等边△ABC中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可. 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题. 12． 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ． 【答案】6或2或4 【分析】根据60°角是∠B还是∠C分类即可. 【详解】如图1： 当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾； 如图2： 当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP=BC=6； 如图3： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°﹣30°=30°， ∴PC=PB， ∵BC=6， ∴AB=3， ∴PC=PB===2 如图4： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴PC=BC÷cos30°=4． 故答案为6或2或4． 【点睛】解直角三角形. 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（1）计算：． （2）化简： 【分析】（1）首先根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、二次根式性质以及特殊角的三角形函数值进行运算，然后相加减即可； （2）利用分式的混和运算法则即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角形函数值、零指数幂、化简绝对值、二次根式运算，分式混合运算的运算法则． 14.解不等式组并写出它的正整数解． 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 15．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、篮球社团、书法社团、排球社团（分别用字母M、F、W、S依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的是_______事件（选填“随机”或“必然”或“不可能事件”）． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的概率． 【分析】（1）根据基本事件的定义进行求解即可； 根据题意画出树状图，即可得到概率． 【详解】（1）解：小明喜欢的社团中没有足球社团， 小明从中随机抽取一张卡片是足球社团是不可能事件； （2） 解：画树状图如下， 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的结果数有6种， 故小明两次抽取的卡片中有一张是排球社团S的概率为． 【点睛】本题主要考查基本事件，概率公式，列表法或树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 16．如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出中边上的高； (2)在图2中，作出一个菱形． 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； （2）如图四边形即为所求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 17．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当面积最大时，求点的坐标． 【分析】（1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：（1）将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）如下图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【分析】（1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． 19．如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 【分析】如图所示，过点A作于点E，求出，然后求出，勾股定理求出，然后求出，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点E， ∵入射角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 20.【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（   ） A．    B．    C．    D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求部分． 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）①连接，根据切线的性质定理，可得，平分，，，因此，结合，即可求出的度数． ②在△ABC中，过点A作于点H，，，，，可求得，再证明是等边三角形，即，在中，，如答图1，连接，交于点G，易知，且，，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）B． （2）①如答图1，连接． 分别与相切， ，平分，，． ． 又， ， ． ②如答图2，在△ABC中，过点A作于点H． 在△ABC中，，，， ，，． ． ． ，， 是等边三角形． ． 在中，， ． ， ． 如答图1，连接，交于点G，易知，且， ． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形的相关计算，正确作出辅助线是解题的关键． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题： 【收集数据】 (1)若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 ；(只要填写序号即可) ①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生； 【整理数据】 (2)将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图(不完整)如下．请根据图表中数据填空： ①C类和D类部分的圆心角度数分别为_________、_________； ②估计全年级A、B类学生大约一共有_________名； 成绩（分） 频数 频率 A类（80~100） 0.5 B类（60~79） 0.25 C类（40~59） 8 D类（0~39） 4 (3)学校为了解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表： 学校 平均分（分） 极差（分） 方差 A、B类的频率和 第一中学 71 52 432 0.75 第二中学 71 80 497 0.82 你认为哪所学校的教学效果较好?结合数据，请给出一个解释来支持你的观点． 【分析】（1）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案； （2）①利用抽取的学生数及C、D类的频数即可得出C、D类部分的频率，乘以360度可得答案；②用全年级总人数乘以样本中A、B类频率和即可得； （3）此题答案不唯一，理由正确即可． 【详解】（1）根据题意得：抽取得学生②和③更具有代表性，更能反映全年级学生的情况； 故答案为：②③； （2）表格补充如下 成绩（分） 频数 频率 A类（80~100） 24 0.5 B类（60~79） 12 0.25 C类（40~59） 8 D类（0~39） 4 ①C类部分的频率为：，故圆心角度数为： D类部分的频率为：，故圆心角度数为： 故答案为：60°、30°. ②A、B类所占的比为：0.5+0.25=0.75 故A、B类所占的人数为：12×48×0.75=432(人) 故答案为：432(人) (3)本小题答案不唯一，可以从如下两个方面说明： 答案一：东海中学成绩较好，极差、方差小于南山中学，说明东海中学学生两极分化较小，学生之间的差距较南山中学小． 答案二：南山中学成绩较好，A、B类的频率和大于东海中学，说明南山中学学生及格率较东海中学学生好． 【点睛】此题考查了频数（率）分布表和扇形统计图的综合应用，解题的关键是根据统计图表所给的数据和频率=频数÷总数进行解答． 22．如图1所示是下承式桥（），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、主梁）下面的桥梁．图2是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面水平线（）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度为，且桥的最高点与桥面的距离为，以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； (2)若系杆与桥拱中轴相距，求系杆的长度； (3)小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由． 【分析】（1）先求出的值，设设抛物线的解析式，根据待定系数法求解即可； （2）先求出点的横坐标，代入解析式求解即可； （3）求出的一半，代入解析式，求解分析即可． 【详解】解：（1）（1）， ， 已知，设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题知，， ， 点的横坐标为70， 将代入，得 ， ∴系杆的长度为42米． （3）小智的说法不正确，理由如下： 设存在一根系杆的长度是的一半，即28米， 将代入，解得． 相邻系杆之间的间距均为5米， 每根系杆上的点的横坐标均为整数， 与实际不符， 不存在一根系杆的长度恰好是长度的一半． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究． 【数学思考】如图1，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接，． （1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°． 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，△ABC和都是等边三角形，且，． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积． 【分析】（1）根据等边三角形的性质易得，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据等边三角形的性质易得到，利用全等三角形的性质得到，结合全等三角形的性质得到，最后由全等三角形的性质求解； （3）过点作交的延长线于，根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和直角三角形的性质求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴)， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等），60． （2）．理由如下： 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ． （3）过点作交的延长线于， 和都是等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$