专题13 行程问题（模块三 典型应用题）思维导图+知识梳理+考点讲练+易错考点+分层训练 共44题-2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲练测（学生版+教师版）

2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲义（模块三 典型应用题） 专题13 行程问题（小升初复习讲义） （思维导图+知识梳理+易错点拨+考点讲练+分层训练 共44题） 同学你好，恭喜你进入小升初冲刺阶段！首先预祝你考出理想成绩！该份讲义涵盖内容非常全面，细分专题，精选高频考点，精雕细琢。包含导图指引，知识梳理，易错点拨，考点讲练，难度分层训练五大部分，题型新颖，解析版解题思路清晰。优选2024各地名校最新真题，模拟题等，非常贴合考纲要求，适合拿来大练手笔，讲义难度中上，适合所有学生使用！ 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：核心要素与基本公式 3 1. 三要素定义： 3 2. 基本关系式： 3 3. 平均速度： 3 知识点梳理02：高频题型与解题公式 4 1.相遇问题 4 2.追及问题 4 3.流水行船问题 4 4.火车过桥问题 4 5.环形跑道问题 4 6.钟面行程问题 5 知识点梳理03：解题方法与技巧 5 1. 公式法： 5 2. 图示法： 5 3. 比例法： 5 4. 方程法： 5 易错考点点拨 5 考点01：公式混淆与误用: 5 易错知识点01：相遇与追及公式混淆 5 易错知识点02：流水行船公式倒置 5 考点02：单位与数值处理不当 6 易错知识点01：单位未统一 6 易错知识点02：隐含数值遗漏 6 考点03：特殊情境分析错误 6 易错知识点01：中点相遇问题 6 易错知识点02：多次相遇与追及 6 易错知识点03：平均速度误算 6 考点04：方程与比例应用失误 6 易错知识点01：设未知数不合理 6 易错知识点02：速度比与时间比混淆 6 考点05：避错策略与技巧 7 易错知识点01：公式分类记忆： 7 易错知识点02：单位统一先行 7 易错知识点03：画图辅助分析 7 易错知识点04：验算结果合理性 7 真题考点讲练 7 考点讲练01：相遇问题 7 考点讲练02：追击问题 9 考点讲练03：流水行船问题 11 考点讲练04：多次相遇问题 14 考点讲练05：环形跑道问题 17 考点讲练06：列车过桥问题 20 考点讲练07：发车间隔问题 22 考点讲练08：错车问题 23 难度分层训练 25 基础夯实巩固练 25 培优拔高强化练 32 知识点梳理01：核心要素与基本公式 1. 三要素定义： 路程（s）：物体移动的总距离，单位如米、千米。 速度（v）：单位时间内移动的距离，单位如米/秒、千米/时。 时间（t）：完成移动所需时长，单位如秒、分钟、小时。 2. 基本关系式： 路程 = 速度 × 时间（s = v × t）。 速度 = 路程 ÷ 时间（v = s ÷ t）。 时间 = 路程 ÷ 速度（t = s ÷ v）。 3. 平均速度：总平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（非速度平均值）。 知识点梳理02：高频题型与解题公式 1.相遇问题 核心公式： 路程和 = 速度和 × 相遇时间（s = (v₁ + v₂) × t）。 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和38。 关键条件： 同时出发、相向而行或相对而行。 中点相遇：相遇点距中点距离为d → 路程差为2d。 2.追及问题 核心公式： 路程差 = 速度差 × 追及时间（s = (v快 - v慢) × t）。 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差38。 关键条件： 同时同向出发，快者追上慢者。 分类讨论：追上前相距与追上后相距两种情形。 3.流水行船问题 核心公式： 顺水速度 = 船速 + 水速 逆水速度 = 船速 - 水速 静水速度（船速）= (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2。 4.火车过桥问题 核心公式： 总路程 = 桥长 + 火车长度 过桥时间 = (桥长 + 车长) ÷ 火车速度。 5.环形跑道问题 同向运动： 相遇次数 = 速度差 ÷ 跑道周长（每相遇一次快者比慢者多跑一圈）。 相向运动： 相遇次数 = 速度和 ÷ 跑道周长。 6.钟面行程问题 分针与时针速度： 分针速度：6°/分钟，时针速度：0.5°/分钟。 速度差 = 5.5°/分钟，用于计算重合或垂直时间。 知识点梳理03：解题方法与技巧 1. 公式法： 直接套用基础公式及变形（如相遇、追及公式）。 注意隐藏条件（如火车长度、水流影响）。 2. 图示法： 线段图：标注出发时间、方向、速度，辅助分析路程关系。 柳卡图：用于多次相遇或追及的复杂问题26。 3. 比例法： 当已知速度比或时间比时，用比例简化计算（如s₁/s₂ = v₁/v₂）。 4. 方程法： 设未知数，根据路程关系列方程（尤其适用于综合题型）。 考点01：公式混淆与误用: 易错知识点01：相遇与追及公式混淆 错误表现：将相遇问题的“速度和”公式套用到追及问题中，或反之。 示例：两人相距100米，甲速度3m/s，乙速度2m/s，若同向追及，误用相遇公式：100÷(3+2)=20秒（正确应为100÷(3-2)=100秒）。 易错知识点02：流水行船公式倒置 错误表现：混淆顺水速度与逆水速度公式（顺水=船速+水速，逆水=船速-水速）。 示例：船静水速度15km/h，水速3km/h，误算逆水速度为15+3=18km/h（正确应为15-3=12km/h）。 考点02：单位与数值处理不当 易错知识点01：单位未统一 错误表现：速度（如m/s与km/h）、时间（如分钟与小时）未统一直接运算。 示例：火车速度72km/h，过桥时间30秒，未换算单位直接计算路程：72×30=2160米（正确应为72÷3.6=20m/s，20×30=600米）。 易错知识点02：隐含数值遗漏 错误表现：忽略火车过桥时的车身长度或往返行程中的总路程。 示例：火车长200米过桥，总路程=桥长+车长，若桥长400米，误算总路程为400米（正确应为400+200=600米）。 考点03：特殊情境分析错误 易错知识点01：中点相遇问题 错误表现：相遇点距中点d时，误认为路程差为d（实际为2d）。 示例：A、B相距240千米，相遇点距中点20千米，误算速度差为20÷时间（正确应比较两车路程差40千米）。 易错知识点02：多次相遇与追及 错误表现：未正确计算环形跑道或折返行程中的相遇次数。 示例：环形跑道周长400米，甲速度5m/s，乙3m/s，同向追及时误算相遇时间为400÷(5+3)=50秒（正确应为400÷(5-3)=200秒）。 易错知识点03：平均速度误算 错误表现：用速度算术平均代替总路程÷总时间。 示例：上山速度4km/h，下山6km/h，误算平均速度为(4+6)/2=5km/h（正确应为2/(1/4+1/6)=4.8km/h） 考点04：方程与比例应用失误 易错知识点01：设未知数不合理 错误表现：未根据题目核心关系设立变量，导致方程复杂或错误。 示例：相遇问题中未设相遇时间为t，直接求路程导致步骤混乱。 易错知识点02：速度比与时间比混淆 错误表现：已知速度比为3:2，误认为时间比也为3:2（实际为反比2:3）。 示例：甲乙速度比3:2，完成相同路程误算时间比为3:2（正确应为2:3）。 考点05：避错策略与技巧 易错知识点01：公式分类记忆： 相遇问题用“速度和”公式，追及问题用“速度差”公式，流水行船区分顺逆水速度。 易错知识点02：单位统一先行 计算前先将速度、时间、路程单位统一（如km/h→m/s）。 易错知识点03：画图辅助分析 用线段图标注运动方向、相遇点、折返点，直观分析路程关系。 易错知识点04：验算结果合理性 检查计算结果是否符合常识（如时间不能为负，快者路程应多于慢者）。 考点讲练01：相遇问题 【典例精讲】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（　　） A．2×240+2×264 B．2×240+264 C．2×（240+264） D．（240+264）×2 【思路指引】已知两车的速度和相遇时间，求两地之间的距离，可以分别用两车的速度乘相遇时间，求出两车行驶的路程再相加；也可以先求出两车的速度和，再用速度和乘相遇时间。 【完整解答】解：求A、B两城相距多少千米，可以列式为： 2×240+2×264； 240×2+264×2； 2×（240+264）； （240+264）×2。 选项B是错误的。 故选：B。 【考点点拨】本题考查了相遇问题的数量关系：速度和×相遇时间＝总路程；甲车速度×相遇时间+乙车速度×相遇时间＝总路程。 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）张庄和李庄相距12千米，某天，小张和小李两人骑自行车分别从张庄和李庄同时出发相向而行，小张行驶小时后，自行车发生故障，此时距离李庄8千米，于是以原来骑行速度的一半推着自行车继续向李庄走：小李出发1小时后与小张相遇，然后小张搭乘小李的自行车一同去往李庄（两人碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小张骑行速度的，则小李在出发后 　30或80　 分钟与张庄相距10千米。 【思路指引】分小张和小李相遇前和相遇后，小李与张庄相距10千米分类讨论解答。 【完整解答】解：因为小张行驶小时后距离李庄8千米，即小张小时行驶了：12﹣8＝4（千米） 412（千米/时），即小张自行车发生故障前的速度四行12千米/时。 自行车发生故障后小张以原来骑行速度的一半推着自行车继续向李庄走，12÷2＝6（千米/时） 即小张推行的速度为6千米/时。 小李出发1小时后与小张相遇，即小张自行车发生故障后又行驶了：1（小时） 此时小张行驶的路程为：64（千米） 即小张和小李相遇时，小李行驶了4千米。 4÷1＝4（千米/时） 即小李骑行的速度为4千米/时。 相遇前：小李与张庄相距10千米，则小李骑行的路程为：12﹣10 ＝2（千米） 2÷4（小时） 60＝30（分钟） 相遇后：小李骑行1小时行驶4千米，距离张庄8千米，要使小李与张庄相距10千米，则小李需返回骑行：10﹣8＝2（千米） 此时小张搭乘小车的自行车一同去往李庄的骑行速度变为之前小张骑行速度的，即6千米/时，所以： 2÷6（小时） 60＝20（分钟） 1×60＝60（分钟） 20+60＝80（分钟） 答：小李在出发后30或80分钟与张庄相距10千米。 故答案为：30或80。 【考点点拨】此题考查行程问题的应用，关键是理解题意，求出小张和小李两人的速度是解题的关键。 【变式训练02】（2024•广汉市）李老师和王老师分别从松林学校、金轮一小两地同时出发，相向而行。出发时，李老师和王老师的速度比是5：4，相遇后，李老师的速度减少20%，王老师的速度增加20%；这样，当李老师到达金轮一小时，王老师离松林学校还有0.5千米。那么松林学校、金轮一小两地相距 　12.5　 千米。 【思路指引】相同时间内速度比等于路程比，相遇时，李老师行了全程的，王老师行了全程的，相遇后，李老师的速度是，王老师的速度是是。用李老师行的除以速度可得时间，再求出王老师相同时间内的路程，用剩余路程除以所占份数就得总路程。 【完整解答】解：1（小时） 1 0.512.5（千米） 答：松林学校、金轮一小两地相距12.5千米。 故答案为：12.5。 【考点点拨】明确用对应数量除以对应分数就得单位“1”的数量是解决本题的关键。 考点讲练02：追击问题 【典例精讲】（2024•莘县）龟兔赛跑的故事同学们都很熟悉。跑在前面的小兔子在大树下睡了一觉，等它醒来发现乌龟已经把它甩在身后很远了。虽然它奋起直追，可惜还是输给了乌龟。如图折线图最能描述这个故事的是（　　） A． B． C． D． 【思路指引】根据题意可知，乌龟是匀速爬行，图像的一条线段，兔子先快又停再快，可惜还是输给的乌龟，兔子跑的过程由3条折线组成。据此对照所给四幅图进行比较即可。 【完整解答】解：首先排除图A，因为图A表示兔子比乌龟先到达终点，不符合题意； 再排除图B、图C，因为图B表示兔子和乌龟同时到达终点，不符合题意；图C表示兔子匀速跑到终点，不符合题意； 只有图D能描述这个故事。 故选：D。 【考点点拨】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及应用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 【变式训练01】（2024•二七区）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的边，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边　DA　 （AB、BC、CD或DA）上． 【思路指引】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝65x+70×3，再根据72x＝7×280280可得出答案． 【完整解答】解：设乙第一次追上甲用了x分钟， 由题意得：72x＝65x+70×3， 解得：x＝30， 而72×30＝7×280280． 答：乙第一次追上甲是在DA边上． 故答案为：DA． 【考点点拨】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式训练02】（2024•渝北区）第三届中国大学生方程式汽车比赛赛前，甲、乙两辆参赛小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试。两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第15分钟时甲车提速，在第18分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第23分钟时，甲车再次追上乙车，已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是 　25　 分钟。 【思路指引】首先表示出甲车提速前速度比乙车慢a/分钟，提速后速度比乙车快b/分钟，进而利用甲车在第15分钟时，离乙车的距离为15a，这个距离在第18分钟追回来，即可得出等式方程求出a，b关系，再表示出一圈的路程即可得出答案。 【完整解答】解：设甲车提速前速度比乙车慢a/分钟，提速后速度比乙车快b/分钟。 那么由甲车在第15分钟时，离乙车的距离为15a，这个距离在第18分钟追回来。则： 15a＝（18﹣15）b 即b＝5a 而且在第23分钟时，甲车比乙车多跑一圈，则： 一圈的路程为（23﹣18）b＝5b＝25a 所以甲车不提速时，乙车首次超过甲车（即多跑一圈），所需时间为： 25a÷a＝25（分钟） 答：如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是25分钟。 故答案为：25。 【考点点拨】此题主要考查了追及问题，根据已知得出a，b之间的关系是解题关键。 考点讲练03：流水行船问题 【典例精讲】（2024•高新区模拟）两艘轮船同时离开码头，甲船顺水而行，乙船逆水而行，两艘轮船在静水中的速度相同。在启航时，从码头丢下一个救生圈，随水漂流。在两船离开码头正好30分钟时，两艘船同时收到马上改变航行方向（即原来顺水航行的船改为逆水航行，原来逆水航行的船改为顺水航行）的指令，去打捞在启航时从码头丢下的随水漂流的救生圈，那么（　　） A．甲船先到达救生圈处 B．乙船先到达救生圈处 C．两船同时到达救生圈处 D．无法判断哪艘船先到达救生圈处 【思路指引】分析两船与救生圈的速度关系，再根据时间和速度来判断两船到达救生圈处的先后顺序。 【完整解答】解：设船在静水中速度为v船，水流速度为v水。甲船顺水速度是v船+v水，在启航10分钟后，甲船与救生圈的距离是10×[（v船+v水）﹣v水]＝10v船。之后甲船逆水速度变为v船﹣v水，此时甲船与救生圈的相对速度是（v船﹣v水）+v水＝v船，那么甲船回到救生圈处需要的时间是10v船÷v船＝10（分） 乙船逆水速度是v船﹣v水，启航10分钟后，乙船与救生圈的距离是10[（v船﹣v水）+v水]＝10v船。之后乙船顺水速度变为v船+v水，此时乙船与救生圈的相对速度是（v船+v水）﹣v水＝v船，那么乙船回到救生圈处需要的时间是10v船÷v船＝10（分） 即两船同时到达救生圈处。 故选：C。 【考点点拨】本题考查了流水行船问题的应用。 【变式训练01】（2024•渝北区校级模拟）河流上有A、B两个码头，其中A码头在上游，B码头在下游，现有甲、乙两艘船，静水中甲船速度是乙船的两倍；甲、乙同时分别从A、B两个码头出发，相向而行；甲船在出发的时候将一箱可飘浮于水面上的货物遗留在了河面上，20分钟后两船相遇，此时甲船又将一箱同样的货物遗留在了河面上，一段时间之后，甲船发现自己少了货物调头回去寻找，当甲找到第二箱货物的同时，乙船恰好遇到了甲遗留的第一箱货物，那么，甲从出发开始过了 　40　 分钟才发现自己的货物丢失。（掉头时间不计） 【思路指引】甲船是顺水行驶，所以甲船的行驶速度＝甲船在静水中的速度+水速；乙船是逆水行驶，所以乙船行驶的速度＝乙船在静水中的速度﹣水速，两箱货物都是顺水而下，所以速度都是水速。根据甲、乙船与货物之间的运动情况，从而求出甲从出发到发现货物丢失所用的时间。 【完整解答】解：设两船相遇后，经过x分钟甲船发现自己的货物丢失。 在这段时间内，甲船和第二箱货物之间的距离是：x×（v甲+v水）﹣x×v水＝v甲x 此后甲船掉头去找第二次货物，所以这时甲船和第二箱货物的相遇路程也是v甲x 根据相遇时间＝总路程÷速度和，甲船和第二箱货物相遇的时间是v甲x÷（v甲﹣v水+v水）＝x 即甲船从发现第二箱货物丢失到找到第二箱货物，总共用了x+x＝2x（分钟） 在这2x分钟的时间内，乙船和第一箱货物相遇，船和第一箱货物相遇的路程就是在20分钟的相遇时间内甲船比第一箱货物多走的路程，即： 20×（v甲+v水）﹣20×v水＝20v甲 所以2×x（v乙﹣v水+v水）＝20 因为v甲＝2v乙 所以x＝20 20+20＝40（分钟） 答：甲从出发开始过了40分钟才发现自己的货物丢失。 故答案为：40。 【考点点拨】本题考查了流水行船问题的应用。 【变式训练02】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 【思路指引】设A、B两个港口的距离为d，可分别求出甲乙顺水、逆水时的速度，根据两者的速度比可求出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时所在的位置，从而结合等量关系两地点相距40千米可列出方程，解出即可。 【完整解答】解： 设A、B两个港口的距离为d，甲顺水速度：28+4＝32千米/时，甲逆水速度：28﹣4＝24千米/时，乙顺水速度：20+4＝24千米/时，乙逆水速度：20﹣4＝16千米/时，第二次相遇地点：从A到B：甲速：乙速＝32：24＝4：3，甲到B，乙到E；甲从B到A，速度24，甲速：乙速＝24：24＝1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇；乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速＝24：16＝3：2，甲到A点时，乙到C点；甲又从A顺水，这时甲速：乙速＝32：16＝2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H， AHABABd， 第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上，甲行一个来回2AB时间 乙行一个来回2AB时间 一个来回甲比乙少用时间： 甲多行2来回的时间是：2 说明乙第二次被追上时行的来回数是：，甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中。 甲行6个来回时间是6， 乙行4个来回时间是4， ，从A到B甲少用时间：， 说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中， ，从B到A，甲比乙少用时间：，，追上地点是从B到A的中点C处。 根据题中条件，HC＝40千米，即40，d＝240千米。 答：A、B两个港口的距离是240千米。 【考点点拨】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，属于竞赛题目，解答本题时要抓住甲乙运动的速度之比，从而得出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时，在线段AB的位置，第二次追上的过程比较难分析，注意一步一步的来。 考点讲练04：多次相遇问题 【典例精讲】（2024•大渡口区）甲乙两人分别从相距500米A、B两地同时出发不断往返，甲速度为每分钟80米，乙速度为每分钟120米，出发半小时内，两人一共相遇 　6　 次。 【思路指引】第一次迎面相遇甲乙两人共行了1个全程，以后每次迎面相遇都是行了2个全程，先求出第一次相遇的时间，再求出以后每次相遇的时间，然后进一步解答即可。 【完整解答】解：500÷（80+120） ＝500÷200 ＝2.5（分钟） 500×2÷（80+120） ＝1000÷200 ＝5（分钟） （30﹣2.5）÷5 ＝27.5÷5 ≈5（次） 5+1＝6（次） 答：出发半小时内，两人一共相遇6次。 故答案为：6。 【考点点拨】解答此题的关键在于理解“迎面相遇”的相遇时间等于路程除以速度和。 【变式训练01】（2024•盐城）如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米。甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是 　5.6　 厘米。 【思路指引】甲乙第一次相遇运动时路程是正方形的周长，正方形周长＝边长×4，则第一次相遇的时间＝路程÷（速度和）是16秒。第二次相遇的路程也是正方形的周长，速度甲、乙的速度均增加1厘米/秒，则甲就是3厘米/秒，乙就是5厘米/秒，第二次相遇的时间＝路程÷时间和是12秒。同理第三次相遇的时间是9.6秒，第四次相遇的时间是8秒。甲一开始的顺时针，第二次是逆时针，第三次是顺时针，第四次是逆时针。两个顺时针的路程是70.4厘米，两个逆时针的路程是76厘米，则说明甲顺时针走了70.4厘米，又返回头将顺时针的路走了一遍后到达远点又多走了，5.6厘米，即甲在AB线段上，这时候的甲距离A点5.厘米，距离B点18.4厘米。 【完整解答】解：24×4＝96（厘米） 96÷（4+2） ＝96÷6 ＝16（秒） 96÷（4+1+2+1） ＝96÷8 ＝12（秒） 96÷（4+1+1+1+2+1+1+1） ＝96÷10 ＝9.6（秒） 2×16+（2+1+1）×9.6 ＝32+4×9.6 ＝32+38.8 ＝70.4（厘米） （2+1）×12+（2+1+1+1）×8 ＝3×12+5×8 ＝36+40 ＝76（厘米） 76﹣70.4＝5.6（厘米） 24﹣5.6＝18.4（厘米） 5.6＜18.4 第四次相遇点在从A点逆时针移动5.6处厘米，距A点5.6厘米，距B点18.4厘米。 答：第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6厘米。 故答案为：5.6。 【考点点拨】本题考查的是多次相遇问题的应用。 【变式训练02】（2024•渝北区）甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 【思路指引】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决． 【完整解答】解：将A、B两地的距离看作单位“1”， 则甲每小时行，乙每小时行， 第一次相遇时间是：1（小时）， 此时甲行了全程：， 乙行了全程的：1， 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程， 所以甲走了， 这个地方离甲的出发点是全程的：2， 故两次相遇点之间的距离是全程的：， 全程的距离是：72156（千米）。 答：A、B两地的距离是156千米。 【考点点拨】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 考点讲练05：环形跑道问题 【典例精讲】（2024•无棣县）小丁和妈妈绕着圆形花园跑步。小丁跑完一圈需要3分钟，妈妈跑完一圈需要6分钟。如果两人从同一个地方同时出发顺时针绕圈，那么9分钟后两人的位置可以用下面的图（　　）来表示。 A． B． C． D． 【思路指引】把总路程看作单位“1”，根据“相遇时间＝路程÷速度和”即可求出小丁和妈妈相遇的时间，即2分钟，则9分钟可以跑4圈还剩下1分钟，此时两人的位置距离等于总路程的一半。 【完整解答】解：1÷（） ＝1 ＝2（分） 9÷2＝4（圈）••••••1（分钟） 1÷2 所以9分钟后两人的位置距离等于总路程的一半。 故选：D。 【考点点拨】本题考查了分数除法与分数加减法的混合运算；速度、时间、路程的关系及应用。 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）如图，一个游乐场的平面图就像一个巨大的钟表面，游乐场的正门在“3点钟”方向。最刺激的游乐设施过山车在“10点钟”方向。环绕游乐场的是一圈长为2160米的环形泳道，泳道中的水按顺时针循环流动，流速为0.5米/秒，在泳道中均匀地分布着12个浮游小艇，小艇随水漂流，可供游泳的游客休息。小明和小东进入游乐场的正门时，恰好有一个小艇漂到“3点钟”方向，他们决定通过游泳到达过山车处，两人都没有在出发点休息，小明立即顺时针，小东立即逆时针游泳，速度都是每秒游2米，两人在游泳途中遇到小艇都需要爬上小艇休息30秒来恢复体力。那么他们两人快者比慢者早 　256　 秒到达过山车处。 【思路指引】本题游泳后在小艇上休息，也是间歇行程问题，只不过问歇的过程中，到过山车的距离会发生变化，小明顺时针，求出他在一个间歇周期内的游泳时间、间歇时间、游泳距离、漂浮距离以及距离过山车的距离，同样方法求出小东逆游的相关时间和距离，确定各自间歇休息的次数是解题的关键。 【完整解答】解：（1）根据游乐场像时钟的平面图，得到两个相邻小艇之间的距离为：2160÷12＝180（米），每人都是游：180÷2＝90（秒）就休息30秒。 （2）小明是顺时针游泳，在一个周期时间：90+30＝120（秒）内，向过山车处移动：90×2.5+30×0.5＝240（米）。 总的需要移动：7×180＝1260（米），根据1260÷240＝5……60，小明需要休息5次。 所以，小明到达过山车处的时间为：120×5+60÷（2+0.5）＝624（秒） （3）小东是逆时针游泳，在一个周期时间：90+30＝120（秒）内，向过山车处移动：90×1.5﹣30×0.5＝120（米）。 总的需要移动：5×180＝900（米），根据900÷120＝7……60，小东需要休息7次。 所以，小东到达过山车处的时间为：120×7+60÷（2﹣0.5）＝880（秒） 从而得到小明比小东早到：880﹣624＝256（秒） 答：他们两人快者比慢者早256秒到达过山车处。 故答案为：256。 【考点点拨】本题考查了环形跑道问题的应用，题目有难度，需要仔细分析才能更好解答。 【变式训练02】（2024•中原区模拟）一个景区有一个正方形跑道，如图，跑道是一个边长为1000米的正方形，一号车从A点出发，二号车从C点出发，方向如图所示，速度均为200米/分。 （1）一、二号车出发后的8分钟内，第几分钟时两车相距400米？ （2）一号车第三次到达C点是第几分钟？此时两车相遇了几次？ （3）K点在BC边上，距离C点300米，有一人在此处候车，有以下两种情况： ①他恰好错过一号车，需要等二号车一段时间； ②他恰好错过二号车，需要等一号车一段时间； 请分析哪种情况等待的时间更长，并说明原因。 【思路指引】根据题意：跑道是一个边长为1000米的正方形，一号车从A点出发，二号车从C点出发，方向如图所示，速度均为200米/分钟。 （1）出发后的8分钟内，若还未相遇，相距400米需：（1000×2﹣400）÷（200+200）＝4（分钟）；若已相遇，相遇后相距400米需（1000×2+400）÷（200+200）＝6（分钟）。 （2）一号车第三次到达C点行驶了10个边长，需1000×10÷200＝50（分钟）， 第一次相遇两车共行驶了2个边长，第二次相遇共行驶了6个边长，第三次相遇共行驶了10个边长…后一次相遇比前一次相遇共多行驶了4个边长，即一个正方形周长．1000×2÷（200+200）＝5（分钟），即第一次相遇是在第5分钟，两车共行驶一个周长需要1000×4÷（200+200）＝10（分钟），所以每次相遇分别是在第5分钟，第15分钟，第25分钟，第35分钟，第45分钟，50分钟内共相遇了5次。 （3）①种情况需要等待的时间为：（1000×2+300×2）÷200＝13（分钟）， ②种情况需要等待的时间为：（1000×2﹣300×2）÷200＝7（分钟），通过比较即可。 【完整解答】解：（1）出发后的8分钟内，若还未相遇，相距400米需： （1000×2﹣400）÷（200+200） ＝1600÷400 ＝4（分钟） 若已相遇，相遇后相距400米需： （1000×2+400）÷（200+200） ＝2400÷400 ＝6（分钟） （2）一号车第三次到达C点行驶了10个边长，需1000×10÷200＝50 （分钟）， 第一次相遇两车共行驶了2个边长，第二次相遇共行驶了6个边长，第三次相遇共行驶了10个边长……后一次相遇比前一次相遇共多行驶了4个边长，即一个正方形周长。 1000×2÷（200+200） ＝2000÷400 ＝5（分钟） 即第一次相遇是在第5分钟，两车共行驶一个周长需要： 1000×4÷（200+200） ＝4000÷400 ＝10（分钟） 答：每次相遇分别是在第5分钟，第15分钟，第25分钟，第35分钟，第45分钟，50分钟内共相遇了5次。 （3）①种情况需要等待的时间为： （1000×2+300×2）÷200 ＝2600÷200 ＝13（分钟） ②种情况需要等待的时间为： （1000×2﹣300×2）÷200 ＝1400÷200 ＝7（分钟） 答：①种情况等待的时间更长。 【考点点拨】本题考查的是环形跑道的应用。 考点讲练06：列车过桥问题 【典例精讲】（2024•雨城区校级模拟）一列火车长200米，它以72km/h的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟，求桥长是多少米的算式正确的是（　　） A．1200×2﹣200 B．1200×2+200 C．（1200+200）×2 D．（1200﹣200）×2 【思路指引】首先将72km/h换算为以米/分为单位的数，即72×1000÷60＝1200（米/分），根据路程＝速度×时间，列式1200×2求出火车2分钟行的路程是多少米，并把单位化成米；再减去这列火车车身的长，就是这座桥的长度，据此列式。 【完整解答】解：72×1000÷60＝1200（米/分） 1200×2﹣200＝2200（米） 答：桥长是2220米。 故选：A。 【考点点拨】本题考查了火车过桥的实际应用，解题的关键是掌握乘法的意义。 【变式训练01】（2024•北碚区）某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要 　5　 秒钟。 【思路指引】（车长+桥长）÷火车车速＝火车隧道时间，根据“某列车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒”，路程差除以时间差等于火车车速。则该火车车速为：（342﹣234））÷（23﹣17）＝18（米/秒），该火车车长为：18×23﹣342＝72（米）；错车即是两列火车的车头相遇到两列火车的车尾相离的过程。共同行驶的路程等于两车身的长度和，所以该列车与另一列长98米，速度为每秒16米的火车错车时需要的时间为：（72+98）÷（18+16）＝5（秒）；据此解答即可。 【完整解答】解：该车速：（342﹣234）÷（23﹣17） ＝108÷6 ＝18（米/秒） 车长：18×23﹣342 ＝414﹣342 ＝72（米） 错车时间：（72+98）÷（18+16） ＝170÷34 ＝5（秒） 答：需要5秒钟。 故答案为：5。 【考点点拨】解答此题的关键利用公式：（车长+桥长）÷火车车速＝火车过桥时间；两车身的长度和÷速度和＝错车时间。 【变式训练02】（2024•中原区）甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。 （1）桥长是车长的几倍？ （2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？ 【思路指引】（1）根据题意，120秒时两人相遇，所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。 （2）120秒时，火车恰好走了一个车长和桥长，即3个车长；从火车车尾到火车车头到达桥尾，火车恰好走了一个桥长减去车长即1个车长的距离；所以共用了（120÷3）秒。据此解答。 【完整解答】解：（1）60+60＝120（秒） 所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。 答：桥长是车长的2倍。 （2）由分析可知：120÷3＝40（秒） 答：从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用40秒。 【考点点拨】本题主要考查了列车过桥问题，解题的关键是认真分析题中的两个60秒走的路程。 考点讲练07：发车间隔问题 【典例精讲】（2024•渝北区）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的4倍，每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【思路指引】根据题意，我们可设步行人的速度为x米/分，则骑车人的速度为4x米/分，公共汽车的速度为y米/分；进而得出一方程8（y﹣x）＝10（y﹣4x），整理得出：x：y＝1：16；然后再根据两个未知数的关系，恰当设出步行人速度为1份，骑车人速度为4份，公共汽车速度为16份，进而用份数表示出“相邻两辆公共汽车之间的距离为：（16﹣1）×8＝120份”，至此便可求出问题答案了。 【完整解答】解：设步行人的速度为x米/分，则骑车人的速度为4x米/分，公共汽车的速度为y米/分，得8（y﹣x）＝10（y﹣4x）整理得：x：y＝1：16若步行人速度为1份，则骑车人速度为4份，公共汽车速度为16份，得（16﹣1）×8＝120； 120÷16＝7.5（分钟） 答：间隔7.5分钟发一辆公共汽车。 故答案为：7.5。 【考点点拨】解此题的关键是先求出步行人与公共汽车之间的速度比，之后利用这个比进行对问题的解答即可。 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出．他从乙站到甲站用了 　40　 分钟． 【思路指引】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程．骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发，骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆．电车共发出9辆，共有8个间隔．于是：5×8＝40（分）． 【完整解答】解：由题意可得骑车人一共看见12辆电车， 因每隔5分钟有一辆电车开出，而全程需（15分）， 所以骑车人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出， 骑车人到达甲站时，第12辆车正从甲站开出， 所以，骑车人从乙站到甲站所用时间就是第4辆电车从甲开出到第12辆电车由甲开出之间的时间， 即（12﹣4）×5＝40（分）． 故答案为：40． 【考点点拨】明确骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，并由此推算出骑车人从乙站这段时间内从甲站发出的电车数是完成本题的关键． 【变式训练02】（2021•泰安模拟）公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A．35 B．40 C．50 D．45 【思路指引】因为是相向而行，所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于（10+1）×5＝55（分钟），又因为公交车走全程需15分钟，所以骑自行车的时间为：55﹣15＝40（分钟）． 【完整解答】解：由题意可得 （10+1）×5﹣15 ＝55﹣15 ＝40（分钟）． 答：他从乙站到甲站共用了40分钟． 故选：B． 【考点点拨】此题属于多次相遇问题，考查了学生“相向而行”这一知识点，以及分析问题的能力． 考点讲练08：错车问题 【典例精讲】（2024•双流区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【思路指引】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【完整解答】解：10分15秒＝10.25分 （82﹣60）×10÷（10.25﹣10）﹣60 ＝22×10÷0.25﹣60 ＝220÷0.25﹣60 ＝880﹣60 ＝820（米） （82+820）×10÷820 ＝9020÷820 ＝11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 【考点点拨】此题主要考查解决追及问题、相遇问题的能力，解答时读懂题意，理解各数量之间的关系是解题的关键。 【变式训练01】（2024•九龙坡区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔 　11　 分钟开出一辆电车。 【思路指引】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【完整解答】解：10分15秒＝10.25分 （82﹣60）×10÷（10.25﹣10）﹣60 ＝22×10÷0.25﹣60 ＝220÷0.25﹣60 ＝880﹣60 ＝820（米） （82+820）×10÷820 ＝9020÷820 ＝11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 故答案为：11。 【考点点拨】此题主要考查解决追及问题、相遇问题的能力，解答时读懂题意，理解各数量之间的关系是解题的关键。 【变式训练02】（2024•渝北区）一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒，客车的速度和货车的速度分别是 　14米/秒、10米/秒　 。 【思路指引】由题意可知，两车的车长和为200+280＝480（米），相向而行时，两车错车而行的距离是两车的车长和，速度是两车的速度和，根据“速度和＝路程÷错车时间”求出两车的速度和；同向而行时，两车追及的距离同样是车长和，根据“速度差＝追及距离÷追及时间”求出速度差；再根据和差公式可知：较大数＝（和+差）÷2，即客车的速度，然后用速度和减去客车的速度即是货车的速度，据此解答。 【完整解答】解：（280+200）÷20 ＝480÷20 ＝24（米/秒） （280+200）÷120 ＝480÷120 ＝4（米/秒） （24+4）÷2＝14（米/秒） 24﹣14＝10（米/秒） 答：客车的速度是14米/秒，货车的速度是10米/秒。 故答案为：14米/秒、10米/秒。 【考点点拨】根据两车的长度和及相遇时间、追及时间求出两车的速度和与速度差是完成本题的关键。 基础夯实巩固练 1．（2024•重庆模拟）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒是跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫后120米用了（　　）秒． A．40 B．25 C．30 D．36 【思路指引】由于他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，所以他的平均速度为（3+5）÷2＝4米/秒，则他跑一圈需要时间为（240÷4＝60）秒，则一半时间为（60÷2＝30）秒，他前30秒共跑了（5×30＝150）米，一半路程为（240÷2＝120）米，所以后一半路程用每秒5米的速度跑的长度为（150﹣120＝30）米，用时（30÷5＝6）秒，用每秒3米跑的长度为（120﹣30＝90）米，用时（90÷3＝30）秒，所以后一半路程共用时（6+30＝36）秒。 【完整解答】解：跑一圈需要时间为： 240÷[（3+5）÷2] ＝240÷[8÷2] ＝240÷4 ＝60（秒） 前一半时间跑的长度为： 60÷2×5＝150（米） 则后一半路程中用每秒5米的速度跑的时间为： （150﹣240÷2）÷5 ＝（150﹣120）÷5 ＝30÷5 ＝6（秒） 用每秒3米的速度跑的时间为： （120﹣30）÷3 ＝90÷3 ＝30（秒） 所以后一半路程共用时：6+30＝36（秒） 答：电子猫后120米跑了36秒。 故选：D。 【考点点拨】根据其平均速度求出他跑一圈所用时间，进而求出一半时间是多少，是完成本题的关键。 2．（2024•江北区校级模拟）有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走35米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？（　　） A．1000米 B．1147米 C．5850米 D．10000米 【思路指引】根据甲和乙相遇3分钟和丙相遇，则丙到甲乙相遇点的距离可求出，即（40+35）×3＝225米．因为乙每分钟比丙多行（38﹣35）＝3米，因此，甲乙的相遇时间可以求出，即225÷3＝75分．最后用甲乙的速度和×相遇时间，问题得解． 【完整解答】解：[（35+40）×3]÷（38﹣35） ＝（75×3）÷3 ＝225÷3 ＝75（分） （40+38）×75 ＝78×75 ＝5850（米） 答：这个花圃的周长是5850米． 故选：C。 【考点点拨】解答此题的关键是求甲乙的相遇时间． 3．（2024•南海区模拟）小琪每天步行0.5千米去上学，他的路线要经过街边10个长度相等的商铺，每个商埔走1分钟。今天他走了5个商铺后，发现必须绕道走，相当于走3个等长的商铺而不是1个，才能到达下一个街角，从他开始绕道的那一刻起，为了在平时的时间到达学校，他必须以（　　）千米/时的速度步行。 A．4 B．4.2 C．4.5 D．4.8 【思路指引】每个商埔的长度是0.5÷10＝0.05（千米），从他开始绕道的那一刻起，为了在平时的时间到达学校，行走的时间是1×5＝5（分钟），行走的路程是0.05×（5+2）＝0.35（千米），然后除以5求出速度，再转化单位即可。 【完整解答】解：0.5÷10＝0.05（千米） 1×5＝5（分钟） 0.05×（5+2） ＝0.05×7 ＝0.35（千米） 0.35÷5＝0.07（千米/分钟） 0.07千米/分钟＝4.2千米/小时 答：他必须以4.2千米/时的速度步行。 故选：B。 【考点点拨】解答本题关键是求出从他开始绕道的那一刻起，行走的距离和时间。 4．（2024•高新区模拟）甲、乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步。如果两人同时从某地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需要6分钟，那么乙跑一周需要 　12　 分钟。 【思路指引】跑了4分钟两人第一次相遇，即两人每相遇一次需要4分钟，则两人每分钟共跑一周的，即速度和是，甲跑一周要6分钟，则甲的速度是，所以乙的速度是（），然后根据“路程÷速度＝时间”解答即可。 【完整解答】解：1÷（） ＝1 ＝12（分钟） 答：乙跑一周需要12分钟。 故答案为：12。 【考点点拨】本题考查了环形跑道问题，根据工程问题的解题思路分别求出两人的速度是完成本题的关键。 5．（2024•资中县）A、B是圆形跑道直径的两端，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇时，相遇地点距离A地360米，两人按照原速度继续前行，甲经过B地后再与乙第二次相遇，相遇地点距离B地120米，这个圆形跑道的周长是　1920　 米。 【思路指引】由图可知，相遇第一次，两人走了周长的一半；当两人第二次相遇时，相当于走了一个周长加上周长的一半，也就是三个周长的一半；每走一个周长的一半，甲就要走360米，则三个周长的一半，甲走了3×360＝1080（米）；因为甲已经过了B地，所以甲走的路程减去120米，就是周长的一半，则用1080米减去120米，再乘2就是圆形跑道的周长。 【完整解答】解：（360×3﹣120）×2 ＝（1080﹣120）×2 ＝960×2 ＝1920（米） 答：这个圆形跑道的周长是1920米。 故答案为：1920。 【考点点拨】本题的解题关键在于理解相遇点的相对位置与跑道周长之间的数学关系，通过精确地解析相遇点位置，进而求解得到答案。 6．（2024•两江新区）一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座432米长的铁桥用了36秒，这列火车长 　144　 米。 【思路指引】根据题干分析可得：经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，所走的路程是自身的车长度，火车从车头上大桥到车尾离开大桥，行驶了一个桥长加自身的长度，因为它行完自身的长度用了9秒，所以行完大桥的长度应该用36﹣9＝27（秒），所以可求出火车的速度；那么长度就等于速度乘9秒即可。 【完整解答】解：火车每秒的速度： 432÷（36﹣9） ＝432÷27 ＝16（米/秒） 火车的长度：16×9＝144（米） 答：这列火车的长度是144米。 故答案为：144。 【考点点拨】解答此题时应注意：这列火车从车头进桥到车尾离桥行驶的路程＝桥长+车长，所以在求车通过桥的时间时，应减去行车身所用的时间。 7．（2024•璧山区）甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶70千米，两车在距离中点15千米处相遇。从出发到相遇时，甲、乙两车经过了多少小时？ 【思路指引】要求时间，根据“两车在离中点15千米处相遇”，可知相遇时甲车比乙车多行15×2＝30（千米），根据“路程差÷速度差＝相遇时间”，则两车相遇时间为：30÷（80﹣70）＝3（小时），解决问题。 【完整解答】解：15×2÷（80﹣70） ＝30÷10 ＝3（小时） 答：甲、乙两车经过3小时相遇。 【考点点拨】解答本题关键是利用关系式：“路程差÷速度差＝相遇时间”解决问题。 8．（2024•北碚区校级模拟）在500米的圆形跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米都要休息10秒。甲需要多少秒才能追上乙？ 【思路指引】由题意可得，甲跑100米需要（100÷5+10）＝30（秒），乙跑100米需要（100÷4+10）＝35（秒），根据30和35的公倍数可分析出在相同时间下甲乙分别跑了多少米，此时再根据相差的距离具体计算即可。 【完整解答】解：根据题意，及其分析可得出： 甲跑100米需要：100+5+10＝30（秒），甲每30秒跑100米。 甲跑100米需要：100+4+10＝35（秒），乙每35秒跑100米。 [30，35]＝210＝30×7＝35×6 甲每210秒跑700米，乙每210秒600米，此时甲在乙后面600+170﹣700＝70（米）处。 甲每30秒跑100米，90秒跑300米，14秒跑70米。 乙每35秒跑100米，95秒跑300米（然后休息10秒）。 210+90+14＝314（秒） 答：甲需要314秒才能追上乙。 【考点点拨】明确追及问题中的数量间的关系是解决本题的关键。 9．（2024•莱芜区模拟）盐城与南京相距261.6千米，一辆慢车从盐城开出，每时行驶55.3千米；一辆快车从南京出发，每时行驶64.7千米；两车同时开出，相向而行． （1）估计两车在何处相遇，用“▲”在图中标出． （2）两车出发后几小时相遇？ 【思路指引】（1）根据相遇问题知识可知，相遇时，快车所行路程应远，据此估计相遇时两车位置即可． （2）利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入计算即可． 【完整解答】解：（1）两车相遇地点，如图所示： （2）261.6÷（55.3+64.7） ＝261.6÷120 ＝2.18（小时） 答：两车出发后2.18小时相遇． 【考点点拨】本题主要考查相遇问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题． 10．（2024•沙坪坝区校级模拟）△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD＝2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米，那么，△ABC的周长是多少米。 【思路指引】设AB长度为5k，根据相遇时时间相等列出关系式：甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B，即（5k×2）÷（V甲+V丙）＝5k÷V乙……①；当乙、丙第二次相遇是在D时，8k÷V乙＝12k÷V丙……②；甲走了2012米，2012÷V甲＝8k÷V乙……③。由以上三个方程即可得出k，也就求出了AB的长度，因为△ABC是一个等边三角形，因此周长很容易得出。 【完整解答】解：设AB长度为5k。 甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B，所以： （5k×2）÷（V甲+V丙）＝5k÷V乙……① 当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米。所以： 8k÷V乙＝12k÷V丙……② 2012÷V甲＝8k÷V乙……③ 由②可得：V丙V乙……④ 将④代入①可得：V甲V乙……⑤ 将⑤代入③可得：k＝503 所以3×5k＝3×5×503＝7545 答：△ABC的周长是7545米。 【考点点拨】此题解答的关键在于巧设未知数，求出三角形一条边的长度，进而得解。 培优拔高强化练 11．（2024•泉山区）小龙和爸爸绕着圆形的街心花园散步。小龙走完一圈需要10分钟，爸爸走完一圈需要8分钟。如果两人同时从同一地点相背而行，第20分钟时，两人的位置关系是（　　） A． B． C． D． 【思路指引】依据题意可知，把圆形的街心花园的周长看作“1”，利用速度＝路程÷时间，计算两人的速度，然后利用相遇时间×速度和＝两人一共走的路程，由此解答本题。 【完整解答】解：由分析可知：1÷10 1÷8 （）×20 20 ＝4 答：两人一共走了4圈半。 故选：A。 【考点点拨】本题考查的是相遇问题的应用。 12．（2024•中原区）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是270米，慢车的车长是360米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是（　　）秒。 A．9 B．10 C．11 D．12 【思路指引】像这样的错车问题，两辆车上的人看对方车速两车是一样的，快车上的人看慢车驶过时，快车行驶的路程为慢车的长度，相反则是慢车的情况；所以只要求出两车相对行驶的速度，再进一步即可求解。 【完整解答】解：270÷（360÷12） ＝270÷30 ＝9（秒） 答：坐在慢车上看见快车驶过的时间是9秒。 故选：A。 【考点点拨】解答此类问题的关键是：弄明白两车的相对速度、行驶的路程与时间之间的关系。 13．（2024•渝北区）张良沿一公路徒步，速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是 　18　 。 【思路指引】根据题意，先求出汽车与张良的速度差和速度和，再根据和差公式求出汽车的速度，再根据追及问题求出追及路程，用追及路程除以汽车的速度，就是汽车发车的间隔时间。 【完整解答】解：设汽车速度为每小时x千米。 36分＝0.6小时 12分＝0.2小时 0.6（x﹣4.2）＝0.2（x+4.2） 0.6x﹣2.52＝0.2x+0.84 0.6x﹣0.2x＝0.84+2.52 0.4x＝3.36 x＝8.4 汽车与张良的速度差为： 8.4﹣4.2＝4.2（千米/时） 发车间隔为： 4.2×0.6÷8.4 ＝2.52÷8.4 ＝0.3（小时） 0.3小时＝18分钟 答：公共汽车发出时间间隔是18分钟。 故答案为：18。 【考点点拨】本题是比较难的综合行程问题，它包括追及问题、相遇问题、工程问题、和差问题，关键是得出公共汽车的车速。 14．（2024•高新区模拟）如图，一只兔子沿着平行四边形A→B→C的方向逃跑，同时一只猎狗也从A点出发沿着A→D→C的方向追捕兔子，在E点猎狗抓住了兔子。已知兔子的速度是猎狗速度的，且CE长6米，则平行四边形的周长是 　100　 米。 【思路指引】把追捕的时间看作是单位“1”，猎狗比兔子多跑了6×2＝12（米），（即两个CE的距离），猎狗比兔子的速度快1，猎狗跑了1256（米），那么平行四边形的周长为：56×2﹣12＝100（米），解决问题。 【完整解答】解：6×2÷（1）×2﹣12 ＝122﹣12 ＝112﹣12 ＝100（米） 答：平行四边形的周长是100米。 故答案为：100。 【考点点拨】此题解答的关键在于求出到达E点处猎狗跑的路程，进而解决问题。 15．（2024•三河市）毛毛设计了一款程序，如图。在网格图中，机器人A、B同时从0点向第8格匀速运行。5秒后，A运行到第二格，B运行到第8格。随后，B立即向左与A相向而行。当B遇到A后，又会立即掉头向第8格运行……一直到两个机器人同时到达第8格，两个机器人才停止运行。整个运行过程中，B一共走了 　32　 格。 【思路指引】先求出B机器人的速度是A机器人的速度的倍数，因为A机器人走的格数是8格，所以用8乘B机器人的速度是A机器人的速度的倍数即可。 【完整解答】解：8÷2＝4 8×4＝32（格） 答：B一共走了32格。 故答案为：32。 【考点点拨】本题主要考查了相遇问题，解题的关键是求出B机器人的速度是A机器人的速度的倍数。 16．（2024•管城区模拟）小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多长时间？ 【思路指引】首先根据题意，可得从爸爸骑车出发到追上小明，爸爸行了全程的：1，小明了行了全程的：；据此求出爸爸骑车与小明步行的速度比是7：2；然后根据路程一定时，时间和速度成反比，可得剩下的路程骑车与步行的时间比是2：7；最后根据分数除法的意义，用小明比独自步行提前的时间除以它占步行的时间的分率，求出剩余的行程的步行时间是多少，进而求出小明从家到学校全部步行需多少时间即可。 【完整解答】解：爸爸骑车与小明步行的速度比是： （1）：（） ＝7：2 小明从家到学校全部步行需要的时间是： 5 ＝7 答：小明从家到学校全部步行需23分钟。 【考点点拨】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：时间一定时，路程和速度成正比，并求出剩余的行程的步行时间是多少。 17．（2024•北碚区校级模拟）甲、乙两人在2千米环形道路的同一地点、同方向、同时出发，并要同时完成绕行2周。由于只有一辆自行车，所以最初由甲骑着出发，途中放下自行车，剩下的路步行：乙最初步行，途中骑上甲放下的自行车，行完剩下的路程。已知步行速度甲为5千米/时，乙为4千米/时，骑自行车速度甲为20千米/时，乙为15千米/时。绕完2周需要多少时间？甲骑行了多少千米将自行车放下？ 【思路指引】要想时间尽量少，骑自行车的路程应尽量多，所以两人骑自行车的路程都应超过1周，步行的路程都不足1周。设甲骑车行了（2+x）千米，步行（2﹣x）千米，其中0＜x＜2，则乙步行了x千米，骑车行了（4﹣x）千米。根据两人用的总时间相同列方程求解即可。 【完整解答】解：设甲骑行了（2+x）千米将自行车放下。 3（2+x）+12（2﹣x）＝15x+4（4﹣x） 6+3x+24﹣12x＝15x+16﹣4x 20x＝14 x＝0.7 0.7+2＝2.7（千米） ＝0.175+0.22 ＝0.395（小时） 答：绕完2周需要0.395小时，甲骑行了2.7千米将自行车放下。 【考点点拨】本题考查环形跑道问题，先设未知数，再根据等量关系列方程求解即可。 18．（2024•渝北区校级模拟）如图所示，甲从A点出发，在AD之间不断往返行走，乙从B点出发，沿着B﹣E﹣C﹣B图绕等边三角形BEC不断行走。已知AB＝80米，BE＝EC＝CB＝100米，CD＝120米，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，问：甲第一次从背后追上乙的地点离B点多少米？ 【思路指引】由已知条件和图形可知：甲要从背后追上乙，必须具备2个条件：一是方向是由C向B；二是在同一时间甲到C点而乙过C点不久乙。在C到B的时间段是：100×2÷4＝50（秒）到100×3÷4＝75（秒）；125秒到150秒；200秒到225秒等；甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：（80+40+120×2）÷5＝84（秒）；204秒；324秒等。对照可得，符合要求的时间是204秒，即此时乙刚过C点4秒，距C点是4×4＝16（米），甲追上乙用时是16÷（5﹣4）＝16（秒），此时甲已离开C的距离是16×5＝80（米），再求离B距离即可。 【完整解答】解：100×2÷4＝50（秒） 100×3÷4＝75（秒） 即C到B的时间段是：50秒～75秒，125秒～150秒；200秒～225秒。 （80+40+120×2）÷5＝84（秒） 即甲在由C到B的方向上，到达C的时间是：84秒、204秒、324秒等。 204﹣200 ＝4（秒） 4×4÷（5﹣4）＝ 16（秒） 100﹣16×5＝20（米） 答：甲第一次从背后追上乙的地点离B点20米。 【考点点拨】解答此题的关键是明白甲从背后追上乙的条件，再用列举法求得追上的用时即可。 19．（2024•渝北区）如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行，他们在离A点100米的C点第一次相遇，亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇。整个过程中，两人各自的速度都保持不变，求A、B间的距离。 【思路指引】从出发到第一次相遇，两人一共走了1个全程，其中亮亮走了100米；第二次相遇时，两人共走了2个全程，其中亮亮走了2个100米，即两人一共走了3个全程，亮亮一共走了3个100米，又因为亮亮从出发到第二次相遇，一共走了1个全程多80米，所以A、B间的距离为：300﹣80，据此计算即可解答。 【完整解答】解：第一次相遇，两人一共走了1个全程，其中亮亮走了100米； 第二次相遇时，两人共走了2个全程，因为亮亮走（CB+DB）用的时间是2个走AC的时间，所以走的路程也是2个AC，则亮亮走的路程为：CB+DB＝2AC＝2×100＝200（米）， 从出发到第二次相遇亮亮一共走的路程为：100+200＝300（米）， 又因为亮亮从出发到第二次相遇，一共走了1个全程多80米，即A、B间距离+80＝300，所以A、B间的距离为：300﹣80＝220（米）。 答：A、B间的距离是220米。 【考点点拨】此题考查多次相遇问题。解答本题的关键是理清亮亮在两次相遇过程中走的路程，根据亮亮走的路程找出等量关系，再列式计算。 20．（2024•郫都区校级模拟）如图所示的是四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米。问：从出发到四人首次相遇，四人共跑了多少千米？ 【思路指引】首先求出每个人跑一圈所用的时间，再求出时间的最小公倍数，最后求出在相同的时间内每个人所跑的圈数，由此解决问题。 【完整解答】解：A跑一圈需要小时，B跑一圈需要小时，C跑一圈需要小时，D跑一圈需要小时。 因为、、、 的最小公倍数是，所以小时后他们四人首次相遇。此时四人共跑的千米数是： （4+8+6+12） 30 ＝15（千米） 答：从出发到四人首次相遇，四人共跑了15千米。 【考点点拨】解题的关键是求出四人首次相遇的时间。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学一轮复习精编专题培优讲义（模块三 典型应用题） 专题13 行程问题（小升初复习讲义） （思维导图+知识梳理+易错点拨+考点讲练+分层训练 共44题） 同学你好，恭喜你进入小升初冲刺阶段！首先预祝你考出理想成绩！该份讲义涵盖内容非常全面，细分专题，精选高频考点，精雕细琢。包含导图指引，知识梳理，易错点拨，考点讲练，难度分层训练五大部分，题型新颖，解析版解题思路清晰。优选2024各地名校最新真题，模拟题等，非常贴合考纲要求，适合拿来大练手笔，讲义难度中上，适合所有学生使用！ 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：核心要素与基本公式 3 1. 三要素定义： 3 2. 基本关系式： 3 3. 平均速度： 3 知识点梳理02：高频题型与解题公式 4 1.相遇问题 4 2.追及问题 4 3.流水行船问题 4 4.火车过桥问题 4 5.环形跑道问题 4 6.钟面行程问题 5 知识点梳理03：解题方法与技巧 5 1. 公式法： 5 2. 图示法： 5 3. 比例法： 5 4. 方程法： 5 易错考点点拨 5 考点01：公式混淆与误用: 5 易错知识点01：相遇与追及公式混淆 5 易错知识点02：流水行船公式倒置 5 考点02：单位与数值处理不当 6 易错知识点01：单位未统一 6 易错知识点02：隐含数值遗漏 6 考点03：特殊情境分析错误 6 易错知识点01：中点相遇问题 6 易错知识点02：多次相遇与追及 6 易错知识点03：平均速度误算 6 考点04：方程与比例应用失误 6 易错知识点01：设未知数不合理 6 易错知识点02：速度比与时间比混淆 6 考点05：避错策略与技巧 7 易错知识点01：公式分类记忆： 7 易错知识点02：单位统一先行 7 易错知识点03：画图辅助分析 7 易错知识点04：验算结果合理性 7 真题考点讲练 7 考点讲练01：相遇问题 7 考点讲练02：追击问题 8 考点讲练03：流水行船问题 9 考点讲练04：多次相遇问题 10 考点讲练05：环形跑道问题 10 考点讲练06：列车过桥问题 12 考点讲练07：发车间隔问题 12 考点讲练08：错车问题 13 难度分层训练 13 基础夯实巩固练 13 培优拔高强化练 16 知识点梳理01：核心要素与基本公式 1. 三要素定义： 路程（s）：物体移动的总距离，单位如米、千米。 速度（v）：单位时间内移动的距离，单位如米/秒、千米/时。 时间（t）：完成移动所需时长，单位如秒、分钟、小时。 2. 基本关系式： 路程 = 速度 × 时间（s = v × t）。 速度 = 路程 ÷ 时间（v = s ÷ t）。 时间 = 路程 ÷ 速度（t = s ÷ v）。 3. 平均速度：总平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（非速度平均值）。 知识点梳理02：高频题型与解题公式 1.相遇问题 核心公式： 路程和 = 速度和 × 相遇时间（s = (v₁ + v₂) × t）。 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和38。 关键条件： 同时出发、相向而行或相对而行。 中点相遇：相遇点距中点距离为d → 路程差为2d。 2.追及问题 核心公式： 路程差 = 速度差 × 追及时间（s = (v快 - v慢) × t）。 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差38。 关键条件： 同时同向出发，快者追上慢者。 分类讨论：追上前相距与追上后相距两种情形。 3.流水行船问题 核心公式： 顺水速度 = 船速 + 水速 逆水速度 = 船速 - 水速 静水速度（船速）= (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2。 4.火车过桥问题 核心公式： 总路程 = 桥长 + 火车长度 过桥时间 = (桥长 + 车长) ÷ 火车速度。 5.环形跑道问题 同向运动： 相遇次数 = 速度差 ÷ 跑道周长（每相遇一次快者比慢者多跑一圈）。 相向运动： 相遇次数 = 速度和 ÷ 跑道周长。 6.钟面行程问题 分针与时针速度： 分针速度：6°/分钟，时针速度：0.5°/分钟。 速度差 = 5.5°/分钟，用于计算重合或垂直时间。 知识点梳理03：解题方法与技巧 1. 公式法： 直接套用基础公式及变形（如相遇、追及公式）。 注意隐藏条件（如火车长度、水流影响）。 2. 图示法： 线段图：标注出发时间、方向、速度，辅助分析路程关系。 柳卡图：用于多次相遇或追及的复杂问题26。 3. 比例法： 当已知速度比或时间比时，用比例简化计算（如s₁/s₂ = v₁/v₂）。 4. 方程法： 设未知数，根据路程关系列方程（尤其适用于综合题型）。 考点01：公式混淆与误用: 易错知识点01：相遇与追及公式混淆 错误表现：将相遇问题的“速度和”公式套用到追及问题中，或反之。 示例：两人相距100米，甲速度3m/s，乙速度2m/s，若同向追及，误用相遇公式：100÷(3+2)=20秒（正确应为100÷(3-2)=100秒）。 易错知识点02：流水行船公式倒置 错误表现：混淆顺水速度与逆水速度公式（顺水=船速+水速，逆水=船速-水速）。 示例：船静水速度15km/h，水速3km/h，误算逆水速度为15+3=18km/h（正确应为15-3=12km/h）。 考点02：单位与数值处理不当 易错知识点01：单位未统一 错误表现：速度（如m/s与km/h）、时间（如分钟与小时）未统一直接运算。 示例：火车速度72km/h，过桥时间30秒，未换算单位直接计算路程：72×30=2160米（正确应为72÷3.6=20m/s，20×30=600米）。 易错知识点02：隐含数值遗漏 错误表现：忽略火车过桥时的车身长度或往返行程中的总路程。 示例：火车长200米过桥，总路程=桥长+车长，若桥长400米，误算总路程为400米（正确应为400+200=600米）。 考点03：特殊情境分析错误 易错知识点01：中点相遇问题 错误表现：相遇点距中点d时，误认为路程差为d（实际为2d）。 示例：A、B相距240千米，相遇点距中点20千米，误算速度差为20÷时间（正确应比较两车路程差40千米）。 易错知识点02：多次相遇与追及 错误表现：未正确计算环形跑道或折返行程中的相遇次数。 示例：环形跑道周长400米，甲速度5m/s，乙3m/s，同向追及时误算相遇时间为400÷(5+3)=50秒（正确应为400÷(5-3)=200秒）。 易错知识点03：平均速度误算 错误表现：用速度算术平均代替总路程÷总时间。 示例：上山速度4km/h，下山6km/h，误算平均速度为(4+6)/2=5km/h（正确应为2/(1/4+1/6)=4.8km/h） 考点04：方程与比例应用失误 易错知识点01：设未知数不合理 错误表现：未根据题目核心关系设立变量，导致方程复杂或错误。 示例：相遇问题中未设相遇时间为t，直接求路程导致步骤混乱。 易错知识点02：速度比与时间比混淆 错误表现：已知速度比为3:2，误认为时间比也为3:2（实际为反比2:3）。 示例：甲乙速度比3:2，完成相同路程误算时间比为3:2（正确应为2:3）。 考点05：避错策略与技巧 易错知识点01：公式分类记忆： 相遇问题用“速度和”公式，追及问题用“速度差”公式，流水行船区分顺逆水速度。 易错知识点02：单位统一先行 计算前先将速度、时间、路程单位统一（如km/h→m/s）。 易错知识点03：画图辅助分析 用线段图标注运动方向、相遇点、折返点，直观分析路程关系。 易错知识点04：验算结果合理性 检查计算结果是否符合常识（如时间不能为负，快者路程应多于慢者）。 考点讲练01：相遇问题 【典例精讲】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（　　） A．2×240+2×264 B．2×240+264 C．2×（240+264） D．（240+264）×2 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）张庄和李庄相距12千米，某天，小张和小李两人骑自行车分别从张庄和李庄同时出发相向而行，小张行驶小时后，自行车发生故障，此时距离李庄8千米，于是以原来骑行速度的一半推着自行车继续向李庄走：小李出发1小时后与小张相遇，然后小张搭乘小李的自行车一同去往李庄（两人碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小张骑行速度的，则小李在出发后 　 　 分钟与张庄相距10千米。 【变式训练02】（2024•广汉市）李老师和王老师分别从松林学校、金轮一小两地同时出发，相向而行。出发时，李老师和王老师的速度比是5：4，相遇后，李老师的速度减少20%，王老师的速度增加20%；这样，当李老师到达金轮一小时，王老师离松林学校还有0.5千米。那么松林学校、金轮一小两地相距 　 　 千米。 考点讲练02：追击问题 【典例精讲】（2024•莘县）龟兔赛跑的故事同学们都很熟悉。跑在前面的小兔子在大树下睡了一觉，等它醒来发现乌龟已经把它甩在身后很远了。虽然它奋起直追，可惜还是输给了乌龟。如图折线图最能描述这个故事的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（2024•二七区）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的边，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边　　 （AB、BC、CD或DA）上． 【变式训练02】（2024•渝北区）第三届中国大学生方程式汽车比赛赛前，甲、乙两辆参赛小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试。两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第15分钟时甲车提速，在第18分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第23分钟时，甲车再次追上乙车，已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是 　　 分钟。 考点讲练03：流水行船问题 【典例精讲】（2024•高新区模拟）两艘轮船同时离开码头，甲船顺水而行，乙船逆水而行，两艘轮船在静水中的速度相同。在启航时，从码头丢下一个救生圈，随水漂流。在两船离开码头正好30分钟时，两艘船同时收到马上改变航行方向（即原来顺水航行的船改为逆水航行，原来逆水航行的船改为顺水航行）的指令，去打捞在启航时从码头丢下的随水漂流的救生圈，那么（　　） A．甲船先到达救生圈处 B．乙船先到达救生圈处 C．两船同时到达救生圈处 D．无法判断哪艘船先到达救生圈处 【变式训练01】（2024•渝北区校级模拟）河流上有A、B两个码头，其中A码头在上游，B码头在下游，现有甲、乙两艘船，静水中甲船速度是乙船的两倍；甲、乙同时分别从A、B两个码头出发，相向而行；甲船在出发的时候将一箱可飘浮于水面上的货物遗留在了河面上，20分钟后两船相遇，此时甲船又将一箱同样的货物遗留在了河面上，一段时间之后，甲船发现自己少了货物调头回去寻找，当甲找到第二箱货物的同时，乙船恰好遇到了甲遗留的第一箱货物，那么，甲从出发开始过了 　40　 分钟才发现自己的货物丢失。（掉头时间不计） 【变式训练02】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 考点讲练04：多次相遇问题 【典例精讲】（2024•大渡口区）甲乙两人分别从相距500米A、B两地同时出发不断往返，甲速度为每分钟80米，乙速度为每分钟120米，出发半小时内，两人一共相遇 　　 次。 【变式训练01】（2024•盐城）如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米。甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲、乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是 　 　 厘米。 【变式训练02】（2024•渝北区）甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 考点讲练05：环形跑道问题 【典例精讲】（2024•无棣县）小丁和妈妈绕着圆形花园跑步。小丁跑完一圈需要3分钟，妈妈跑完一圈需要6分钟。如果两人从同一个地方同时出发顺时针绕圈，那么9分钟后两人的位置可以用下面的图（　　）来表示。 A． B． C． D． 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）如图，一个游乐场的平面图就像一个巨大的钟表面，游乐场的正门在“3点钟”方向。最刺激的游乐设施过山车在“10点钟”方向。环绕游乐场的是一圈长为2160米的环形泳道，泳道中的水按顺时针循环流动，流速为0.5米/秒，在泳道中均匀地分布着12个浮游小艇，小艇随水漂流，可供游泳的游客休息。小明和小东进入游乐场的正门时，恰好有一个小艇漂到“3点钟”方向，他们决定通过游泳到达过山车处，两人都没有在出发点休息，小明立即顺时针，小东立即逆时针游泳，速度都是每秒游2米，两人在游泳途中遇到小艇都需要爬上小艇休息30秒来恢复体力。那么他们两人快者比慢者早 　　 秒到达过山车处。 【变式训练02】（2024•中原区模拟）一个景区有一个正方形跑道，如图，跑道是一个边长为1000米的正方形，一号车从A点出发，二号车从C点出发，方向如图所示，速度均为200米/分。 （1）一、二号车出发后的8分钟内，第几分钟时两车相距400米？ （2）一号车第三次到达C点是第几分钟？此时两车相遇了几次？ （3）K点在BC边上，距离C点300米，有一人在此处候车，有以下两种情况： ①他恰好错过一号车，需要等二号车一段时间； ②他恰好错过二号车，需要等一号车一段时间； 请分析哪种情况等待的时间更长，并说明原因。 考点讲练06：列车过桥问题 【典例精讲】（2024•雨城区校级模拟）一列火车长200米，它以72km/h的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟，求桥长是多少米的算式正确的是（　　） A．1200×2﹣200 B．1200×2+200 C．（1200+200）×2 D．（1200﹣200）×2 【变式训练01】（2024•北碚区）某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要 　　 秒钟。 【变式训练02】（2024•中原区）甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。 （1）桥长是车长的几倍？ （2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？ 考点讲练07：发车间隔问题 【典例精讲】（2024•渝北区）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的4倍，每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【变式训练01】（2024•北碚区校级模拟）一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出．他从乙站到甲站用了 　　 分钟． 【变式训练02】（2021•泰安模拟）公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A．35 B．40 C．50 D．45 考点讲练08：错车问题 【典例精讲】（2024•双流区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【变式训练01】（2024•九龙坡区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔 　　 分钟开出一辆电车。 【变式训练02】（2024•渝北区）一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒，客车的速度和货车的速度分别是 　　 。 基础夯实巩固练 1．（2024•重庆模拟）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒是跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫后120米用了（　　）秒． A．40 B．25 C．30 D．36 2．（2024•江北区校级模拟）有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走35米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？（　　） A．1000米 B．1147米 C．5850米 D．10000米 3．（2024•南海区模拟）小琪每天步行0.5千米去上学，他的路线要经过街边10个长度相等的商铺，每个商埔走1分钟。今天他走了5个商铺后，发现必须绕道走，相当于走3个等长的商铺而不是1个，才能到达下一个街角，从他开始绕道的那一刻起，为了在平时的时间到达学校，他必须以（　　）千米/时的速度步行。 A．4 B．4.2 C．4.5 D．4.8 4．（2024•高新区模拟）甲、乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步。如果两人同时从某地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需要6分钟，那么乙跑一周需要 　　 分钟。 5．（2024•资中县）A、B是圆形跑道直径的两端，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇时，相遇地点距离A地360米，两人按照原速度继续前行，甲经过B地后再与乙第二次相遇，相遇地点距离B地120米，这个圆形跑道的周长是　 　 米。 6．（2024•两江新区）一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座432米长的铁桥用了36秒，这列火车长 　 米。 7．（2024•璧山区）甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶70千米，两车在距离中点15千米处相遇。从出发到相遇时，甲、乙两车经过了多少小时？ 8．（2024•北碚区校级模拟）在500米的圆形跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米都要休息10秒。甲需要多少秒才能追上乙？ 9．（2024•莱芜区模拟）盐城与南京相距261.6千米，一辆慢车从盐城开出，每时行驶55.3千米；一辆快车从南京出发，每时行驶64.7千米；两车同时开出，相向而行． （1）估计两车在何处相遇，用“▲”在图中标出． （2）两车出发后几小时相遇？ 10．（2024•沙坪坝区校级模拟）△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD＝2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米，那么，△ABC的周长是多少米。 培优拔高强化练 11．（2024•泉山区）小龙和爸爸绕着圆形的街心花园散步。小龙走完一圈需要10分钟，爸爸走完一圈需要8分钟。如果两人同时从同一地点相背而行，第20分钟时，两人的位置关系是（　　） A． B． C． D． 12．（2024•中原区）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是270米，慢车的车长是360米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是（　　）秒。 A．9 B．10 C．11 D．12 13．（2024•渝北区）张良沿一公路徒步，速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是 　　 。 14．（2024•高新区模拟）如图，一只兔子沿着平行四边形A→B→C的方向逃跑，同时一只猎狗也从A点出发沿着A→D→C的方向追捕兔子，在E点猎狗抓住了兔子。已知兔子的速度是猎狗速度的，且CE长6米，则平行四边形的周长是 　 米。 15．（2024•三河市）毛毛设计了一款程序，如图。在网格图中，机器人A、B同时从0点向第8格匀速运行。5秒后，A运行到第二格，B运行到第8格。随后，B立即向左与A相向而行。当B遇到A后，又会立即掉头向第8格运行……一直到两个机器人同时到达第8格，两个机器人才停止运行。整个运行过程中，B一共走了 　　 格。 16．（2024•管城区模拟）小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多长时间？ 17．（2024•北碚区校级模拟）甲、乙两人在2千米环形道路的同一地点、同方向、同时出发，并要同时完成绕行2周。由于只有一辆自行车，所以最初由甲骑着出发，途中放下自行车，剩下的路步行：乙最初步行，途中骑上甲放下的自行车，行完剩下的路程。已知步行速度甲为5千米/时，乙为4千米/时，骑自行车速度甲为20千米/时，乙为15千米/时。绕完2周需要多少时间？甲骑行了多少千米将自行车放下？ 18．（2024•渝北区校级模拟）如图所示，甲从A点出发，在AD之间不断往返行走，乙从B点出发，沿着B﹣E﹣C﹣B图绕等边三角形BEC不断行走。已知AB＝80米，BE＝EC＝CB＝100米，CD＝120米，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，问：甲第一次从背后追上乙的地点离B点多少米？ 19．（2024•渝北区）如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行，他们在离A点100米的C点第一次相遇，亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇。整个过程中，两人各自的速度都保持不变，求A、B间的距离。 20．（2024•郫都区校级模拟）如图所示的是四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米。问：从出发到四人首次相遇，四人共跑了多少千米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$