猜押01 上海中考数学选择题1～6题（10类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押01 上海中考1~6题（选择题） 猜押考点 3年上海考题 考情分析 押题依据 实数 2022年第1题 2022年：有理数（相反数） 《上海市教育委员会关于 2025 年本市高中阶段学校招生工作的若干意见》明确命题方向为“核心素养与能力导向”，减少记忆性试题，增加探究性题目；《2025 年上海市初中数学课程终结性评价指南》强调“数学建模””数据分析" 等新增考点.俱往矣，2024年考生普遍反映“基础题难度适中，但部分题目选项陷阱多"，如第6题圆与圆位置关系需精确计算.预测2025年上海中考还考查有理数（倒数、绝对值）、方程与不等式（重点分式方程、一元二次方程）、整式的运算（重点合并同类项、幂的乘法和乘方运算）、函数增减性（反比例函数易设陷阱）、统计与概率（重点平均数、中位数与方差对数据的分析）. 方程与不等式 2024年第1题 2024年第3题 2023年第2题 2024年：不等式的基本性质 2024年：根据判别式判断一元二次方程根的情况 2023年：分式方程（换元法） 整式及其运算 2023年第1题 2022年第2题 2023年：同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方 2022年：合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式、完全平方公式进行运算 二次根式 2023年第1题 2023年考：二次根式的化简 函数 2024年第2题 2023年第3题 2022年第3题 2023年考查：函数的自变量（分式） 2023年考查：函数的增减性（一次函数与反比例函数） 2023年考查：函数的增减性（反比例函数） 统计与概率 2024年第4题 2023年第4题 2022年第4题 2024年：平均数、方差做决策 2023年：折线统计图、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性 2022年：平均数、中位数、众数、方差 四边形的判定 2024年第5题 2023年第5题 2024年：根据对角线判定菱形 2023年：根据一组对边平行，另一组对边相等、添加条件判定矩形 命题与定理 2022年第5题 2022年：命题与定理（无概念综合） 勾股定理解直角三角形 2024年第6题 2023年：勾股定理解三角形（平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理） 圆与正多边形 2022年第6题 2024年：圆和圆的位置关系 2022年：正多边形的内角问题、根据旋转的性质求解 题型一 实数 1.（2024·上海徐汇·二模）（有理数）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·上海）（相反数）8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 3.（绝对值）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 4.（新考法）关于，用文字语言可以描述为（   ） A．互为倒数 B．互为负倒数 C．是的绝对值 D．互为相反数 5.（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 6.（2025·上海·3月阶段练习）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.3030030003 题型二 方程与不等式 1．（2024·上海）（不等式的性质）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·上海松江·二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 3.（新考法）如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．2 4．（2023·上海）（换元法化简分式方程）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海）（根据判别式判断一元二次方程根的情况）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 6.（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 7．（2024·上海奉贤·二模）（方程有实数根问题）下列关于的方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型三 整式及其运算 1.（2024·上海松江·二模）（单项式）下列代数式中，单项式是（　） A． B． C． D． 2．（2022·上海）（合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算）下列运算正确的是……（  ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2 3.（2024·上海奉贤·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·上海·3月阶段练习）下列计算中，结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·上海·3月阶段练习）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6.（2024·上海松江·二模）当时，下列运算结果正确的是（　） A． B． C． D． 7.（2024·上海黄浦·二模）（回归教材）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 题型四 二次根式 1.（2023·上海）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（同类二次根式）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4.下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型五 函数 1.（2024·上海）（函数的定义域（分式））函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·上海杨浦·一模）（复合函数）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 3．（2023·上海）（函数的增减性）（反比例函数定义域）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·上海长宁·二模）（反比例函数定义域）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 5.（数形结合、反比例函数定义域）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 6.（2024·上海黄浦·二模）（数学极限思想）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 7．（2022·上海）（反比例函数）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 8.（一次函数）（数形结合）当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.（一次函数）若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型六 统计与概率 1．（2024·上海）（平均数、方差）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 2.（2024年上海中考题同形异构）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.（2024·上海奉贤·二模）（新情境）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 4.（2024·上海金山·二模）（数据分析）在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（   ） A．这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于 B．这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于 C．这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于 D．这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于 5.（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 6．（2023·上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（    ）    A．小车的车流量与公车的车流量稳定； B．小车的车流量的平均数较大； C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D．小车与公车车流量的变化趋势相同． 7．（2022·上海）（平均数、中位数、众数、方差）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8.（2025·上海·3月阶段练习）（根据表格确定众数和中位数）某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（   ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 2 3 4 3 2 A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5 9.（2024上海宝山模拟）（平均数与中位数的区别）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（）28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 10.（2024·上海嘉定·二模）已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（  ） A．平均数改变，方差不变； B．平均数改变，方差改变； C．平均数不变，方差不变； D．平均数不变，方差改变． 11.（原创题）（数据分析）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，我们可以画出以下三种分布形态，下列说法不正确的是（ ） A． 如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多 B． 如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数 C． 如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数大于中位数 D． 和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边 题型七 四边形的判定 1．（2024·上海）（新情境）（对角线）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2.（2024·上海嘉定·二模）（对角线）下列命题正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形； B．对角线相等的四边形是矩形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线相等的梯形是等腰梯形． 3.（对角线）下列四个命题中不正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.（2023·上海）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·上海徐汇·二模）（添加条件判定）如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（2024·上海金山·二模）在四边形中，，，对角线、相交于点．下列说法能使四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 7.（2024·上海奉贤·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 8.（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 题型八 命题与定理 1．（2022·上海）（真假命题、逆命题与逆定理）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2.（2024·上海黄浦·二模）（数学建模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 3.（2024·上海闵行·二模）在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误； C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4.（2025·上海·3月阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 D．等弧所对的圆周角相等 5.（2024·上海金山·二模）下列命题中真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．正多边形都是中心对称图形 C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合 D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形 6.（2025·上海·阶段练习）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形； B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形： C．四条边相等的四边形是正方形； D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 7.（2024·上海长宁·二模）下列命题是假命题的是（    ） A．对边之和相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形 D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 题型九 勾股定理解直角三角形 1.（2023·上海卷第6题）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法： ①；② 则下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 2.（2025·上海·3月阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3.（学科素养）如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为(　　)    A． B． C． D． 题型十 圆与正多边形 1.（2024·上海卷第6题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 2.（2025·上海·3月阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 3.（2024·上海浦东新区·二模）如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4.（2024·上海嘉定·二模）在中， ，，以点为圆心，半径为的圆记作圆，那么下列说法正确的是（  ） A．点在圆外，点在圆上； B．点在圆上，点B在圆内； C．点在圆外，点在圆内； D．点、都在圆外． 5.（2024·上海闵行·二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 6.（2022·上海卷第6题）（内角问题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 7.（2024·上海松江·二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（　） A． B． C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押01 上海中考1~6题（选择题） 猜押考点 3年上海考题 考情分析 押题依据 实数 2022年第1题 2022年：有理数（相反数） 《上海市教育委员会关于 2025 年本市高中阶段学校招生工作的若干意见》明确命题方向为“核心素养与能力导向”，减少记忆性试题，增加探究性题目；《2025 年上海市初中数学课程终结性评价指南》强调“数学建模””数据分析" 等新增考点.俱往矣，2024年考生普遍反映“基础题难度适中，但部分题目选项陷阱多"，如第6题圆与圆位置关系需精确计算.预测2025年上海中考还考查有理数（倒数、绝对值）、方程与不等式（重点分式方程、一元二次方程）、整式的运算（重点合并同类项、幂的乘法和乘方运算）、函数增减性（反比例函数易设陷阱）、统计与概率（重点平均数、中位数与方差对数据的分析）. 方程与不等式 2024年第1题 2024年第3题 2023年第2题 2024年：不等式的基本性质 2024年：根据判别式判断一元二次方程根的情况 2023年：分式方程（换元法） 整式及其运算 2023年第1题 2022年第2题 2023年：同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方 2022年：合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式、完全平方公式进行运算 二次根式 2023年第1题 2023年考：二次根式的化简 函数 2024年第2题 2023年第3题 2022年第3题 2023年考查：函数的自变量（分式） 2023年考查：函数的增减性（一次函数与反比例函数） 2023年考查：函数的增减性（反比例函数） 统计与概率 2024年第4题 2023年第4题 2022年第4题 2024年：平均数、方差做决策 2023年：折线统计图、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性 2022年：平均数、中位数、众数、方差 四边形的判定 2024年第5题 2023年第5题 2024年：根据对角线判定菱形 2023年：根据一组对边平行，另一组对边相等、添加条件判定矩形 命题与定理 2022年第5题 2022年：命题与定理（无概念综合） 勾股定理解直角三角形 2024年第6题 2023年：勾股定理解三角形（平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理） 圆与正多边形 2022年第6题 2024年：圆和圆的位置关系 2022年：正多边形的内角问题、根据旋转的性质求解 题型一 实数 1.（2024·上海徐汇·二模）（有理数）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴是有理数，而、、是无理数； 故选B． 2.（2022·上海）（相反数）8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 3.（绝对值）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 4.（新考法）关于，用文字语言可以描述为（   ） A．互为倒数 B．互为负倒数 C．是的绝对值 D．互为相反数 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数．根据互为相反数的两数和为0直接确定答案即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴互为相反数， 故选：D． 5.（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数、有理数的定义 【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可． 本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】A. 是有理数，符合题意；     B. 是无理数，不符合题意；     C. 是无理数，不符合题意；     D. 是无理数，不符合题意； 故选A． 6.（2025·上海·3月阶段练习）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.3030030003 【答案】A 【知识点】无理数、分数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了无理数的概念，特殊角的三角函数值，分数指数幂，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是分数，不是无理数，不符合题意； C、，是分数，不是无理数，不符合题意； D、3.3030030003是小数，不是无理数，不符合题意； 故选：A． 题型二 方程与不等式 1．（2024·上海）（不等式的性质）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 2.（2024·上海松江·二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】解：A、，当时，，故选项A不符合题意； B、，当时，，故选项B不符合题意； C、，为任意实数， ，故选项C不符合题意； D、，为任意实数， ，故选项D符合题意． 故选：D． 3.（新考法）如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， 解得：， ∴的值可以是， 故选：A． 4．（2023·上海）（换元法化简分式方程）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 5．（2024·上海）（根据判别式判断一元二次方程根的情况）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 6.（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 7．（2024·上海奉贤·二模）（方程有实数根问题）下列关于的方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程 【分析】本题考查了根的判别式，分式方程有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断A，根据乘方的意义判断B，根据分式方程有意义的条件判断C，根据二次根式的性质判断D． 【详解】解：A：，故原方程有实数根,符合题意； B：由题意可，由乘方的意义可得，故原方程无实数根,不符合题意； C：解分式方程得，且当时，，故原方程无实数根,不符合题意； D：由题意可，由二次根式的性质可得，故原方程无实数根,不符合题意； 故选：A． 题型三 整式及其运算 1.（2024·上海松江·二模）（单项式）下列代数式中，单项式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式的判断、多项式的判断、单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义即可解题． 【详解】解：A 、是单项式，符合题意； B、是分式，不符合题意； C、是多项式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（2022·上海）（合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算）下列运算正确的是……（  ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2 【答案】D 【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D． 【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意 D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 3.（2024·上海奉贤·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂性的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4.（2025·上海·3月阶段练习）下列计算中，结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5.（2025·上海·3月阶段练习）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 6.（2024·上海松江·二模）当时，下列运算结果正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂、整数指数幂的运算 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，分数指数幂的含义，整数指数幂的含义，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A，B，D不符合题意，C符合题意； 故选C 7.（2024·上海黄浦·二模）（回归教材）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（    ） A．提取公因式法 B．公式法 C．十字相乘法 D．分组分解法 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 故选∶A． 题型四 二次根式 1.（2023·上海）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 2.（同类二次根式）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．先化简各选项的二次根式，再根据最简二次根式的被开方数相同即可解答． 【详解】解： A．，不可以与合并，符合题意； B．，可以与合并，不符合题意； C．，可以与合并，不符合题意； D．可以与合并，不符合题意． 故选：A． 3.（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 4.下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 题型五 函数 1.（2024·上海）（函数的定义域（分式））函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 2.（2025·上海杨浦·一模）（复合函数）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 3．（2023·上海）（函数的增减性）（反比例函数定义域）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 4.（2024·上海长宁·二模）（反比例函数定义域）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数和二次函数的性质，熟练掌握各类函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数、二次函数的性质进行逐项分析即可． 【详解】A． ，二次项系数为，故函数开口向上，且对称轴为，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； B．，比例系数为，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； C． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合题意； D． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意； 故选：D 5.（数形结合、反比例函数定义域）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断一次函数的增减性 【分析】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A、， ，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； B、， k<0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； C、，，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意； D、，，当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：C． 6.（2024·上海黄浦·二模）（数学极限思想）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：A．自变量且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； B．自变量且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； C．函数值且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； D．函数值且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（2022·上海）（反比例函数）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8.（一次函数）（数形结合）当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数的图象 【分析】先根据k判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b的值判断在y轴的哪半轴，从而得出结果． 【详解】解：∵k＜0， ∴函数图像经过第二四象限， ∵b＜0， ∴图像与y轴负半轴相交， ∴图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象限． 9.（一次函数）若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定a，b的取值范围，从而求解． 【详解】已知直线经过第一、二、四象限，则得到a＜0，b＞0， 那么直线经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 题型六 统计与概率 1．（2024·上海）（平均数、方差）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 2.（2024年上海中考题同形异构）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵=>=， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵=<<， ∴选择甲参赛， 故选A． 【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定. 3.（2024·上海奉贤·二模）（新情境）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、标准差、求方差 【分析】本题考查了平均数、标准差，由平均数求出位运动员的总成绩，即可求出运动员的成绩，再根据方差计算公式求出个数据的方差，即可得到标准差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 4.（2024·上海金山·二模）（数据分析）在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（   ） A．这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于 B．这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于 C．这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于 D．这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查了众数，中位数，熟练掌握众数，中位数的定义是解题的关键． 根据众数，中位数的定义判断即可． 【详解】解：这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始， 这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于，故A符合题意，B不符合题意； 这5天中每天采集的若干气温的中位数不一定都大于，故本选项不符合题意； 这5天中每天采集的若干气温的众数不一定都大于，故本选项不符合题意， 故选：A． 5.（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ∴平均数不变，方差变小， 故选：B． 6．（2023·上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（    ）    A．小车的车流量与公车的车流量稳定； B．小车的车流量的平均数较大； C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D．小车与公车车流量的变化趋势相同． 【答案】B 【分析】根据折线统计图逐项判断即可得． 【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意； B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意； C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意； D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键． 7．（2022·上海）（平均数、中位数、众数、方差）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案． 【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据， 则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键． 8.（2025·上海·3月阶段练习）（根据表格确定众数和中位数）某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（   ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 2 3 4 3 2 A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5 【答案】C 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查众数和中位数定义．根据题意观察哪个数据人数最多即为众数，再将数据从小到大排序，找出中间的数即为中位数． 【详解】解：∵年龄在16岁人数最多， ∴众数为16， ∵共有人， ∴中位数即中间两个数据的平均数，即16为中位数， 故选：C． 9.（2024上海宝山模拟）（平均数与中位数的区别）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（）28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差的意义，平均数可以反映一组数据的平均水平，但是容易受极端值的影响，方差能反映一组数据的波动程度，众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据，中位数能反映一组数据中处在最中间的数据，不受极端值影响，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可得，平均数和中位数都能反映这一周空气质量平均水平，但是平均数容易受极端值影响，中位数不受极端值影响， ∴能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数， 故选：B． 10.（2024·上海嘉定·二模）已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（  ） A．平均数改变，方差不变； B．平均数改变，方差改变； C．平均数不变，方差不变； D．平均数不变，方差改变． 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了方差和平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数和方差的特点是本题的关键． 根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案． 【详解】解：记原先平均数为，， 新的平均数为，则，所以平均数改变； 记原先方差为，则， 则新的方差， 而，代入得， ∴， ∴平均数改变，方差不变， 故选：A． 11.（原创题）（数据分析）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，我们可以画出以下三种分布形态，下列说法不正确的是（ ） A． 如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多 B． 如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数 C． 如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数大于中位数 D． 和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边 【答案】C 【分析】本题考查了频率分布直方图、平均数和中位数，要重点观察图形结构，根据结构推断结论正确性． 【详解】解：如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数 故选C． 题型七 四边形的判定 1．（2024·上海）（新情境）（对角线）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过作对角线的垂线，过作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 2.（2024·上海嘉定·二模）（对角线）下列命题正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形； B．对角线相等的四边形是矩形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线相等的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【知识点】判断命题真假、正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，命题错误，不符合题意； B、对角线相等的四边形是等腰梯形或矩形，命题错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的四边形是菱形或等腰梯形，命题错误，不符合题意； D、对角线相等的梯形是等腰梯形，命题正确，符合题意． 故选：D． 3.（对角线）下列四个命题中不正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【知识点】判断命题真假、正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、判断能否构成平行四边形 【分析】根据正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定判断即可． 【详解】解：由题意可知： A、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，不合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，为假命题，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，为真命题，不合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 4.（2023·上海）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A：， 为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B：， 为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C： ∴∥ 四边形为矩形 故C符合题意 D： 不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 5.（2024·上海徐汇·二模）（添加条件判定）如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 则A不符合题意； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 则B不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 则C不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 则D正确． 故选：D． 6.（2024·上海金山·二模）在四边形中，，，对角线、相交于点．下列说法能使四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识．证明，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：能使四边形为菱形的是，理由如下： 如图，∵， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形， 故选：C． 7.（2024·上海奉贤·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：A. 由且可判定是矩形，故此选项不符合题意； B. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意； C. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意； D. 且可判定是正方形，故此选项不符合题意； 故选：D． 8.（2024·上海青浦·二模）已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出． 【详解】 A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误； 故选C． 题型八 命题与定理 1．（2022·上海）（真假命题、逆命题与逆定理）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 2.（2024·上海黄浦·二模）（数学建模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 3.（2024·上海闵行·二模）在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误； C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明①正确，由得到，根据即可证明②正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故②正确， 故选：A 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算等知识，证明是解题的关键． 4.（2025·上海·3月阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记圆的有关定义及性质． 【详解】解：A、同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意； C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 5.（2024·上海金山·二模）下列命题中真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．正多边形都是中心对称图形 C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合 D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、判断命题真假、证明四边形是正方形、图形的全等 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．依次进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故选项A是假命题； B．把一个图形绕着某一个点旋转后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，正方形，正六边形等是中心对称图形，但正三角形，正五边形不是中心对称图形，故选项B是假命题； C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过翻折、平移和旋转后互相重合，故选项C是假命题； D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形，故选项D是真命题． 故选：D． 6.（2025·上海·阶段练习）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．两条对角线相等的四边形是矩形； B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形： C．四条边相等的四边形是正方形； D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题，菱形，矩形和正方形的判定，掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键． 根据菱形，矩形和正方形的判定分别判断即可． 【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形，也可以为等腰梯形，故原说法错误，不符合题意； B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，正确，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故D正确，符合题意， 故选：D． 7.（2024·上海长宁·二模）下列命题是假命题的是（    ） A．对边之和相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形 D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵平行四边形的对边相等，且对边之和相等， ∴平行四边形邻边相等， ∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； B、如图，是的边上的高，是边上的高，且    由面积公式得， ∴ ∴是菱形， 即：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； C、如图，分别是四边形的两条对角线，交于点O，其中平分，平分    ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， 即：一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意； 故选：D． 题型九 勾股定理解直角三角形 1.（2023·上海卷第6题）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法： ①；② 则下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理 【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案． 【详解】解：过作，交延长线于，如图所示：    若梯形为等腰梯形，即，时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，即， 又， ， 在中，，，则， ，此时①正确； 过作于，如图所示：    在中，，，，则，， ，此时②正确； 而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定， 无法保证①②正确， 故选：D． 【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 2.（2025·上海·3月阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点N，与交于点P，与交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据相似性质可得，，利用可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用表示出的长，即可表示出的长，进而可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点N，与交于点P，与交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 3.（学科素养）如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求角的正切值 【分析】连接，过作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出的半径，求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，设的半径为，   ，过， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 为的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 由勾股定理得： ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出CE的长度是解此题的关键． 题型十 圆与正多边形 1.（2024·上海卷第6题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 2.（2025·上海·3月阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查判断点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意先计算出斜边，继而得出，再根据等积法求出，再利用勾股定理求出，再逐一对选项进行分析继而得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 3.（2024·上海浦东新区·二模）如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【知识点】圆和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，再证明，求解，，再结合两圆的位置关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是外切． 故选B 4.（2024·上海嘉定·二模）在中， ，，以点为圆心，半径为的圆记作圆，那么下列说法正确的是（  ） A．点在圆外，点在圆上； B．点在圆上，点B在圆内； C．点在圆外，点在圆内； D．点、都在圆外． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、判断点与圆的位置关系、三线合一 【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出，由等腰三角形的性质求出，即可判断出点B和点A与的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为6， ∵， ∴点在圆外，点在圆内； 故选：C． 5.（2024·上海闵行·二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆和圆的位置关系、判断点与圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】首先利用勾股定理解得，然后根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的半径为5， ∴点在上，选项A正确，不符合题意； ∵的半径分别为5、10，且， ∴与内切，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意； 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∵， ∴直线与相交，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 6.（2022·上海卷第6题）（内角问题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】正多边形的内角问题、根据旋转的性质求解 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 7.（2024·上海松江·二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆和圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可．本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故选：C． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$