精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期中（第一章~第四章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的分母含未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B． 是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D．化简得，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选B． 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程+4x-1=0， 移项得：+4x=1， 配方得：+4x+4=1+4，即=5． 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件概率，假设红球有x个，根据红球可能出现的情况除以总的可能情况即可，利用事件发生的概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设有x个红球，得，解得． 故选：B． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确； C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． 故选B． 点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型． 5. 某县政府2024年投资亿元用于保障性住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设的资金为亿元．如果从2024年到2026年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．设年增长率是x，由题意可列出方程，求解即可．读懂题意，根据增长前的量×（1＋年平均增长率）增长后的量列出方程是解本题的关键． 【详解】解：设年增长率是x，根据题意可得： ， 解得（不合题意舍去），． 故年增长率是． 故选：D． 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 8. 如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE， ∵AB=AC， ∴BD=DC=BC=1， ∵AE=BC， ∴AE=DC=1， ∵AE∥BC， ∴四边形AECD是矩形， ∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2， ∴AD=2，则CE=AD=2， 当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处， 当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN． ∵BC=2，CE=2， 由勾股定理得BE=4， cos∠EBC=，即， ∴BF=8， ∴CF=BF-BC=6, ∵点N是CE的中点，点M是EF的中点， ∴MN=CF=3， ∴点M的运动路径长为3， 故选：B． 【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是方程的一个根，那么另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，． 【详解】解：设方程的另一个根是， 则可得， ， 即另一个根为， 故答案为：． 10. 将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中能组成（一氧化碳）的有2种， ∴能够组成“一氧化碳”化学式的概率是， 故答案为：． 11. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出的方程是：________． 【答案】 【解析】 【分析】设参加比赛的球队有支，根据“参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场”列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加比赛的球队有支，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 12. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝2cm， ∴BO＝1cm， ∵AB＝cm， ∴AO＝ ＝＝2（cm）， ∴AC＝2AO＝4cm． ∴S菱形ABCD＝（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 13. 如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】过点作于点，设与交于点，通过证明，得到，，利用勾股定理求得，的长；通过证明为的垂直平分线，得到；利用三角形的面积求得的长，则结论可得． 【解答】解：过点作于点，设与交于点，如图， 四边形是正方形， ，， ， 四边形为矩形， ，． ， ， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 在中， ， ， 解得：或3． ， ． ， ， ， ， ． ， ． ， 是的垂直平分线， ． 当时，，当时，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，三角形的面积，过点作于点是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程移项后利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用公式法求出解即可． 【小问1详解】 解：方程移项得：x（x+2）-2（x+2）=0， 分解因式得：（x+2）（x-2）=0， 所以x+2=0或x-2=0， 解得：； 【小问2详解】 3x2-x-1=0， ∵a=3，b=-1，c=-1， ∴Δ=（-1）2-4×3×（-1）=1+12=13＞0， ∴， 解得：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中a2+3a﹣1=0． 【答案】，． 【解析】 【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后整体代入计算即可求出值． 试题解析：解：原式=． 当a2+3a﹣1=0，即a2+3a=1时，原式=． 考点：1．分式的化简求值；2．整体思想的应用． 16. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若______． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质以及已知条件求出，根据勾股定理先求得的长，然后求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 18. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当一千克荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论; （2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解： 由题意得：销售数量为千克；利润为元； 故答案为：；； 【小问2详解】 由题意得:， 解得： ∵让顾客得到实惠， ， 答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元． 19. 根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【答案】任务一： 证明：∵，且，， ∴， 在和中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴， ∴平分； 任务二：约为； 任务三： 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案． 【详解】解：（1）略 （2）过E做， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：60． 20. 在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究． （1）【初步探究】 当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程． （2）【类比探究】 如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由． （3）【拓展探究】 当四边形是平行四边形，且． 如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由） 如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：延长和交于点M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到； （2）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到，再证明得到，由得到，勾股定理求出，即可得到； （3）由（1）可得，再根据直角三角形30度角和45度角的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，理由如下： 证明：延长和交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 当顶点F与A点重合，G在边上， 延长和交于点M，过点D作于点H， 同（1）得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，，， 设，则， ∴， 得 ∴， ∴， 故答案为； 当顶点F与D点重合，G在边上， 延长和交于点M，过点C作于点H， 同理得，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期中（第一章~第四章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC 5. 某县政府2024年投资亿元用于保障性住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设的资金为亿元．如果从2024年到2026年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是方程的一个根，那么另一个根为________． 10. 将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________． 11. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出的方程是：________． 12. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2． 13. 如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为 ___________． 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中a2+3a﹣1=0． 16. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若______． 18. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当一千克荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 19. 根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）． 素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得． 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 20. 在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究． （1）【初步探究】 当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程． （2）【类比探究】 如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由． （3）【拓展探究】 当四边形是平行四边形，且． 如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由） 如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $