精品解析：四川省绵阳市三台县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

三台县2025年春八年级第一学月质量监测 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，化简后能与可以合并是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 6. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 一个直角三角形的两条边分别为，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如果实数满足，那么点在（　　） A. 第二象限 B. 第四象限 C. 第二象限或坐标轴上 D. 第四象限或坐标轴上 9. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 12. 如图，在中，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，当是直角三角形时，的长是（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 比较大小：______ 14. 当时，代数式的值是______． 15. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 16. 如图，，，边上的中线，则的面积为__________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____． 18. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）． （2）． 20. 已知求代数式的值． 21. 在中，，求边上的高的长度． 22. 石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长． （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 23. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 24. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，求证：． ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段，，之间的数量关系； ②小强同学经过分析后，将，分别沿，进行翻折，得到和，如图3，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的分析，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答：如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形ABCD中，，，．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台县2025年春八年级第一学月质量监测 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数（即），逐一分析各选项被开方数的符号即可判断． 【详解】解：A.，被开方数为（负数），不符合二次根式的要求，不符合题意； B.，被开方数为（正数），是二次根式，符合题意； C.，是2的立方根，不符合题意； D.，被开方数的符号取决于和的取值，若与异号，则为负数，此时无意义，因此不一定是二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 下列二次根式中，化简后能与可以合并是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】A、不能与合并，故本选项不符合题意； B、不能与合并，故本选项不符合题意； C、，能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意． 故选B． 3. 下列各式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 4. 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 5. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 6. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 7. 一个直角三角形的两条边分别为，那么这个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，当是直角边和斜边两种情况讨论，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：当是直角边时：这个直角三角形的面积是：； 当是斜边时：另一个直角边为：， 这个直角三角形的面积是：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握勾股定理及三角形的面积公式是解题的关键． 8. 如果实数满足，那么点在（　　） A. 第二象限 B. 第四象限 C. 第二象限或坐标轴上 D. 第四象限或坐标轴上 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质，解题关键是掌握二次根式的性质．根据二次根式的化简，判断出a、b的符号，然后确定其在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解：∵， ∴a、b异号，且，故，或者a、b中有一个为0或均为0， ∴在第二象限或坐标轴上． 故选C． 9. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 10. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在中求出即可． 【详解】解：如图， 当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短， 此时吸管的长度就是圆柱形的高，即， ， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长， 吸管长度， 此时， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 11. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 12. 如图，在中，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，当是直角三角形时，的长是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．分两种情况，当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当，如图所示： 为的中点， ， ∵， ∴， ，， ≌， ， ∴； 当，如图所示， 为的中点， ， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴； ∴， 综上所述，的长为或． 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 14. 当时，代数式的值是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，先整理得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：24 15. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上表示无理数，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得到，由勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：点，点对应的数分别为，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵点表示的数是， ∴以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为， 故答案为： ． 16. 如图，，，边上的中线，则的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长至，使，构建，利用勾股定理的逆定理证出和是和的高线，利用三角形面积公式求解． 【详解】延长至，使， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴ ， 故答案为：6 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，构造全等模型即辅助线的作法是解答此题的关键． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题． 【详解】设CE=x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°． ∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， ∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x． 在Rt△ABF中，由勾股定理得： AF2=52-32=16， ∴AF=4，DF=5-4=1． 在Rt△DEF中，由勾股定理得： EF2=DE2+DF2， 即x2=（3-x）2+12， 解得：x=， 故答案为． 18. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 【答案】1.3． 【解析】 【详解】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示 要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P． 过B作于点M， 在中，，， ∴． ∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和多形式与二次根式的乘法法则计算，再算加减． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 20. 已知求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：1-8x≥0，x≤ 8x-1≥0，x≥， ∴x=，y=， ∴原式= ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用． 21. 在中，，求边上的高的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形的知识，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．过点A作于点D，在和中，由公共边可得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 设，则， 在和中： ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， 22. 石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长． （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】（1）米 （2）1400元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解： （米）， ∴长方形的周长为米． 【小问2详解】 解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 23. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）是直角三角形，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 24. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，求证：． ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段，，之间的数量关系； ②小强同学经过分析后，将，分别沿，进行翻折，得到和，如图3，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的分析，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答：如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形ABCD中，，，．若，，，求的长． 【答案】（1）． ①理由如下： ，， ， 如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 则， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； ②如图3，根据题意可知：，，，， ， ， ； （2），理由如下； 作，使，连接，． 则． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ． 在和中， ，，， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，，即． （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）①利用旋转的性质，证明即可； ②根据翻折的性质得，，，，再利用勾股定理即可解决问题； （2）作，使，连接，．证明，得出，，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图5中，在上取一点G，使得，证明，推出，，证明，推出，设，则，， ，在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图5，在上取一点G，使得， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，则， ， ， 在中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $