精品解析：西藏自治区林芝市察隅县中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年秋季学期九年级期中测试卷（数学） （考试时间：120 分钟 总分：120 分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于负数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 6. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，CD是的直径，，则（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．⑤ 其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么______． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 13. 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC＝8cm．AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为_____． 16. 按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________． 三、解答题（本题有10小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在中，，证明：． 20. 已知关于的一元二次方程.试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. 21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 22. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转得到的图形； （2）求的面积． 24. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 25. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 26. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秋季学期九年级期中测试卷（数学） （考试时间：120 分钟 总分：120 分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于负数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负数的概念，绝对值的化简，掌握其概念及表示的形式是关键． 根据负数的概念“正数前面添加一个负号即为负数”，绝对值的化简进行判定即可． 【详解】解：A、，既不是正数，也不是负数，不符合题意； B、是正数，不符合题意； C、是负数，符合题意； D、是正数，不符合题意； 故选：C ． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； C．此方程符合一元二次方程，符合题意； D．此方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握利用顶点的平移解决二次函数的平移问题． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，再由m为非负整数，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=（-2）2-4m＞0， 解得：m＜1， ∵m为非负整数， ∴m=0． 故选：B． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 6. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，内接于，CD是的直径，，则（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键． 8. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先得到该抛物线开口向上，且对称轴为直线，再由开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵点是二次函数的图象上两点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 9. 如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设和交于点M，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【详解】解：连接，设和交于点M， 由作图可知：垂直平分， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．⑤ 其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对①进行判断；利用抛物线开口方向及抛物线的对称轴为直线，即可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点可对③进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 当时，， 即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴，所以②结论错误； ∵由图像可得抛物线与x轴有两个交点， ∴，所以③结论正确； 抛物线与直线有一个公共点， 抛物线与直线有2个公共点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于：抛物线与轴交点个数由△决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据关于原点对称的点坐标规律可得一个关于m的一元一次方程，再解方程即可得． 【详解】关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数， 则， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标规律，熟练掌握关于原点对称的点坐标规律是解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，解方程即可得到的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 13. 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 【答案】 ①. 二 ②. 圆周角所对的弦是直径 【解析】 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC＝8cm．AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为_____． 【答案】3cm． 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，利用勾股定理可求出BC＝6，由OD⊥BC，得到BD＝DC，于是可得到BD的长度． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝8cm．AB＝10cm， ∴BC＝＝6（cm）， 又∵OD⊥BC， ∴BD＝DC， ∴BD＝×6＝3（cm）． 故答案为3cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理,能够利用垂径定理得到BD＝DC是解题关键. 16. 按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一列数可得 ， ， ， ，，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数． 【详解】解：观察一列数可知：，，，，，…， 按此规律排列下去， 这列数中的第n个数是：， 故答案为：． 【点睛】此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可． 三、解答题（本题有10小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 如图，在中，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，全等三角形的判定．先根据圆周角定理的推论得到，然后根据证明两三角形全等即可． 【详解】略 20. 已知关于的一元二次方程.试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 证明： ∵ ∴，即 ∴无论为何实数，方程都有两个不相等实根 【解析】 【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根; 【详解】略 【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根. 21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案. 【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：r＝． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键. 22. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 【答案】288m2 【解析】 【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2， 根据题意，得， ∴当x=24时，y有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288m2． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式． 23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转得到的图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，三角形的面积，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）分别作出三角形三个顶点绕原点逆时针方向旋转得到的对应点，然后再首尾顺次连接即可； （2）根据三角形的面积公式计算解题． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：三角形的面积为：， 答：三角形的面积为6． 24. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）每个模型应降价10元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型． 可获利：元． 答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元． 【小问2详解】 解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：，整理得：， 解得：， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴． 答：每个模型应降价10元． 25. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 26. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； 【小问3详解】 解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $