精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县第一中学　 巴彦县第三中学 2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度下学期九年级第一次月考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，熟记计算公式即可解答． 3. 下列平面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 即是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选B． 4. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解题的关键是要准确识图．根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图． 【详解】解：从正面看可以得到从左到右四列，正方形的个数依次为3、1、1、2，据此可知主视图为： 故选：D． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（　　） A. 5 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，将代入反比例函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 6. 将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的解析式为（ ） A. y=（x-1）2+2 B. y=（x+1）2-2 C. y=（x-1）2-2 D. y=（x+1）2+2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式． 【详解】解：∵抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度, ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键． 7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 30% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，然后根据商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得或（舍去）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 8. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故选：C． 9. 如图，中，，，，沿的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则线段的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，然后得，再由折叠可知，结合，可得，求出，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵由折叠可知：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 据媒体报道，我国2024年公民出境旅游总人数约9800万人次，将数据9800万用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：9800万， 故答案为：． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据分式的分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提公因式，再利用平方差公式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OC，设圆的半径为x，根据垂径定理可得CH=4，在Rt△OCH中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】解：如图，连接OC，设圆的半径为x， 由垂径定理可得：CH=CD=4， Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则 ， ， 解得：x=5，即⊙O半径为5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键． 17. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______. 【答案】30° 【解析】 【详解】设圆心角为n°，由题意得：=12π， 解得：n=30， 故答案为30°． 18. 在一个不透明盒子里有4个分别标有数字1，2，3，5的小球，它们除数字外其他均相同．先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，这两个球上的数字之和为奇数的情形种， ∴这两个球上的数字之和为奇数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 19. 矩形的对角线和所夹锐角为，则的度数为___________度． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，分两种情况，分别计算即可得解，采用分类讨论的思想，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∴， 如图： 由题意可得：，， ∴， 综上所述，的度数为或度， 故答案为：或． 20. 如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键．过点作的垂线，垂足为，连接，证明，得到 ，设，则，证明，则，得到，在中，，列方程方程即可． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，连接， 四边形为正方形，点为边的中点，， ∴，， ，， ∴， ， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得，即， 故答案为：． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，代入特殊角的三角函数值，求出的值，再代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 22. 如图，在的正方形方格纸中有线段，点A、B都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1. （1）在图中画出，且，点C、D均在小正方形的顶点上； （2）以为腰画等腰，的面积为12，点E在小正方形的顶点上； （3）直接写出（2）中所画线段的长 【答案】（1） 如图 （2） 如图，当点为顶点时， 符合题意； 如图，当点为顶点时， ，不符合题意； 故点的位置只有一种，即： （3） 【解析】 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转，则根据等腰直角三角形的性质即可得点的对应点即为点，将将线段绕点顺时针旋转，则根据等腰直角三角形的性质即可得点的对应点即为点； （2）分别以点和点为圆心，旋转线段找点即可； （3）构造直角三角形即可求得； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点与点分别作竖直与水平线，交于点， 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，割补法求面积，勾股定理等知识点，熟练运用判定定理是解题关键． 23. 一年一度的“哈洽会”在哈尔滨又要隆重召开了，这为哈尔滨市的经济腾飞增加了新的助力，哈市某中学为了解本校学生对于“哈洽会知识知多少”，该校团委组织全校学生进行了调查问卷并随机抽取该校部分九年级的学生的成绩统计后，分成优、良、中、差四组作为样本分析，绘制成了如图所示的不完整的统计图，其中成绩为优的学生占被抽查学生的20%，根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽样的学生人数是多少； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有800人参加了这次调查，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到优秀？ 【答案】（1）50 人 （2） 补图如图所示 （3）160 人 【解析】 【分析】此题考查了样本估计总体、条形统计图等知识，读懂题意，正确计算是关键． （1）根据成绩为优的学生的人数和占比即可求出被抽查学生的总数； （2）求出成绩为中的学生数，补全统计图即可； （3）利用总人数乘以样本中的对应占比即可求出答案． 【小问1详解】 （人） 答：本次抽样点学生人数为 50 人． 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 人 答：估算该校九年级共有 160 人成绩优秀． 24. 如图，菱形，于点E，于点F， （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接分别交、于点G、H，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有的钝角等腰三角形． 【答案】（1） ∵四边形是菱形， ∴． ∵于点E，于点F， ∴， ∴； （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用面积法求解即可； （2）利用菱形的性质可得到是等腰三角形，然后再利用等角对等边判定，是等腰三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ， ∴，，，， ∴是钝角等腰三角形． ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角等腰三角形． 同理可证是钝角等腰三角形． 综上可知，钝角等腰三角形有：，，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 25. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 【答案】（1）A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100 元和 75 元 （2）16 套 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用和一元一次不等式的应用，根据题意列分式方程和不等式是解题的关键． （1）设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元，用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等，据此列方程并解方程即可； （2）设购进品牌套，根据总利润不少于1200元列一元一次不等式并解不等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：设品牌进价为元/套，则每套A品牌服装进价元， 检验：经检验是原方程的解， 答： A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100元和75元． 【小问2详解】 设购进品牌套， 答： 最少购进A品牌的服装16套． 26. 已知，内接于，点在上，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作于点，求证：； （3）如图，若，的半径长为，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵ ，， ， ， ； （2） 证明：如图，作 的延长线于点，则， ∵ ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理可得，进而根据三角形内角和定理可得，即可求证； （）作 的延长线于点，先证，得到，进而可证，得到，即得，即可求证； （）作于，连接、，由圆周角定理得， ，即得，为等边三角形，得到，即得到，，进而得，再根据得，即可得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于，连接、，则， ， ，， ∵， 为等边三角形， ， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，连接，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段CD的长为，求与间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，，，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，连接、、，交于点，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入中可得出，根据得出，代入求出值即可得答案； （2）过点作轴于，用表示出、，利用得出，利用线段的和差关系即可得答案； （3）过点作于，可证明，根据全等三角形的性质得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立抛物线解析式即可得出，由抛物线解析式得出，可得轴，根据根据可得，，设，则，可得，利用两点间距离公式得出，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理及两点间距离公式列方程得出，即可得出，利用两点间距离公式即可得答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线交轴负半轴于点， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图过点作轴于， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上，点的横坐标为，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在的延长线上， ∴设， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、两点间的距离公式、待定系数法求函数解析式及三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级第一次月考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列平面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（　　） A. 5 B. C. D. 4 6. 将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的解析式为（ ） A. y=（x-1）2+2 B. y=（x+1）2-2 C. y=（x-1）2-2 D. y=（x+1）2+2 7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 30% 8. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，沿的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则线段的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1 10. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 据媒体报道，我国2024年公民出境旅游总人数约9800万人次，将数据9800万用科学记数法表示为___________． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 13. 计算：________． 14. 因式分解___________． 15. 不等式组的解集是___________． 16. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 17. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______. 18. 在一个不透明盒子里有4个分别标有数字1，2，3，5的小球，它们除数字外其他均相同．先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为______ 19. 矩形的对角线和所夹锐角为，则的度数为___________度． 20. 如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为___________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在的正方形方格纸中有线段，点A、B都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1. （1）在图中画出，且，点C、D均在小正方形的顶点上； （2）以为腰画等腰，的面积为12，点E在小正方形的顶点上； （3）直接写出（2）中所画线段的长 23. 一年一度的“哈洽会”在哈尔滨又要隆重召开了，这为哈尔滨市的经济腾飞增加了新的助力，哈市某中学为了解本校学生对于“哈洽会知识知多少”，该校团委组织全校学生进行了调查问卷并随机抽取该校部分九年级的学生的成绩统计后，分成优、良、中、差四组作为样本分析，绘制成了如图所示的不完整的统计图，其中成绩为优的学生占被抽查学生的20%，根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽样的学生人数是多少； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有800人参加了这次调查，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到优秀？ 24. 如图，菱形，于点E，于点F， （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接分别交、于点G、H，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有的钝角等腰三角形． 25. 亚东会期间，哈市某服装店到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，已知用2000元购进A种服装的数量与用1500元购进B种服装的数量相等； （1）求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）服装店老板决定，购进两种品牌的儿童服装共52套，若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？ 26. 已知，内接于，点在上，连接； （1）如图，求证：； （2）如图，过点作于点，求证：； （3）如图，若，的半径长为，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，连接，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段CD的长为，求与间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，，，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，连接、、，交于点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $