猜押02 几何最值、双空类问题（选填题）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押02 几何最值、双空类问题（选填题） 考点 3年考题 考情分析 几何最值 2023年第10题 两点之间线段最短 2022年10题 垂线段最短 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求几何图形中某个不确定量(如线段长度、角度大小、图形面积、周长等)的最大值或最小值.根据近几年中考数学命题的趋势，线段最值成为热门的考点。 双空题 2022~2024年第14题（必考题） 安徽中考数学第14题，历次作为填空压轴题，因区分度大而倍受师生关注。 近年来常以双空题形式呈现。 题型一 两点之间线段最短类问题 1．（安徽中考特色选择压轴多结论）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 2．（2025·安徽滁州·一模）已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接，证明出四边形是平行四边形，得到，，然后推出当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度，然后求出，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接 ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是正方形，，为正方形对角线上的动点 ∴ ∴ ∴的周长 ∴当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度 ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形边长为， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴周长的最小值为8． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是得到当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值． 3．（2025·安徽宣城·二模）如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】提示：如图，连接． ，是等边三角形， ，，， ， ， ． 平分， ，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，作出辅助线是解题的关键； 取中点，连接，，，，由点是的中点，得 ，由，，得，，进而可得，，，，由勾股定理求得，由，得、、三点共线时，，最小，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ，， ， ， ，， ∴，， 中， ， 中，， ∴、、三点共线时，，最小， 此时， 故答案为：B 5．（2025·安徽合肥·一模）点P是矩形内一点，Q是边上的任意一点，连接、、、，已知，下列结论不正确的是（   ） A．若，则的最小值是10 B．若，则 C．的最小值为20 D．若，则的最小值为 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 根据矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定的性质逐项判断即可． 【详解】解：①如图： 若 则， ， ， ， 的最小值是10，A正确； ②如图： 若， 则， 则，， 同理可得， 那么， 即B、P、D三点共线，BP是直角斜边上的高， ， 根据面积公式可得，B项正确； ③因为， 故当点P是矩形两对角线的交点时，的值最小， 则， 所以的最小值为，C项正确； ④如图： 若，则 P在上， 四边形是矩形，， ． 根据三角形面积公式 则， 解得， 作点关于的对称点，连接，， 此时， 根据两点之间线段最短，当共线且时，的值最小，即的长， 在和中， ，， ， ， ， ， 的最小值为，D项错误． 故选：D． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的最值、切线的性质定理 【分析】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据，即可得出当时，的值最小，最小值为 34． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示， 此时，最小，最小值为， ∵矩形中，，， ， ， ∴的最小值是：，故A正确； 若是的切线，则， 在 中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故B项正确； ∵， ∴当的面积最小时，的面积最大， 在中，， 过点E作， 则， ∴， 即， 解得：， ∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小， ∴当与重合时，的面积最小， 此时，， 即面积的最小值为， 则的面积最大值为，故C项正确； 设，则， 则 ， ∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误． 故选：D． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 8．（2024·安徽·二模）如图，在中，，，，分别为边AB，AC上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，解本题的关键在于根据题意构造出和．过点作AB的垂线，在垂线上截取，作于点，分别连接CE，PE，证得，，得出的最小值为CE，在和，分别求得，，可得，根据勾股定理，即可求得． 【详解】解：如图，过点作AB的垂线，在垂线上截取，作于点，分别连接CE，PE． ， ． ， 的最小值为， 即的最小值为CE． ，，， ，， ， ， ． 在中，， 即的最小值为． 故选：D． 9．（2024·安徽六安·一模）如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键． 题型二 垂线段最短类问题 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，，分别是边上的动点，则的最小值是(   ) A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】垂线段最短、解直角三角形的相关计算、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，解直角三角形，延长到，使，连接，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作于点，如图， ， 点与点关于轴对称， ， ， 的最小值是， ，， ， 在中， 故选：B． 2．（安徽中考特色选择压轴最值问题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求正多边形的中心角 【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后直角三角形的性质和勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， ∴， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选：A． 4．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接，先根据折叠得到点E在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 【详解】解：连接，， 由折叠得， ∴点B、E、D共线，即点E在上， ∴当时，最小，这时， ∵是矩形， ∴, ， 又∵， ∴， 故选：A． 5．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，在上取一点，使，证明，得出，推出当最小时，最小，而当时，最小，由勾股定理可得，得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：在上取一点，使， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，而当时，最小， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 6．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取的中点，连接，求得，，证明，求得，当点与点重合时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 当点与点重合时，有最小值，最小值为2， 故选：B． 7．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】要想找到的最小值，需要先找到E的运动轨迹是一条射线，过程为先作平分，作，由题意易得，根据相似的性质可证，进而得到点E的运动轨迹是射线，根据点到线的距离中，垂线段最短即可求解； 【详解】如图，作平分，作，连接交于， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， 又P为边上一动点，即点在与成夹角的射线上运动，的最小值为到的垂线段的长度，即的最小值为的长． ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，含直角三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 8．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∵是直线上的一个动点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短， 由旋转可知：，， 连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点． 9．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、垂线段最短 【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，正确运用相关知识点是解题关键． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点重合时，的值最小是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，交于点，连接，，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 即的最小值是的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故选：． 题型三 隐圆最值类问题 1．（2025·安徽宣城·一模）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，判定，进而判定点P在以为直径的圆上，从而利用勾股定理，即可求解； 【详解】解：在正方形中， ，，， ， ， ， 点P在以为直径的圆上． 如图，设的中点为，当点，，在同一条直线上时，有最小值． ，， ． 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选：A 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 3．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 5．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，在上截取，连，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ 又 ∴， ∴ 又 ∴ ∴即， ∴点在以为直径的半圆上移动， 如图，连，在上截取，连，    ∵正方形边长为4， ∴ 又， ∴, ， 而的最小值为线段的长度， 如图，作，垂足为，则四边形是正方形，    ∴ ∴ ∴， ∴的最小值为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度，由勾股定理求出． 7．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 本题中先证明，角度推导得，继而确定点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接，利用等边对等角以及四边形内角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P轨迹为以O为圆心的圆弧，连接 ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由得，， 当O、P、C三点共线，即点P位于点时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，由得， ∴， ∴，即最小值为， 故选：A． 题型四 代数类双空题 1．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； ∴反比例数解析式为 故答案为：； （2）∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为 联立 解得：或 当时， 当时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2024·安徽安庆·二模）关于x的二次函数的图象经过点． （1） （2）若关于x的二次函数的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）找到抛物线与直线只有一个交点时，m的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴当时，抛物线与直线只有一个交点， 当时，， 当时，， ∴当时，抛物线与直线只有一个交点， 综上，当或时，抛物线与直线只有一个交点， 故答案为：或． 3．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 / 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似三角形的对应边的比相等求解． （1）作于，求得的面积等于，证明，求得，即可求得； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，求得，设，求得，，再求得，到的距离等于，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）作于， ∵两点均在反比例函数的图象上， ∴的面积等于的面积， ∵的面积为，的面积为4， ∴的面积等于，则的面积等于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，垂足为． ∵的面积为，的面积为4， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，到的距离等于， ∴． 故答案为：8． 4．（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ； （2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ． 【答案】 直线 18 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． （1），将代入，得到a与b的关系，根据对称轴为即可求解； （2）根据对称轴为直线得到，得到．将和分别代入，得到，，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题知，将代入得：，则，所以抛物线的对称轴为直线； （2）因为抛物线的对称轴为直线，所以，则， 所以抛物线的表达式可表示为． 将和分别代入抛物线的表达式得： ，， 所以， 因为，所以，即， 所以的最大值为18． 故答案为：直线，18． 5．（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数，的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接，已知点的坐标为． （1）点的坐标为 ； （2）若线段所在直线的函数表达式为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，一次函数，相似图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点在第二象限内，轴，得到点的纵坐标为，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，，轴，，，，，设线段与轴交于点，如图所示，则，再证明，得到，即，则，由，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵点分别在反比例函数，的图象上，点在第二象限内，轴， ∴点的纵坐标为， ∴在反比例函数中，当时，， 解得，， ∴； （2）∵轴于点，轴于点，点的坐标为，， ∴，，轴， ∴，，，， ∵线段所在直线的函数表达式为，设线段与轴交于点，如图所示， ∴令时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：①；② ． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由点的坐标为可得，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，得到，求出值即可求解； （2）设，得以得到点的坐标为，然后可以得到点的坐标为，然后得到点的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：（1）点的坐标为， ， 是的中点， ， 设点的纵坐标为，则点的横坐标为， ， 解得：，（舍去）， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）设， ， ， ，都是等腰直角三角形， 点的坐标为， 是的中点， 点的坐标为， ， 阴影部分的面积等于， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 8．（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1） ． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准确列出二次函数解析式是关键． （1）求出点和点的坐标，利用勾股定理即可求出答案； （2）设点C的坐标为，证明四边形是矩形，得到，则，得到四边形的面积为，利用二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）当时，，解得， ∴点的坐标为， 联立得到， 解得或， ∴, ∴， 故答案为： （2）设点C的坐标为， ∵过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积 当时，四边形的面积取得最大值， 故答案为： 9．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）根据对称性求出对称轴即可； （2）根据对称轴求出值，求出和时的函数值，根据，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； （2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 在中，， ， ， 点是的中点， ，即， ， （2）点关于的对称点为点，， ， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（1）可得反比例函数的解析式为， 联立， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识． 11．（2025·安徽合肥·一模）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．某班一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．转换后使得最高分为100分，最低分为30分． （1）某同学原始分是80分，则转换后的分数是 ． （2）若全班原始分数的方差是225，则转换后的班级分数的方差是 ． 方差参考公式： 【答案】 79 441 【分析】本题考查了新规定——转换新考分．熟练掌握考分转换规则，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，方差与平均数定义与计算，是解题的关键． （1）把，代入求出a，b的值，得到解析式，再把代入解析式即得； （2）写出，，代入化简计算即得． 【详解】解：（1）由转换分规则， 得， 解得， ∴， 当时， ； （2）∵， ， ， …， ． ． ∴ ． 12．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点． （1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与轴的交点，其中一个是定点，不随的变化而变化； （2）根据题意得，即，求得在抛物线上，且，判断出，得，求出的取值范围． 【详解】解：①， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴无论取何值，抛物线总与轴交于， 故答案为：； ②∵抛物线与轴的交点坐标为，且对称轴与轴正半轴相交． ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵在该抛物线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 【答案】 或； 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式． （1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案； （2）由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入，得直线的解析式为，分别令，即可得，，再根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为：或； 故答案为：或； （2）由题意知，，， 由图象可知，， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，，即， 令得，，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（2025·安徽·一模）平面直角坐标系中，是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，，轴． （1） ； （2）若将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界）则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的顶点坐标，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得二次函数解析式，从而知道； （2）先写出下移后的函数表达式，表示出顶点坐标，接着求出直线的表达式，求得当时，，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），那么，最后解不等式即可． 【详解】解：（1）点，在抛物线的图象上， 故答案为：； （2）抛物线向下平移个单位 ， 顶点坐标为， 设直线的表达式为 代入点，得到 直线的表达式为 时， 使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界） 故答案为：． 15．（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；分别过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据相似三角形的性质以及点的坐标得出点的坐标，进而求得；延长交轴于点，过点作于点，求得直线的解析式，进而求得点的坐标，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵，则 ∴ ∴ ∴ ∴； 则反比例函数解析式为 如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：或（舍去） ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：，． 16．（2025·安徽马鞍山·一模）设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点． （1）当时， ； （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键． （1）联立方程组消去得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可； （2）解方程组求出的值，然后借助图象得到的值小于抛物线与直线的交点横坐标解题即可． 【详解】解：（1）当时，方程组消去y可得， ∴， 故答案为：8； （2）方程组消去y可得， ，且， 又∵， ∴， 解方程组得到或， 当直线过时， ∵， ∴借助图象可得， 解得； 故答案为：． 17 ．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象第一象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为点，过点作的平行线，该平行线与轴交于点，并交图象第三象限的分支于点． （1） ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）由反比例系数的几何意义，即可求解； （2））过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，可求，，即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）过作轴交于， ， ， ， 轴， 轴， 四边形是平行四边形， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例系数的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；能熟练利用反比例系数的几何意义及相似三角形的判定及性质结合设辅助未知数进行求解是解题的关键． 题型五 几何类双空题 1．（2025·安徽宣城·二模）如图，在矩形中，，分别为边上的点，将矩形沿翻折，使点落在边上，得到四边形，连接．若，． （1） ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，设，则，在中，根据勾股定理可得：，所以可得关于的方程，解方程求出的值即可得到，从而可得：； 过点作的延长线于点，根据同角的余角相等可得，又因为，从而可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，解得：，，所以可以求出，利用勾股定理可以求出． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠可知， 设，则， 在中，， ， ， ，； 解：如下图所示，过点作的延长线于点， ，， ， 由折叠可知，， ，， ， 又， ， ，即， 解得：，， ， 在中，． 2．（2025·安徽铜陵·一模）如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；若． （1）则 ； （2）按上述方法不断操作下去，经过第次操作后得到的折痕到的距离记为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位线定理、数字的规律探、折叠的性质，解决本题的关键是根据折叠的性质探索折痕到的距离的变化规律，根据规律得到结果． 根据折叠的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证是的中位线，，根据三角形中位线的判定定理可得：是的中位线，根据中位线的性质可得，所以可得，所以可得点到的距离，所以可得； 由中的变化规律可知经过第次操作后得到的折痕到的距离为． 【详解】解：如下图所示，连接，交折痕于点， 根据折叠的性质可知，， 在和中， ， ，， 是的中位线，， ， ， 是的中位线， ， ，， 同理可得：第二次折叠后，， 是的中位线， 点到的距离， ； 故答案为：； 由可知第一次折叠后到的距离为， 第二次折叠后到的距离为， 第三次折叠后点到的距离为， 到的距离为， ， 经过第次操作后得到的折痕到的距离为， 故答案为：． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到垂直平分，得到，得出，根据直角三角形的性质得到，根据等边对等角得到，三角形内角和定理，三角形外角的性质，计算即可得到答案； （2）作于点，求出，根据平行线分线段成比例得到，得到． 【详解】解：（1）根据题意得垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为； （2）如图，作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为 ． （2）连接，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）利用平行四边形的性质易得，得到等底等高，即等底等高，由，，求出的面积，即可得到结果； （2）连接交于点O，由勾股定理求出为定值，当时，有最小值，即有最小值，此时四边形是矩形，证明，得到，求出即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴等底等高， ∴等底等高， ∴的面积相等， ∵，， ∴的面积为， ∴面积为：； 故答案为：； （2）连接交于点O， ∵，， ∴为定值， 当时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 此时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，垂线段最短．证明是解题的关键． 5．（2025·安徽宣城·一模）如图，在矩形中，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，且． （1）求 ． （2）若，，，则 ． 【答案】 135 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，结合题意得出，再结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质可得，解直角三角形得出，求出，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：135； （2）∵四边形是矩形， ∴，，，，， 在中，，， ． ， ∴， ， ． 在中，，， ． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ，． ， ∴， ， ， 故答案为：． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝ ． （2）当为的中点时，到的最大距离是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质，相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质可得，，，设，根据折叠的性质可得：，，利用勾股定理可列关于的方程，解方程可得； 由题意得在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大，过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E，由，得：，进而即可求解 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 设，则有，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； 解，如下图所示，当点是中点时， ， 在中，， ， ∴在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大， 过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E， ∵， ∴， 有折叠可知：， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴在中，，解得：， ∴ ∵， ∴，即，解得： ∴点到的最大距离为． 故答案为：． 7．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 【答案】 45 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，矩形的边，点E是矩形内部的一动点，连接，已知． （1）若B，E，D在同一直线上，则的长度为 ； （2）点F是的中点，连接，则长度的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用面积法求得即可解答； （2）取的中点O，易知点E在以点O为圆心，为半径的半圆弧上， 且，延长至G，使，连接，算出，利用三角形的三边关系，即可得到， 当点共线时，的长度取最大值． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ， 当若B，E，D在同一直线上时， ， ，， ， ， ， 得 ； （2）如图，取的中点O， ， 易知点E在以点O为圆心，为半径的半圆弧上， 且， 延长至G，交的延长线于点，连接， ， ， ，， 是的中点， ， 当点共线时，的长度取最大值为 ∴长度的最大值为， 故答案为：；． 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解； （2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，在的延长线上取点，使得，可得，可证得，可得，可知，当、、在同一直线上时去等号，进而可知的最小值为． 【详解】解：分别过点G作于M，于H，如图1，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作，，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， 在的延长线上取点，使得，则， 则 ∵， ∴， ∴， 则，当、、在同一直线上时取等号， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数； （2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 的值. 【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： . （2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ 同理可得， ∴C， 即，， ∴， ∵，， ∴， 整理得： ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 11．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有； （2）过点分别作于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四点在同一个圆上， ∴；    （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，    则有： ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴，则有 ，即． ∵， ∴，即， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解即可； （2）延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出，，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，，根据比例的性质求出，根据平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵，于N， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·安徽·三模）如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上． （1）若，，则 ； （2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）连接交于点O，由勾股定理求出，由矩形的性质可得出，，，由正方性质的性质可得出，证明，由相似三角形的性质可得出，进一步即可求出． （2）由矩形的性质和正方形的性质证得，由全等三角形的性质进一步得出，由相似三角形的性质可得出，设，则，，则． 【详解】解：（1）连接交于点O， ∵，， ∴， ∵是矩形， ∴，，， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 得， ∴． （2）∵是矩形， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由（1）． 得， 设，则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 14．（2024·安徽·模拟预测）如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    【答案】 5 【分析】（1）先证明、、均为等边三角形，且，由题意得出，根据等边三角形的性质得出，解得，即可得出答案； （2）由题意得出，且，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，最后得出即可． 【详解】解：（1）过点A作于点M，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即， 根据折叠可知：，， ∴，, ∴和为等边三角形， ∴，， ， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∵和为等边三角形，且， ∴， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：； （2）∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握等边三角形的判定和性质． 15．（2025·安徽·一模）将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图①，，． （1）若，则的长为 ； （2）将图①继续沿折叠成图②，设， （用含x的代数式表示）． 【答案】 1 【分析】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． （1）由平行线的性质得，折叠得，即可解答； （2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出． 【详解】解：， ， 折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1；． 16．（2025·安徽芜湖·一模）在矩形中，，点分别在边上，，垂足为点． （1）的值为 ； （2）当时，的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． （1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； 故答案为：． （2）延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ， 故答案为：． 17．（2025·安徽芜湖·一模）如图，将正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上．延长交边于点，交延长线于点． （） ； （） ． 【答案】 【分析】（）利用正方形的性质可得，利用折叠的性质可证，即得，进而得到，即可求解； （）设，则，得到，进而由三角函数可得，即得，代入计算即可求解； 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 18．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题： （1） ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1），，由折叠的性质可得，，，证明，得出，最后再由计算即可得解； （2）过点作于，证明，得出，，证明，得出，由题意可得，设，则，求出，，得出，求出，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）过点作于，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 【答案】 或4 或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可； （2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 20．（2025·安徽芜湖·一模）已知矩形，连接，点E是上一点，使得． （1）如图1，若，，则 ； （2）如图2，连接交于点F，若，则 ． 【答案】 【分析】（1）证明，设，则，在中由勾股定理建立方程求解； （2）由（1）知可设，设，则，可求在，故，而，则，那么，设，，则，代入求解即可． 【详解】解：（1）在矩形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 故的长为， 故答案为：； （2）如图， 由（1）知可设， ∵， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，难度较大，解题的关键在于相似三角形的应用． 21．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形的性质、圆的性质、轴对称的性质，较难的是题（2），正确找出点的运动轨迹是解题关键． （1）过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质可得，解直角三角形可得，再解直角三角形可得，从而可得的长，然后根据轴对称的性质可得，由此即可得； （2）先确定点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上，再根据圆的性质可得当时，点到直线的距离最大，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， 故答案为：． （2）由轴对称的性质得：， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上， 由圆的性质可知，当时，点到直线的距离最大， 如图，，交于延长线于点，则即为所求， ∵在中，， ∴， ∴， 即在运动的过程中，点到直线距离的最大值是， 故答案为：． 22．（2025·安徽合肥·一模）如图，是等腰三角形，，，的顶点、、分别在边，，上，且，，． （1）中边上的高的长度为 ． （2）的长度为 ． 【答案】 / 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）求得，设，则，，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴， ∴； ∴中边上的高的长度为； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23．（2025·安徽滁州·一模）如图，这是一张矩形纸片，为上的一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，且的延长线经过点．    （1）若，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意，表示出，再利用，得，从而得到结果； （2）由题意，表示出，利用，求出，结合勾股定理，得到结果． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵把矩形纸片沿折叠，点，的对应点分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：； （2）∵，，设，则， ∵， ∴， ∵把矩形纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中， ，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押02 几何最值、双空类问题（选填题） 考点 3年考题 考情分析 几何最值 2023年第10题 两点之间线段最短 2022年10题 垂线段最短 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求几何图形中某个不确定量(如线段长度、角度大小、图形面积、周长等)的最大值或最小值.根据近几年中考数学命题的趋势，线段最值成为热门的考点。 双空题 2022~2024年第14题（必考题） 安徽中考数学第14题，历次作为填空压轴题，因区分度大而倍受师生关注。 近年来常以双空题形式呈现。 题型一 两点之间线段最短类问题 1．（安徽中考特色选择压轴多结论）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 2．（2025·安徽滁州·一模）已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 3．（2025·安徽宣城·二模）如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（    ） A． B．2 C． D．4 4．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·一模）点P是矩形内一点，Q是边上的任意一点，连接、、、，已知，下列结论不正确的是（   ） A．若，则的最小值是10 B．若，则 C．的最小值为20 D．若，则的最小值为 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 8．（2024·安徽·二模）如图，在中，，，，分别为边AB，AC上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽六安·一模）如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型二 垂线段最短类问题 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，，，，分别是边上的动点，则的最小值是(   ) A． B． C． D．2 2．（安徽中考特色选择压轴最值问题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 4．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点、分别是点、关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 6．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（   ）    A． B．2 C． D． 7．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 8．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 9．（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型三 隐圆最值类问题 1．（2025·安徽宣城·一模）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·安徽宣城·一模）如图，等边边长为6，E、F分别是边、上两个动点且．分别连接、，交于P点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．3 题型四 代数类双空题 1．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 2．（2024·安徽安庆·二模）关于x的二次函数的图象经过点． （1） （2）若关于x的二次函数的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 3．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 4．（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ； （2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ． 5．（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数，的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接，已知点的坐标为． （1）点的坐标为 ； （2）若线段所在直线的函数表达式为，则四边形的面积为 ． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 7．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 8．（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1） ． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 9．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 10．（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 11．（2025·安徽合肥·一模）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．某班一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．转换后使得最高分为100分，最低分为30分． （1）某同学原始分是80分，则转换后的分数是 ． （2）若全班原始分数的方差是225，则转换后的班级分数的方差是 ． 方差参考公式： 12．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 13．（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 14．（2025·安徽·一模）平面直角坐标系中，是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，，轴． （1） ； （2）若将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界）则的取值范围是 ． 15．（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 16．（2025·安徽马鞍山·一模）设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点． （1）当时， ； （2）若，则的取值范围是 ． 17 ．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象第一象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为点，过点作的平行线，该平行线与轴交于点，并交图象第三象限的分支于点． （1） ； （2）的值为 ． 题型五 几何类双空题 1．（2025·安徽宣城·二模）如图，在矩形中，，分别为边上的点，将矩形沿翻折，使点落在边上，得到四边形，连接．若，． （1） ． （2）若，则 ． 2．（2025·安徽铜陵·一模）如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第次操作，折痕到的距离记为；若． （1）则 ； （2）按上述方法不断操作下去，经过第次操作后得到的折痕到的距离记为，则的值为 ． 3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 4．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为 ． （2）连接，则的周长最小值为 ． 5．（2025·安徽宣城·一模）如图，在矩形中，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，且． （1）求 ． （2）若，，，则 ． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝ ． （2）当为的中点时，到的最大距离是 ． 7．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，矩形的边，点E是矩形内部的一动点，连接，已知． （1）若B，E，D在同一直线上，则的长度为 ； （2）点F是的中点，连接，则长度的最大值为 ． 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）的最小值为 ． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 11．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    12．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 13．（2024·安徽·三模）如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上． （1）若，，则 ； （2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示） 14．（2024·安徽·模拟预测）如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    15．（2025·安徽·一模）将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图①，，． （1）若，则的长为 ； （2）将图①继续沿折叠成图②，设， （用含x的代数式表示）． 16．（2025·安徽芜湖·一模）在矩形中，，点分别在边上，，垂足为点． （1）的值为 ； （2）当时，的长为 ． 17．（2025·安徽芜湖·一模）如图，将正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上．延长交边于点，交延长线于点． （） ； （） ． 18．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题： （1） ． （2）若，则 ． 19．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 20．（2025·安徽芜湖·一模）已知矩形，连接，点E是上一点，使得． （1）如图1，若，，则 ； （2）如图2，连接交于点F，若，则 ． 21．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 22．（2025·安徽合肥·一模）如图，是等腰三角形，，，的顶点、、分别在边，，上，且，，． （1）中边上的高的长度为 ． （2）的长度为 ． 23．（2025·安徽滁州·一模）如图，这是一张矩形纸片，为上的一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，且的延长线经过点．    （1）若，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，则 ． 24．（安徽中考特色填空压轴双空题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$