12.1 定义与命题 同步练习 2024—2025学年苏科版数学七年级下册

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )12.1 定义与命题 第一课时：命题与定理 1．（2025春•禅城区校级月考）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……” 句式为　 　． 2．（2024秋•叶县期末）把“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，应该是 　 　． 3．（2024秋•宁波期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是　 　． 4．（2024秋•盐田区期末）说明命题“a2是正数”是假命题的反例是　 　． 5．（2024秋•松江区期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题 是 　 　． 6．（2024秋•澧县期末）“如果m,n互为倒数，那么mn=1”的逆命题是 （填 “真”或“假”）命题． 7．（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2=180°，②∠3=∠A，③∠B=∠C，三个条件中 选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证， 并证明． 如图，已知 ，求证： ．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 8．（2024秋•思明区校级期末）对于任意有理数a,b,规定一种特别的运算“⊕”：a⊕b=a-b+ab. 例如，2⊕5=2-5+2×5=7． （1）求3⊕（-1）的值； （2）若（-4）⊕x=6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“⊕”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有， 请举一个反例说明． 9．已知：如图，△ABC中，点D、E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长． 交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF＝∠F，三个条件中 选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：　 　，结论：　 　．（填序号） 证明：． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第二课时：条件与结论 1．（2024春•郾城区期中）已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题． （1）如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时． ①填空：图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程．③请用“如果…，那么…”的形式把上述结 论表述出来： （2）当DE⊥AB，EF⊥BC，且∠DEF比∠ABC的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 2．（2024春•滑县期中）如图，现有下面三个条件：AB⊥BC，CD⊥BC；BE∥CF；∠1=∠2． （1）请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果… 那么…”的形式） （2）对（1）中的命题进行求证． ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )3．（2024秋•六安期中）如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③AB∥CD．请你从 中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 4．发现：如图，∠AOB内有一点P：过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点 D；根据所画图形试说明：∠O与∠CPD的数量关系； 验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： ∵PC∥OB ∴∠O＝　 　（ 　 　） ∵PD∥OA ∴∠CPD＝　 　 ∴∠O＝∠CPD 探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为 该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成 立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图， 试判断此时∠B与∠D的数量关系，并说明理由． 归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角 　 　． 第一课时：命题与定理 参考答案 1.解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行， 故答案为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行 2.解：如果两个角是等角的余角，那么它们相等． 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么它们相等． 3.解：∵原命题条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 4.解：当a=0时，02=0，能说明命题“a2是正数”是假命题， 故答案为：a=0． 5.解：命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 6.解：命题“如果m,n互为倒数，那么mn=1”的逆命题是“如果mn=1，那么m,n互为倒数”，逆命题是真命题； 故答案为：真． 7.答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF， ∴∠3=∠D， ∵∠3=∠A， ∴∠A=∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B=∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF， ∴∠3=∠D， ∵∠B=∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∴∠3=∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B=∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∵∠3=∠A， ∴∠3=∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2=180°． 8.解：（1）3⊕（-1）=3-（-1）+3×（-1）=3+1-3=1； （2）（-4）⊕x=6，则-4-x-4x=6， 解得：x=-2； （3）这种特别的运算“⊕”不具有交换律， 例如：2⊕5=2-5+2×5=7， 5⊕2=5-2+5×2=13， ∴2⊕5≠2⊕5， ∴这种特别的运算“⊕”不具有交换律． 9．解：条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF＝∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF＝∠BAD，∠F＝∠DAC， ∴∠AGF＝∠F， 故答案为：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F． 第二课时：条件与结论 参考答案 解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC=∠DEF； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC+∠DEF=180°； 故答案为：∠ABC=∠DEF，∠ABC+∠DEF=180°； ②选择图1：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠BPE（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE=∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC=∠DEF（等量代换）； 选择图2：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠BPE（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC+∠DEF=180°， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；故答案为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当∠DEF与∠ABC如下图所示时， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE=∠BHE=90°， ∴∠ABC+∠DEF=180°， ∵∠DEF比∠ABC的2倍少30°， ∴∠DEF=2∠ABC-30°， 则∠ABC+2∠ABC-30=180°， ∴∠ABC=70°， 则∠DEF=2×70°-30°=110°， 当∠DEF与∠ABC如下图所示时， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE=∠BHO=90°， ∵∠EOG=∠BOH ∴∠ABC=∠DEF， 又∵∠DEF=2∠ABC-30°， ∴∠ABC=2∠ABC-30°， ∴∠ABC=30°，则∠DEF=2×30°-30°=30°， 综上：∠ABC=70°，∠DEF=110°或∠ABC=∠DEF=30°． 2.（1）解：如果AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF，那么∠1=∠2； （2）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， 又∵BE∥CF， ∴∠EBC=∠FCB， ∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB，即∠1=∠2． 3.解：从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明如下： 第一种情况：已知：∠1=∠2，∠B=∠C，求证：AB∥CD， 证明：如图， ∵∠1=∠3，∠1=∠2， ∴∠3=∠2，∴EC∥BF， ∴∠AEC=∠B， 又∵∠B=∠C， ∴∠AEC=∠C， ∴AB∥CD； 第二种情况：已知：∠1=∠2，AB∥CD，求证：∠B=∠C， 证明：如图， ∵∠1=∠3，∠1=∠2， ∴∠3=∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC=∠B， ∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠C， ∴∠B=∠C； 第三种情况：已知：∠B=∠C，AB∥CD，求证：∠1=∠2， 证明：如图， ∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠AEC=∠B， ∴EC∥BF， ∴∠3=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2． 4．解：验证：如图， ∵PC∥OB， ∴∠O＝∠ACP（两直线平行，同位角相等）， ∵PD∥OA， ∴∠CPD＝∠ACP（两直线平行，内错角相等）， ∴∠O＝∠CPD． 故答案为：∠ACP；两直线平行，同位角相等；∠ACP； 探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由： 如图1， ∵DF∥BC， ∴∠D＝∠CGE． ∵DE∥BA， ∴∠B＝∠CGE， ∴∠D＝∠B． ∴两边分别平行的两个角相等； 如图2， ∵DF∥BC， ∴∠D＝∠DGB． ∵DE∥BA， ∴∠B+∠DGB＝180°， ∴∠D+∠B＝180°． ∴两边分别平行的两个角互补， 综上，两边分别平行的两个角相等或互补． 故答案为：相等或互补． 学科网（北京）股份有限公司 $$