精品解析：2025年湖北省荆州市监利市中考模拟预测数学试题

监利市九年级中考模拟演练 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效、作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最小负数是（ ） A B. C. D. 2. 神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列算式中，结果等于a5的是（　　） A. a2+a3 B. a2•a3 C. a5÷a D. （a2）3 5. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B. 检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C. 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D. 买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则常数的值不可能为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 9. 如图，是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 10. 二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点，且，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有如下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 不等式的解集是________． 12. 长江是中华民族母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 13. 已知反比例函数（为常数，且），在每一个象限内，随的增大而增大．写出一个满足条件的的值为_______． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点，交延长线于点，则_______． 15. 如图，在四边形中，，，若，，，则的长为_______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． 18. 武汉市某校数学兴趣小组利用课余时间测量黄鹤楼的高度．方案如下：①在黄鹤楼前的平地上选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；②在点和黄鹤楼之间选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；③量出，两点之间的距离．得到测量数据：，，．参考数据：，．，分别为楼顶和楼底部的中心点，，，在同一水平面的同一条直线上．请你计算出黄鹤楼的高度（结果保留整数）． 19. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融入社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式．有关人员开展了A，B两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷，将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： A款机器人评分在这一组的具体数据是：78，74，79，75，79，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有 份，A款机器人评分的中位数为 分；扇形统计图中表示“良好”的圆心角 °； （2）对A款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有200人对B款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对B款机器人非常满意的人数； （4）根据以上绘制的统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可） 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，点B． （1）求点A的坐标和反比例函数解析式； （2）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 21. 如图，中，，，以为直径的⊙O与交于点D，过D作，垂足为E，连接． （1）判断与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 22. 某工厂生产一种环保节能灯，通过技术革新，每件节能灯的成本下降了．原生产一批节能灯的成本为6000元，现用同样的成本能比原来多生产30件．市场调查反映：该节能灯每件出厂价为50元，每月可卖出6万件．若调整价格，每件节能灯每涨价1元，每月要少卖出0.2万件． （1）原来每件节能灯的成本是多少元？ （2）若一个月销售利润为75万元且销量尽可能大，每件出厂价是多少元？ （3）为了让利销售商，该厂决定每件涨价不超过8元，一个月最大的销售利润是多少万元？ 23. 如图，在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点P，连接，，． （1）如图1，求度数； （2）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点D作垂直的延长线于点Q，连接，若，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当时，连接，点F是线段（不与点A，点P重合）上的动点，连接，作，交x轴于点G，设点G的横坐标为m，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 监利市九年级中考模拟演练 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效、作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各数中，最小的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负数的定义即可解答． 本题考查了两个负数比较大小，熟练掌握数值大的反而小， 【详解】解：∵， ∴最小的负数是． 故选：D． 2. 神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据34600用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图，直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角得出的度数，进而利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 4. 下列算式中，结果等于a5的是（　　） A. a2+a3 B. a2•a3 C. a5÷a D. （a2）3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误； B、原式=a5，所以B选项正确； C、原式=a4，所以C选项错误； D、原式=a6，所以D选项错误． 故选B． 5. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图． 根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B. 检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C. 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D. 买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，事件的分类，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：A、了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，说法不符合要求； B、检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用全面调查，说法不符合要求； C、掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，原说法正确，符合要求； D、买一张体育彩票，中一等奖是随机事件，说法不符合要求； 故选C． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 根据题意，得， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则常数的值不可能为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△=（-4）2-4c≥0，解不等式得到c的范围，然后对各选项进行判断． 【详解】根据题意得△=（-4）2-4c≥0， 解得c≤4． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 9. 如图，是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用圆内接四边形对角互补可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点，且，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有如下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意可得图象开口向上，，再根据与y轴正半轴交于点C，得，对称轴为直线，得，判断①；根据二次函数与x轴交于，两点即判断②；根据对称轴为直线即可判断③；先求，再根据对称轴得，，再由增减性即可判断④． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【详解】∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点，且，与y轴正半轴交于点C， ∴图象开口向上，， ∵与y轴正半轴交于点C， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确． ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点， ∴， ∴，故②错误． ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故③正确． ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 当时，y随x减小而增大， ∵图象与半轴交于点C， ∴当时，，故④正确． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，移项，即可得解．本题考查不等式的解法，属于基础题． 【详解】解：由可得． 故答案为：． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习， ∴则选中“荆楚文化”的概率是， 故答案：． 13. 已知反比例函数（为常数，且），在每一个象限内，随的增大而增大．写出一个满足条件的的值为_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先根据反比例函数的性质可得，再写一个符合条件的数即可． 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数（k是常数，），在其图象所在每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大， ∴， 例如： （答案不唯一，只要即可）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点，交延长线于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出，得到．此题重点考查角平分线的作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 15. 如图，在四边形中，，，若，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，交于点，过作于点，则，，故有四边形是矩形，，，然后求出，，再由等腰三角形的性质可得，再证明，则有，设，则，，求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了化简绝对值，有理数的乘方，二次根式和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简绝对值，有理数的乘方，二次根式和零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 18. 武汉市某校数学兴趣小组利用课余时间测量黄鹤楼的高度．方案如下：①在黄鹤楼前的平地上选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；②在点和黄鹤楼之间选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；③量出，两点之间的距离．得到测量数据：，，．参考数据：，．，分别为楼顶和楼底部的中心点，，，在同一水平面的同一条直线上．请你计算出黄鹤楼的高度（结果保留整数）． 【答案】黄鹤楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 设为，则为，得到，求出，得到． 【详解】解：设为，则为 ∵， ∴ 解得， ∴． 答：黄鹤楼的高度为． 19. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融入社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式．有关人员开展了A，B两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷，将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： A款机器人评分在这一组的具体数据是：78，74，79，75，79，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有 份，A款机器人评分的中位数为 分；扇形统计图中表示“良好”的圆心角 °； （2）对A款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有200人对B款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对B款机器人非常满意的人数； （4）根据以上绘制的统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】（1）40，78.5，108 （2）对A款AI机器人感到满意的人数未超过一半 （3）估计此次问卷调查活动中，对B款AI机器人非常满意的人数为20人 （4）从满意度为满意的人数看，人们更喜欢使用B款AI机器人（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，中位数，用样本估计整体，读懂条形统计图与扇形统计图是解题的关键． （1）由条形统计图可得调查A款机器人的问卷数，进而可求出本次抽取的问卷数．根据中位数的定义可求出A款机器人评分的中位数．先求出B款机器人“良好”的百分比，乘以即可求出圆心角； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）将200乘以B款机器人评分为非常满意的百分比即可解答； （4）根据条形统计图和扇形统计图分析即可． 【小问1详解】 解：∵由条形统计图可得调查A款机器人的问卷有（份）， ∴本次抽取的问卷共有（份）； ∵A款机器人评分从小到大排序后，处于第11，12个数据是78，79， ∴中位数为； ∵B款机器人“良好”的百分比为， ∴． 故答案为：40；78.5；108 【小问2详解】 解：由（1）得对A款机器人评分的中位数为78.5分， ∵78.5分分， ∴对A款AI机器人感到满意的人数未超过一半； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可得，在本次抽取的问卷中对B款机器人评分为非常满意的有， ∴（人）， 答：估计此次问卷调查活动中，对B款机器人非常满意的人数为20人； 【小问4详解】 解：从满意度为满意的人数看，人们更喜欢使用B款机器人． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，点B． （1）求点A的坐标和反比例函数解析式； （2）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． （2）求得反比例函数图象上，且到x轴的距离等于3的点的坐标，然后根据图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，， 解得， ∴点A的坐标为． 将A点坐标代入反比例函数解析式得，， 解得： ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知，反比例函数的解析式是， 当时，则；当时，， 由图象可知，若点在反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，则m的取值范围是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较典型，难度适中． 21. 如图，中，，，以为直径的⊙O与交于点D，过D作，垂足为E，连接． （1）判断与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）为⊙O的切线，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，扇形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先求出，得出，证明，进而可得出结论； （2）根据圆周角定理得出，再得出，再根据三角函数求出，证明是等边三角形，根据求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵为的直径，， 根据等腰三角形的三线合一性质得到是的中线， ∴， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴是等边三角形， 22. 某工厂生产一种环保节能灯，通过技术革新，每件节能灯的成本下降了．原生产一批节能灯的成本为6000元，现用同样的成本能比原来多生产30件．市场调查反映：该节能灯每件出厂价为50元，每月可卖出6万件．若调整价格，每件节能灯每涨价1元，每月要少卖出0.2万件． （1）原来每件节能灯的成本是多少元？ （2）若一个月销售利润为75万元且销量尽可能大，每件出厂价是多少元？ （3）为了让利销售商，该厂决定每件涨价不超过8元，一个月最大的销售利润是多少万元？ 【答案】（1）原来每件节能灯的成本是50元 （2）每件出厂价为55元 （3）每件涨价不超过8元，一个月最大的销售利润是79.2万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元二次方程，二次函数的实际应用： （1）设原来每件节能灯的成本是元，根据原生产一批节能灯的成本为6000元，现用同样的成本能比原来多生产30件，建立分式方程求解即可； （2）设每件出厂价为元，根据每件节能灯每涨价1元，每月要少卖出0.2万件，一个月销售利润为75万元，列出一元二次方程求解，结合销量尽可能大，即可解答； （3）设每件节能灯每月的利润为元，每件出厂价为元，列出和的关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设原来每件节能灯的成本是元，由题意得 ， 解得 经检验是原方程的解， 答：原来每件节能灯的成本是50元； 【小问2详解】 解：设每件出厂价为元，由题意得 化简得 解得，， ∵销量尽可能大， ∴ 答：每件出厂价为55元； 【小问3详解】 解：设每件节能灯每月的利润为元，每件出厂价为元，依题意得 ∵每件节能灯涨价不超过8元， ∴. ∵时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为79.2 答：每件涨价不超过8元，一个月最大的销售利润是79.2万元． 23. 如图，在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点P，连接，，． （1）如图1，求度数； （2）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点D作垂直的延长线于点Q，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用这些性质进行角度和线段关系的推导． （1）利用四边形是正方形得到，，旋转得到，通过等腰三角形的性质求出相关角度； （2）通过作辅助线过点作于点，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出，再由线段的关系得到； （3）借助正方形性质和前面得出的，通过判定和性质求出所求线段的长度． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图2，过点作于点． ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 【小问3详解】 如图3，连接． ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵由（1）知， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴，即， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当时，连接，点F是线段（不与点A，点P重合）上的动点，连接，作，交x轴于点G，设点G的横坐标为m，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求解即可． （2）由（1）知，得，，当时，则得到轴，设，则，当时，则，解得，代入即可得解． （3）延长交轴于点，证，得到，设，，则，得当时，的最大值为，即有最大值，即可得解． 【小问1详解】 在中，令，得，令，得，， ∴，， 设直线的解析式为.把，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 如图，由（1）知， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 当时，则， ∴，此时轴， 设，则， ∴，， 当时，则， 解得（舍去），， 当时，， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 如图，延长交轴于点. 由（2）知点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则； ∴； ∴， ∴当时，的最大值为，即有最大值， ∵， ∴的最大值为， 又点在线段上， ∴点横坐标的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$