专题07 相似三角形（5大题型解题攻略精讲精练+中考练场）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题07 相似三角形 目录 热点题型归纳 题型01 平行线分线段成比例 1 题型02 相似三角形的判定 6 题型03 相似三角形的性质 11 题型04 相似三角形的应用 13 题型05 相似三角形综合题 18 中考练场 31 1.考查分值：30-38分。 2.考查题型：基础题常以填空形式出现；中档题常以证明题形式出现；综合题以解答题（压轴）形式出现，常与二次函数、圆等相结合考查。 3.能力要求：相似三角形通常会关注于对判定定理和性质的理解和应用,以及对相似比和对应元素比例的理解和计算。考生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活运用它们来解决实际问题。同时，还需要注意对题目中给出的条件进行仔细分析，以确定哪些条件可以用于判定三角形相似，以及如何利用这些条件来求解问题。 题型01 平行线分线段成比例 【提分秘籍】 定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【典例分析】 【例1-1】（2025·上海·模拟预测）如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 【例1-2】（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求四边形的周长． 【例1-3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【例1-4】（2024·上海松江·二模）如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【变式演练】 1．（2025·上海·模拟预测）中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·上海·模拟预测）如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 3．（2025·上海·模拟预测）中，G为重心．过点G作，分别交边与于点D，E．设，，则用与来表示为 ． 4．（2024·上海闵行·二模）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为 ． 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 6．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 7．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 8．（2024·上海奉贤·二模）如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 9．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． (1)当是等腰三角形时，求：的余弦值； (2)当时，求：边的长． 题型02 相似三角形的判定 【提分秘籍】 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【典例分析】 【例2-1】（2023·上海徐汇·一模）如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【例2-2】（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【变式演练】 1．（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 2．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A．B．C． D． 3．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·上海杨浦·一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·上海金山·二模）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，联结、． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，联结交于点，若，求证：． 6．（2023·上海金山·一模）如图，已知在四边形中，是对角线，． (1)求证：； (2)求的长． 7．（2023·上海嘉定·一模）如图，已知点在△的外部，，点在边上，． (1)求证：； (2)在边取一点，如果，，求证：． 题型03 相似三角形的性质 【提分秘籍】 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 【典例分析】 【例3-1】（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【例3-2】（2023•崇明区一模）如图，在梯形中，，，，则　 　． 【例3-3】（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【变式演练】 1．（2025·上海徐汇·一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 2．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形中，是边上的一点，射线和的延长线交于点，如果，那么　 　． 3．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 4．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 题型04 相似三角形的应用 【提分秘籍】 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【典例分析】 【例4-1】（2025·上海嘉定·一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 【例4-2】（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【例4-3】（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【变式演练】 1．（2023·上海黄浦·一模）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    2．（2025·上海金山·一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 3．（2023·上海徐汇·一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 4．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 5．（2023·上海嘉定·模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度． 下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 题型05相似三角形综合题 【典例分析】 【例5-1】（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【例5-2】（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【例5-3】（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 【例5-4】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【例5-5】（2024·上海·三模）在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上． (1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长； (2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形； (3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由 【变式演练】 1．（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 2．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 3．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）在中，，，点是射线上一点（点不与点、重合），连接，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，直线交直线于点．． (1)如图1，当点在边上时，，求：此时半径的长 (2)当点在边上时，如图，设，，求：与之间的函数解析式，并写出其定义域； (3)连接，若是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 5．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． (1)若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； (2)如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； (3)连接，若和全等，求的长． 6．（2024·上海金山·三模）已知：以为直径的中，弦，垂足为，，． (1)如图，求的周长； (2)如图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系． 7．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，是的直径，是的弦且与交于点E（E不与O重合），，点F在弧上，连接交于点H，交于点G． (1)如图1，设为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，过点B作于点N，交于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点Q，连接并延长交的延长线于点P，若，，，请直接写出的值． 8．（2024·上海黄浦·三模）如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点． (1)当点是线段中点时，求的值； (2)当时， ①如果，求的长； ②连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长． 9．（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求M的表达式和P点的坐标； (2)沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 10．（2025·上海·模拟预测）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 11．（2024·上海·三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 二、解答题 3．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 5．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 6．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 7．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 8．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 9．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形 目录 热点题型归纳 题型01 平行线分线段成比例 1 题型02 相似三角形的判定 23 题型03 相似三角形的性质 35 题型04 相似三角形的应用 43 题型05 相似三角形综合题 56 中考练场 124 1.考查分值：30-38分。 2.考查题型：基础题常以填空形式出现；中档题常以证明题形式出现；综合题以解答题（压轴）形式出现，常与二次函数、圆等相结合考查。 3.能力要求：相似三角形通常会关注于对判定定理和性质的理解和应用,以及对相似比和对应元素比例的理解和计算。考生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活运用它们来解决实际问题。同时，还需要注意对题目中给出的条件进行仔细分析，以确定哪些条件可以用于判定三角形相似，以及如何利用这些条件来求解问题。 题型01 平行线分线段成比例 【提分秘籍】 定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【典例分析】 【例1-1】（2025·上海·模拟预测）如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，，，设，则，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，得到，继而得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】解：平行四边形中，， 点是边的三等分点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例1-2】（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求四边形的周长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握定理是解题的关键． (1)利用平行线分线段成比例定理，列式计算即可． (2)先证明，再利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，列式计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，． ∴． 解得． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． 解得． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为． 【例1-3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 【例1-4】（2024·上海松江·二模）如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． （1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【详解】（1）连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵是与的公共弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）过作于E，过作于F，如图： ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，， ∴， ∴． 【变式演练】 1．（2025·上海·模拟预测）中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项跑的即可． 【详解】解∶A． ， ， ， ， ， 故该选项符合题意； B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意； C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意； D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·上海·模拟预测）如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例求出，再计算的长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ， ． 故答案为：20． 3．（2025·上海·模拟预测）中，G为重心．过点G作，分别交边与于点D，E．设，，则用与来表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、向量的线性运算、全等三角形判定和性质等知识．连接并延长交于点F，延长到点H，使得，则，证明，，求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接并延长交于点F，延长到点H，使得，则 ∵， ∴， ∵G为重心． ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（2024·上海闵行·二模）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明，再证明，则，证明，则， 设，则，得到（负值舍去），进一步得到，则，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点H， ∴， ∵上的中线相交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，再由，得，结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结， ∴， ∵点是边的中点，即， ∴，则为的中点，即， ∴，， ∵为点关于的对称点， ∴，且，， 则， ∴，则， ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质，作于，作的垂直平分线交于E，交于，解直角三角形得出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：作于，作的垂直平分线交于E，交于， ， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质， （1）根据平行四边形的性质和中点得到是平行四边形，有，则有和，即可得到结论． （2）由正方形的性质得到，，结合中点，则有，进一步可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，即， 同理，即， ． （2）如图， 由（1）知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即． 8．（2024·上海奉贤·二模）如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先证明得，再证明，得，从而得出，即可由比例的性质得出结论． （2）由平行线分线段使得，即 ，由（1）知，从而得，即可得出，再证明，得出，，从而得出，可由菱形的判定得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：如图， ∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ ∵∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键． 9．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． (1)当是等腰三角形时，求：的余弦值； (2)当时，求：边的长． 【答案】(1)或； (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、余弦函数、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，先证明可得，进而得到、，然后再分、、三种情况求解即可； （2）如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则，再说明，即；设， 由勾股定理可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时， ∴，即D和A重合，不符合题意． 综上，的余弦值为或． （2）解：如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， 利用勾股定理可得：， ∴，解得：， ∴，即 ∴． 题型02 相似三角形的判定 【提分秘籍】 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【典例分析】 【例2-1】（2023·上海徐汇·一模）如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【答案】C 【分析】中，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【详解】解：由题意可得，中，，， ． A、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； B、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； C、中，，，， ∵， ∴， 即与相似，故本选项符合题意； D、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似． 【例2-2】（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 1．（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键． 根据相似图形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意； B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意； C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意； D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又， 四边形四边形． 故选：D． 3．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 4．（2023·上海杨浦·一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D． 【详解】∵，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 5．（2023·上海金山·二模）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，联结、． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，联结交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）将等积式化为比例式，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似得到，即，进而得到进行证明． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴ ∴ 又 ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2023·上海金山·一模）如图，已知在四边形中，是对角线，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易知，由，可知，即可证明结论； （2）由，可列比例式，即，进而求得，再由勾股定理即可的长度． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 即， ∵，， ∴（负值舍去）， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握证明两个三角形相似的方法是解决问题的关键． 7．（2023·上海嘉定·一模）如图，已知点在△的外部，，点在边上，． (1)求证：； (2)在边取一点，如果，，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）由，可得，再根据，推出，即可解决问题； 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴． （2）由（1）得 ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型03 相似三角形的性质 【提分秘籍】 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 【典例分析】 【例3-1】（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 【例3-2】（2023•崇明区一模）如图，在梯形中，，，，则　 　． 【分析】根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到，再根据锐角三角函数即可求得的值，从而可以求得的值． 【解答】解：，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例3-3】（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【分析】（1）由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到、，再利用相似三角形的性质得结论； （2）利用“两角对应相等”先说明，再利用等腰三角形的三线合一说明，最后利用菱形的判定方法得结论． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ，． ，． ． ． （2）， ． ， ． ， ． ，即． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，即． 平行四边形是菱形． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键． 【变式演练】 1．（2025·上海徐汇·一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据与的相似比为，即，再结合与的相似比为，所以，即，即可作答． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴， ∵与的相似比为， ∴， 即， ∵， ∴与的相似比为， 故选：B． 2．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形中，是边上的一点，射线和的延长线交于点，如果，那么　 　． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到的值，从而可以得到的值． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 4．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 题型04 相似三角形的应用 【提分秘籍】 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【典例分析】 【例4-1】（2025·上海嘉定·一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 【例4-2】（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 【例4-3】（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【答案】(1) (2)入射角的度数为 (3) 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； （2）解：如图所示，作于，使得， 同理可得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则入射角为； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式演练】 1．（2023·上海黄浦·一模）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 2．（2025·上海金山·一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 过点O作于点C，延长交于点，再证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． 3．（2023·上海徐汇·一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 【答案】// 【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． 4．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 5．（2023·上海嘉定·模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度． 下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)m 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用 （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可 【详解】（1）解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴塔的高度为米． 题型05相似三角形综合题 【典例分析】 【例5-1】（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 【例5-2】（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 【例5-3】（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，二次函数的应用、解直角三角形，涉及扇形面积公式以及几何图形中的面积计算与最值问题．熟知与圆有关的性质和解直角三角形的相关知识是正确解题的关键． （1）根据已知条件确定扇形的半径和圆心角，然后运用扇形面积公式求解． （2）建立清洁板能够清洁的面积关于k的函数表达式，再通过求函数最值来判断是否存在满足条件的k值． 【详解】（1）解：作于， 中，， ，， 矩形中，， ， ， ； （2）解：存在这样的，设． 则， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 即，， 在时，应取最大值100． （此时最大，也最大）． 代入得，． 此时，．符合题意． 【例5-4】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴； （2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解； ②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【例5-5】（2024·上海·三模）在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上． (1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长； (2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形； (3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)点在圆上，理由见解析 【分析】（1）如图1中，设正方形的边长为x，利用相似三角形的对应高的比等于相似比构建方程即可解决问题； （2）利用平行线分线段成比例定理证明，再证明四边形是平行四边形即可解决问题； （3）设，，则，，可得，推出，推出，推出，再证明可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，设正方形的边长为x． ∵， ∴，     ∴ ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为3． （2）证明：如图2中， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）证明：如图3中， 在中， ∵， ∴设，，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 取的中点，连接，则：， ∴点R在以为直径的圆上． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，正切，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于压轴题． 【变式演练】 1．（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴，， ∴； （2）解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 3．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得，，即可解答； （3）过点作，交于点，与交于点，通过得到，设，，，即有，证明，可表示出，从而表示出和，进而表示出和，易证，可得，进而得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，与交于点， 平分， ， ， ，， 又， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ． 【点睛】本题是相似的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）在中，，，点是射线上一点（点不与点、重合），连接，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，直线交直线于点．． (1)如图1，当点在边上时，，求：此时半径的长 (2)当点在边上时，如图，设，，求：与之间的函数解析式，并写出其定义域； (3)连接，若是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先通过证明得出，则，然后利用三角函数和勾股定理求出； （2）设，然后用表示线段与，再利用，得到所求的函数关系式； （3）分两种情况进行讨论：①当；②当；然后利用三角形相似的性质求解． 【详解】（1）解：如图1，分别过点、作，垂足分别为、． ， ，， ， ， ， ， 又， ，又， ， ， 即， ， ， ， ． （2）解：设，则， ， ， ，， ， 即， 与之间的函数解析式为：． （3）解：如图3，连接， 是以为腰的等腰三角有形，分两种情况： ①当时，， 故点与点重合，点与点重合， 故不符合题意； ②当时， ∴， ∴， ， ， ， 又由（1）知：， ， （负值舍去）， ． 【点睛】此题是一道几何与函数的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并运用三角形相似的判定与性质是解此题的关键． 5．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中 ， ，正方形的顶点、在线段上，在边上．在边上取一点，使 ． (1)若点为的重心，直接写出点和射线的位置关系，并求的长； (2)如图1，若为正三角形，且 ，求正方形的边长； (3)连接，若和全等，求的长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为 (3) 【分析】（1）根据重心的性质，三线合一的性质，正方形的性质可得，可得在射线上，设，则，．则，证明，在中， ，即可求解； （2）延长交于，作于证明，，，设正方形边长为根据相似三角形的性质得出，根据，即可求解． （3）延长交于根据得出，进而求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在射线上，理由如下： ，为的重心， 在的中线上， ∴， 又∵四边形是正方形，则， 在射线上， 为的重心， ， 四边形是正方形， ， 设，则，， ， ，，，，， ， ， 为等腰三角形的中线， ， 又， 可证得， 在中，， 解得； （2）延长交于，作于， 在与中， ，， ， ， 设，， 三角形为等边三角形， ，，， 则，，， ， ， ， ， 又， ， 设正方形边长为， 则，， ∴， ∴， ∴，化简得， 则， ∴，， ∴， 解得， 即正方形的边长为； （3）延长交于， ， ，， 可得， ， 可得， 设，，， 则，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2024·上海金山·三模）已知：以为直径的中，弦，垂足为，，． (1)如图，求的周长； (2)如图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系． 【答案】(1) (2)（） (3)，以为直径的圆与直线的位置关系为相交 【分析】（1）连接，设，则，根据垂径定理，得，利用勾股定理，得，求得x，继而计算的周长． （2）根据，得到，结合为半径的中点，得到，继而得到，，根据，利用弧长公式计算解答即可． （3）当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G，证明四边形是矩形，，设，结合，得到，利用勾股定理，得，即得；当点P在上时，同理可证． 【详解】（1）解：如图，连接，设，则， 根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 解得 ∴的周长为． （2）解：∵， ∴， ∵为半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（1）得，， ∴当P与D重合时，， ∴是等边三角形， ∴ ∴． 故，且． （3）解：当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵为半径的中点， ∴， ∴, ∴，； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴； 过点M作于点K， 根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，得， 故满足， ∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交． 同理可证，当点P在上时，结论不变，且依然成立． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系是解题的关键． 7．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，是的直径，是的弦且与交于点E（E不与O重合），，点F在弧上，连接交于点H，交于点G． (1)如图1，设为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，过点B作于点N，交于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点Q，连接并延长交的延长线于点P，若，，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接，利用垂径定理证明，推出，再根据圆周角定理得到，设的半径为，设为x，为y，则，则，在中，，求得，则，，即可得到，再根据是的弦且与交于点E（E不与O重合）得到； （2）连接，在上截取，连接，在上截取，连接．证明即可解决问题； （3）如图3中，由可设，，由是重心知， ，求出a值，过点H作于S，过A作于K，求出，从而得出，设，在中，求出t值，得到和，设，在中，利用勾股定理求出m，根据同弧所对圆周角相等得出，在中，求出值，进一步求出的值．. 【详解】（1）证明：如图1中，连接，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设的半径为，设为x，为y， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴ ∵是的弦且与交于点E（E不与O重合）， ∴，即， ∴ （2）如图2中，连接，在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3中，连接． ， 设，，     由题意知点是重心， ，， 连接， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ，，， 在中，由勾股定理得， 即 可得， ∴，，，， ∴ 过点H作于S，过A作于K， 则， ∴，， ， 设， ∴， 在中，， 解得：或（舍）， ， ∴， 设，则， 在中，， 解得：或36（舍）， ∴， ， ∵， ∴， 在中，，， ． ∴ 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题． 8．（2024·上海黄浦·三模）如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点． (1)当点是线段中点时，求的值； (2)当时， ①如果，求的长； ②连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得，，利用勾股定理可求出，即可求解； （）延长交圆于点，连接，可证，得到，据此即可求解；分三种情况讨论：，和，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵点是线段中点时， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴； （2）解：延长交圆于点，连接，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 如图，分三种情况讨论： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴， 即， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由（）知， ∴， 即， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，不合题意，故此种情况不存在； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求M的表达式和P点的坐标； (2)沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 【答案】(1)抛物线，顶点坐标 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）①据抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线；设，得，得点，利用平移确定新抛物线的解析式为．代入计算验证即可． ②利用待定系数法，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：把点和点代入解析式得： ， 解得； 故抛物线M的表达式为． 配方，得， 故抛物线顶点坐标为． （2）① 解：由抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线； 根据题意，设，得， 解得， 故点． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，设， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， 当时，， 故点在抛物线上． ② 解：连接，交射线于点E； 由点和点，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上即在抛物线的对称轴直线， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点式，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，正切函数的应用，熟练掌握待定系数法，平移，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 10．（2025·上海·模拟预测）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作交延长线于点，连接，在和中利用正切的定义得到和，得出点是的中点，通过证明得到，，得到，进而推出，得到，利用正切的定义求出，最后证明即可求解； （2）①方法一：作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接，利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，结合，分析可知即为所求；②方法二：在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接，利用等腰直角三角形的性质与判定得到，利用利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，分析可知即为所求． 【详解】（1）证明：如图，作交延长线于点，连接， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 点是的中点，即， ，， ， ，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ． （2）解：①方法一： 如图，作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求； ②方法二： 如图，在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 且， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相似三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，利用尺规正确作图是解题的关键．本题属于几何的复杂作图题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 11．（2024·上海·三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）如图所示，作于点，于点，设与，交于点，根据梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质可计算出出点运动时，点的位置，可得,结合锐角三角函数的计算方法，，然后进行分类讨论：当时；当时；当时；当；图形结合，根据梯形面积的计算方法，直角三角形面积的计算方法列式求解即可； （2）根据题意可得，由（1）可知，，且，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；第三种情况，当时；根据等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作于点，于点，设与，交于点，    ∴四边形是矩形， ∴，， ∵梯形中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴当时，点和点重合， 第一种情况，当时，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； 当正方形的边恰好经过点时，点于点重合，则此时，如图所示，    ∴，， ∴，即秒时点与点重合， 第二种情况，当时，，如图所示，    ∴由上述证明可得，， ∴， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∵， ∴， 第三种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∴， 第四种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴ ； 综上所述，与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围为 ； （2）解：∵， ∴， ∴由（1）可知，，且， ∴， 第一种情况，当时，如图所示，    ∴， 解得，； 第二种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第三种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，等腰梯形的性质，分段函数的运用，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握分段函数的计算方法，梯形面积的计算公式，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 一、填空题 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 二、解答题 3．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 5．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 6．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 7．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 8．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 9．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$