精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是5 B. 在地面上向空中抛掷一块石块，石块终将落下 C. 任意画一个五边形，其外角和是 D. 一个标准大气压下，加热到时，水沸腾 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生的是必然事件，据此即可求解， 【详解】解：．掷一次骰子，向上一面的点数是5是随机事件，故该选项符合题意； ．在地面上向空中抛掷一块石块，石块终将落下是必然事件，故该选项不符合题意； ．任意画一个五边形，其外角和是是必然事件，故该选项不符合题意； ． 一个标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数(件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售1500件衬衣，则其中次品最接近( )件. A. 100 B. 150 C. 200 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据频数表计算出每次的合格频率，然后估计出任抽一件衬衣的合格频率，从而可得任抽一件衬衣的次品频率，再乘以1500即可得. 【详解】由依次算得各个频率为： 则任抽一件衬衣的合格频率约为 因此任抽一件衬衣的次品频率为 所求的次品大概有（件） 故选：B. 【点睛】本题考查了概率估计的方法，理解频数和频率的定义是解题关键. 3. 一个样本有20个数据，其中最小值为61，最大值为70，若取组距为2，则可分为（　　） A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 【答案】A 【解析】 【分析】先计算这组数据的极差，再根据组数=极差÷组距，进行计算即可． 【详解】解：最小值为61，最大值为70，即极差是，则组数是（组）． 故选：A． 【点睛】本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数是解题的关键． 4. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 5. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对的方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画图分析．如图，完成一次指令[2，60°]后，所在位置为P点．作PQ⊥y轴于Q点．解直角三角形OPQ求PQ、OQ的长度，根据P所在象限确定其坐标． 【详解】如图所示，点P为完成指令后位置， 作PQ⊥y轴于Q点， ∵OP=2，∠POQ=60°， ∴OQ=1，PQ=， ∴P（-，-1）． 故选D. 【点睛】应理解运动指令的含义，第三象限点的符号为（-，-），运用旋转的知识解答． 6. 如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接，以下结论： ①垂直平分；②平分；③；④四边形是中心对称图形．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接， ∴是线段的垂直平分线，即垂直平分， ∴故结论①正确； ②以点为圆心画弧可得，，以点为圆心画弧可得，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故结论②正确； 根据作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是中心对称图形，故结论④正确； 当时，菱形是正方形，则， ∵结论③缺少条件，故结论③错误； 综上所述，正确的有， 故选：． 【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 7. 下列图案中，不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心对称图形的性质，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而判断得出即可． 【详解】A、是中心对称图形，故A选项错误； B、不是中心对称图形，故B选项正确； C、是中心对称图形，故C选项不正确； D、是中心对称图形，故D选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点顺时针旋转，则点A的对应点坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，然后确定点A与对应点B的位置，再写出坐标即可． 【详解】解：如图，依题意，点A的对应点为， 故选：C． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化—旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 抽样调查的定义： 从总体中抽取部分______进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个______． 【答案】 ①. 个体 ②. 样本 【解析】 10. 在平面直角坐标系中，点和点Q关于原点对称，则Q点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， ∴Q点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键． 11. 如图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，涉及三角形中位线的判定与性质，根据题意，判定是的中位线，利用中位线的性质即可得到答案，熟记三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：是的中点， 是的中位线， ，即之间的距离是， 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝_________． 【答案】14°． 【解析】 【分析】根据折叠的性质即可得到AD=PD=BD，由直角三角形斜边上的中线可得CD=AB=AD=BD，根据等边对等角得∠ACD=∠A=38°，∠BCD=∠B=52°，即可得出∠BCP=2∠BCD=104°，即可得出∠ACP=104 -90°=14°． 【详解】解：由折叠可得，AD=PD=BD，∠BCD=∠PCD， ∴D是AB的中点， ∴CD=AB=AD=BD， ∴∠ACD=∠A=38°，∠BCD=∠B=90°-38°=52°， ∴∠BCP=2∠BCD=104°， ∴∠ACP=104°-90°=14°， 故答案为：14°． 【点睛】本题考查折叠的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 13. 如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________． 【答案】17 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵BD⊥CD，BD=8，CD=6， ∴． ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH=FG=AD，EF=GH=BC． ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC． 又∵AD=7， ∴四边形EFGH的周长=10+7=17． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 14. 如图，小明将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕交于O点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，再根据将点C翻折到上的点G处，折痕交于O点，得出，从而得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：将长方形纸片对折后展开，折痕为， ， ， ， 再将点C翻折到上的点G处，折痕交于O点， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理、含的直角三角形的性质，解题的关键是掌握折叠的性质． 15. 如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，连接、交于点，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，设，根据题意计算出得长，计算即可. 【详解】∵，， ∴，， 取的中点M，取的中点N，连接， ∵点为的中点， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 16. 如图，矩形中，平分，则等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用角平分线的性质及矩形的性质，证明，则，由勾股定理求得；设，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．证明三角形全等，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标为____． 【答案】（1，2）． 【解析】 【分析】根据题意，画出图形即可解决问题． 【详解】如图，观察图象可知，P'（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 18. 四边形不具有稳定性．如图，面积为25的正方形变成面积为20的菱形后，则的长为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意延长，与交于，作于，得出四边形GBHF为矩形，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：延长，与交于，作于． 由面积为25的正方形可得， 面积为20的菱形可得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练掌握正方形、矩形和菱形的性质以及运用勾股定理求解是解题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）线段的长度为______． 【答案】（1）如图见解析，，；（2）如图见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题； （2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，2），C1（3，-1）． （2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示． （3）AA1=． 【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型． 21. 已知：如图所示，中，．以B为中心，将绕点B逆时针旋转得到，求的度数． 解：∵中，， ∴°． ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴ ． ∴． 【答案】55；，；，55 【解析】 【分析】由旋转的定义，，与是对应角，通过计算得出结论． 【详解】解：∵中，， ∴°． ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴ ． ∴． 故答案为：55；，；，55 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 22. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形． （1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可） （2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上，并求出菱形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）利用轴对称图形的特点画出符合条件的图形即可； （2）根据菱形的性质画出符合条件的图形，画以AB为边的菱形ABDE，连接，根据菱形的性质以及等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 如图所示，等腰三角形ABC，即为所求， 【小问2详解】 如图所示，菱形ABDE，即为所求， 连接AD，边长为1的小等边三角形构成的网格 是等边三角形， ， 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，轴对称图形、中心对称图形的特点，菱形的性质，熟练掌握特殊三角形与四边形的性质才能准确画出符合条件的图形． 23. 学生甲与乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：甲手中有 、、 三张扑克牌，乙手中有 、、 三张扑克牌，每局比赛时，两人从各自手中随机取一张牌进行比较，数字大的则本局获胜． （1）若每人随机取出手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）求学生乙一局比赛获胜的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)根据题意可以写出所有的可能性； (2)根据(1)中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题． 【详解】解：(1)由题意可得，每人随机取出手中的一张牌进行比较的所有情况是： ，，，，，，，，． (2)由()知共有9种等可能的情况，学生乙获胜的情况有：，，， 所以学生乙一局比赛获胜的概率是：． 故答案为(1)见解析；(2)． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形，如图． 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． 【小问3详解】 解：．证明如下： 过点C作交延长线于点H． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 25. 已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E． （1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长； （2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系． 【答案】（1）4 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式以为底，为高得出，进而利用勾股定理得出即可． （2）延长，过A作，利用平行四边形的性质可得解答即可． 【小问1详解】 解：（1），的面积为9，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 的长为4． 【小问2详解】 （2）线段，，的数量关系为：， 延长，过作，AO与BD的延长线交于点O，如图所示， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵是 的中点， ∴延长 肯定可以过点点， ∴， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型． 26. 如图，为锐角三角形． （1）用无刻度的直尺和圆规在所在直线的右上方找一点D，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角及垂直平分线，平行四边形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握基本的作图方法随机解题关键． （1）根据题意作，然后作的垂直平分线交于点D即可； （2）根据题意作出图形，然后根据平行四边形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图，点D为所求． 【小问2详解】 证明：如图所示： ∵， ∴． 又∵， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴． 27. 中，，以点为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点． （1）如图1，若，的度数为________； （2）如图2，当时， ①依题意补全图2； ②猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）120° （2）①图形见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出结论． 【小问1详解】 （1）如图1， 在Rt△ABC中，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， 由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB， ∴点E在边AB上， ∵AD=AB，AE=AC， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°， 故答案为120°； 【小问2详解】 （2）①依题意补全图形如图2所示， ②如图2，连接AF， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠EAD=∠CAB， ∵AD=AB，AE=AC， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠AED=∠C=90°， ∴∠AEF=90°， ∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)， ∴∠EAF=∠CAF， ∴∠CAF=∠CAE=30°， 在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2， ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是5 B. 在地面上向空中抛掷一块石块，石块终将落下 C. 任意画一个五边形，其外角和是 D. 一个标准大气压下，加热到时，水沸腾 2. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数(件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售1500件衬衣，则其中次品最接近( )件. A. 100 B. 150 C. 200 D. 240 3. 一个样本有20个数据，其中最小值为61，最大值为70，若取组距为2，则可分为（　　） A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 4. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对的方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为(　 　) A. B. C. D. 6. 如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接，以下结论： ①垂直平分；②平分；③；④四边形是中心对称图形．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 7. 下列图案中，不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点顺时针旋转，则点A的对应点坐标为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 抽样调查的定义： 从总体中抽取部分______进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个______． 10. 在平面直角坐标系中，点和点Q关于原点对称，则Q点的坐标为__________. 11. 如图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是____． 12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝_________． 13. 如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________． 14. 如图，小明将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕交于O点，若，则______． 15. 如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，连接、交于点，若，则____. 16. 如图，矩形中，平分，则等于_____． 17. 在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P'的坐标为____． 18. 四边形不具有稳定性．如图，面积为25的正方形变成面积为20的菱形后，则的长为 __________． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 20. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）线段的长度为______． 21. 已知：如图所示，中，．以B为中心，将绕点B逆时针旋转得到，求的度数． 解：∵中，， ∴°． ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴ ． ∴． 22. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形． （1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可） （2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上，并求出菱形ABCD的面积． 23. 学生甲与乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：甲手中有 、、 三张扑克牌，乙手中有 、、 三张扑克牌，每局比赛时，两人从各自手中随机取一张牌进行比较，数字大的则本局获胜． （1）若每人随机取出手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）求学生乙一局比赛获胜的概率． 24. 如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25. 已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E． （1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长； （2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系． 26. 如图，为锐角三角形． （1）用无刻度的直尺和圆规在所在直线的右上方找一点D，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E．求证：． 27. 中，，以点为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点． （1）如图1，若，的度数为________； （2）如图2，当时， ①依题意补全图2； ②猜想与的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $