精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2024-2025学年高二下学期4月阶段性调研数学试题

2025年春学期金坛一中高二年级数学学科4月阶段性调研试卷 （检测用时：120分钟本卷满分：150分） 命题人：张程 审题人：李静 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点E，使平面 B. 存在点E，使平面 C. 若点E为中点，则点C到平面的距离为 D. 二面角夹角最大时， 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 在上单调递减 C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是 三､填空题 12. 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为_________； 13. 已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 14. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是______． 四､解答题 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 17. 如图，已知平行六面体. （1）若，求的长度； （2）若，求与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）平面PAD与平面MND夹角的余弦值； （3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 19. 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）. （1）求长度与的函数关系式； （2）问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期金坛一中高二年级数学学科4月阶段性调研试卷 （检测用时：120分钟本卷满分：150分） 命题人：张程 审题人：李静 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点为. 故选：D 2. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象可知单调性，再根据图象切线斜率的变化可判断的单调性，从而得出结果. 【详解】解：由函数的图像可知： 当时，函数单调递增， 又在各点处的切线的斜率越来越大且为正， 所以，即. 故选：A 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，再计算. 【详解】因为，所以，故， 故选：D． 4. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 5. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 6. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 故选：. 7. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 二､多选题 9. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由分布列的性质、期望、方差的计算公式逐项判断即可； 【详解】由，可得， ， ， 故选：BD 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点E是棱上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点E，使平面 B. 存在点E，使平面 C. 若点E为中点，则点C到平面的距离为 D. 二面角夹角最大时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A，当位于时，此时平面，平面， 故平面，A错误， 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，， 由于，故， 设，则， 则， 要使平面，则， 解得，故存在点，当时，，结合， 平面，故平面，B正确， 对于C， 点为中点，此时， 设平面的一个法向量为， 故，， ，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确， 对于D，设平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 故，， ，令，则， 设平面的一个法向量为， 故 ，令，则， ， 显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 在上单调递减 C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况判断AB；利用函数值相等，结合极值点偏移构造函数判断C；结合函数图象，数形结合将的范围转换成复合型二次函数的值域求解判断D. 【详解】对于AB，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，，A正确，B错误； 对于C，依题意，，，则， 不等式，令 ，令， 求导得， 而当时，， 于是，函数在上单调递增，，即， 因此，又在上单调递减，则，C正确； 对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根， 则关于的方程有两个不相等的实数根，， 解得或，且，则或， 当时，，解得，与矛盾； 当时，，，整理得， 则的取值范围是，因此的取值范围是，D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为_________； 【答案】## 【解析】 【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用二项分布的概率公式可求解. 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. 13. 已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，列出方程，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以，存在，使得， 即，解得. 故. 故答案为：3 14. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解. 【详解】设，则． 由当时，，得，即，故在区间上单调递增． 又，所以，即． 因为为上的偶函数，所以， 即，计算得，所以， 解得或． 故答案为：. 四､解答题 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析,0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性； （2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题. 【小问1详解】 的定义域为R，. 若，令，得或，令，得； 若，令，得或，令，得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令， 则. 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，的极大值为， 画出函数的大致图象，如图， 由图可知， 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 17. 如图，已知平行六面体. （1）若，求的长度； （2）若，求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 由题知，又， 所以, 所以. 【小问2详解】 令，因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）平面PAD与平面MND夹角的余弦值； （3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，点E为PA中点 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理即得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面夹角的余弦值； （3）利用线面角的向量求法求解即可． 【小问1详解】 在四棱锥中，取的中点，连接，，由，分别为，的中点， ，又四边形是正方形，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，平面的一个法向量为， 设平面的法向量， 所以，令则，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 ， 假定在棱上存在一点，满足条件，令， ， 设平面的一个法向量，则，取，得， 则直线与平面所成角正弦值为， 解得，所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，点为中点． 19. 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）. （1）求长度与的函数关系式； （2）问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由. 【答案】（1），； （2）不能将9米的钢管抬过去，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意利用锐角三角函数表示出、，即可得解； （2）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即可判断. 【小问1详解】 依题意可得，， 所以，即，； 【小问2详解】 法一：因为， 又，令，解得，所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以不能将米的钢管抬过去． 法二： ， 又， 令，解得，所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以不能将米的钢管抬过去． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $