8.1基本立体图形（七个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

8.1基本立体图形 一、多面体的结构特征 五、组合体的结构特征 二、多面体的展开图及最短距离 六、旋转体的展开图及最短距离 三、多面体的简单计算 七、旋转体的简单计算 四、旋转体的结构特征 知识点1多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 重难点一、多面体的结构特征 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 【例2】如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ） A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 【答案】C 【详解】解：棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等. A：，故A不正确； B：，故B不正确； C：，故C正确； D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D不正确； 故选：C 【变式1-1】给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 【变式1-2】下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由棱锥的定义逐个判断即可得解. 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥. 故选：C. 【变式1-3】如果一个几何体由7个面围成，其中2个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形，那么这个几何体是什么？这个几何体可看作是由哪个平面怎样平移得到的？ 【答案】答案见解析. 【详解】由2个面是互相平行且全等的五边形，则2个面是几何体的上下底面， 其他面都是全等的矩形，则上下底面五边形的边长相等且侧棱垂直于底面， 综上，几何体共有7个面，符合正五棱柱结构特征，故几何体为正五棱柱； 几何体可看作是由正五边形沿垂直于正五边形所在平面的方向平移得到. 重难点二、多面体的展开图及最短距离 【例3】（多选）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（    ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、快、乐 D．乐、快、新 【答案】BC 【详解】解：由题意，图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③， 即①②③处可依次写上：新、快、乐，或快、新、乐， 故选：BC 【例4】在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 【变式2-1】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 【答案】A 【解析】可把展开图折叠起来变成一个四棱台，可知结论，也可从两个面中间是否隔一个面来确定． 【详解】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对， 故选：A. 【点睛】本题考查多面体的表面展开图．考查学生的空间想象能力． 【变式2-2】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 【变式2-3】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 重难点三、多面体的简单计算 【例5】在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设，，则，，， 因为，所以， 解得， 同理可得， 连接，， ， . 故选：B. 【例6】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式3-1】如图，在正方体内，正方形EFGH中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为 . 【答案】 【详解】依题意可得正棱台下底面边长为，高为， 在前面观察图形（如下图所示）中可知即为上底面边长，，则， 作交于点，则为的中点，所以， 则， 所以上底面边长为， 则下底面正方形的对角线为， 上底面正方形的对角线为， 所以正棱台的侧棱长为. 故答案为： 【变式3-2】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆的半径的比为 .    【答案】 【详解】因为正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为， 又因为正正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为， 故答案为：. 【变式3-3】如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 【答案】/0.75 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，如图所示： 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 则为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以， 故答案为：. 知识点2旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 知识点3组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 重难点四、旋转体的结构特征 【例7】圆柱的轴截面有 个，它们 (填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有 条，它们与圆柱的高 ． 【答案】 无穷多 全等 无穷多 相等 【详解】根据圆柱的定义，可得圆柱的轴截面有无穷多个，它们是全等的，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高是相等的. 故答案为：无穷多；全等；无穷多；相等. 【例8】（多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 【变式4-1】一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 【变式4-2】圆柱、圆锥、圆台的性质 （1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是 . （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 、 、 . 【答案】 圆 全等的矩形 等腰三角形 等腰梯形 【详解】略 【变式4-3】给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 【答案】（2）（3）（4） 【详解】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； （2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； （3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； （4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）. 重难点五、组合体的结构特征 【例9】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【例10】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【答案】A 【详解】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 【变式5-1】指出图中三个空间几何体的构成． 【答案】答案见解析 【详解】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱． 题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥． 题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球. 【变式5-2】（多选）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【答案】ABC 【详解】将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故A正确； 将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故B正确； 将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥最右侧，然后再将模块④竖放入模块⑥最前侧即可，故C正确； 无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故D不正确． 故选：ABC． 【变式5-3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为， 则等腰直角三角形的斜边为， 所以下底面正方形的边长为1，上底面正方形的边长为， 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B 重难点六、旋转体的展开图及最短距离 【例11】如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】B 【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱， 故选：B. 【例12】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 【变式6-1】用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则 当矩形的长为圆柱的底面周长，有，得； 当矩形的宽为圆柱的底面周长，有，得； 综上：或. 故选：C. 【变式6-2】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【变式6-3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆锥的底面半径为，它的侧面展开图为半圆，所以圆锥的底面周长为，即为圆锥侧面展开图的弧长，设圆锥的母线长为l，则，解得，所以圆锥的母线长为. 故选：A. 重难点七、旋转体的简单计算 【例13】用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【答案】 【详解】若圆柱的高为，则底面圆的周长为4，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 所以轴截面面积； 若圆柱的高为，则底面圆的周长为8，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 则轴截面面积. 综上可知，圆柱的轴截面面积为. 故答案为：. 【例14】朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设截面圆的半径为，被截取部分几何体的高为， 若以作为圆周率，则，由勾股定理可得， 故. 故选：B. 【变式7-1】已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示，    由题意可得： ， 面对角线 ， 所以 ， 由 ，可得 ， 所以 解得： ， 故选：C． 【变式7-2】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得， 连接AE，则， 连接BE，则，故， 故. 故选：A. 【变式7-3】已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 一、单选题 1．满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 【答案】D 【详解】如图：若底面是正方形的棱柱中，左右两个侧面是矩形，但不与底面垂直，但棱柱不是正四棱柱.A错误， 若前后两个侧面是与底面垂直的平行四边形，则棱柱不是正四棱柱，故B错误， 对于C，底面有可能不是正方形,故C错误， 对于D，因为有一个顶点处的三条棱两两垂直，故侧棱垂直于底面， 而底面为菱形，故底面为正方体，故该棱柱为四棱柱. 故选：D． 2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 3．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据几何体的特点可知，长方体是底面为矩形的直四棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，正方体是侧面均为正方形的正四棱柱可以得到这些集合的关系， 故选：B. 4．已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，则为正方形的中心，如图.    易知,故. 因为当时,, 所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点， 而正方形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹在正方形内部，因此表示的区域面积为. 故选：B. 5．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 6．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故选：B 二、多选题 7．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 8．（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得A选项的图形; 把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上， 即得B选项的图形;； 无论怎么展开，展开图不会是C,D选项的图形;，因为它们的四个面都共点． 故选：AB． 三、填空题 9．图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 10．已知球的两个平行截面的周长分别为和，它们位于球心同一侧，且相距为1，那么这个球的半径为 ． 【答案】3 【详解】由题可知两个平行截面的半径分别为 假设球的半径为 则 解得. 故答案为：. 11．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为 cm.    【答案】9 【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4， 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x， 根据相似三角形的性质得 ． 解此方程得y=9． 所以圆台的母线长为9cm． 故答案为9cm． 【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题. 四、解答题 12．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【答案】组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台 【详解】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 13．一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？（请写出有可能） 【答案】三、四、五 【详解】设正棱锥侧棱的棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c， 则正棱锥的侧棱在底面内的射影为c， 当，，时，都有，此时都有可能成立，即正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥； 当时，有，此时只有，即正棱锥不可能是六棱锥； 当时，都有，此时只有，即正棱锥不可能是n（）棱锥， 综上，正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥，且不可能超过五棱锥． 14．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 【答案】 【详解】由题意可知：是边长为2的等边三角形，且所求截面圆即为的外接圆， 则的外接圆半径， 所以截面的面积为. 15．已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 【答案】高是，斜高是． 【详解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1， 过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E， 过F作FN⊥OE，交OE于N， 正四棱台的斜高B1K＝EF＝＝＝． 则正四棱台的高OO1＝FN＝＝＝． ∴正四棱台的高是，斜高是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1基本立体图形 一、多面体的结构特征 五、组合体的结构特征 二、多面体的展开图及最短距离 六、旋转体的展开图及最短距离 三、多面体的简单计算 七、旋转体的简单计算 四、旋转体的结构特征 知识点1多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 重难点一、多面体的结构特征 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【例2】如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ） A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 【变式1-1】给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【变式1-2】下列几何体中是棱锥的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】如果一个几何体由7个面围成，其中2个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形，那么这个几何体是什么？这个几何体可看作是由哪个平面怎样平移得到的？ 重难点二、多面体的展开图及最短距离 【例3】（多选）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（    ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、快、乐 D．乐、快、新 【例4】在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【变式2-1】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 【变式2-2】如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 重难点三、多面体的简单计算 【例5】在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 【例6】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在正方体内，正方形EFGH中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为 . 【变式3-2】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆的半径的比为 .    【变式3-3】如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 知识点2旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 知识点3组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 重难点四、旋转体的结构特征 【例7】圆柱的轴截面有 个，它们 (填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有 条，它们与圆柱的高 ． 【例8】（多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【变式4-1】一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【变式4-2】圆柱、圆锥、圆台的性质 （1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是 . （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 、 、 . 【变式4-3】给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 重难点五、组合体的结构特征 【例9】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【例10】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【变式5-1】指出图中三个空间几何体的构成． 【变式5-2】（多选）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【变式5-3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 重难点六、旋转体的展开图及最短距离 【例11】如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【例12】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【变式6-3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 重难点七、旋转体的简单计算 【例13】用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【例14】朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 【变式7-2】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式7-3】已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 3．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（） A．1 B． C．4 D． 5．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 6．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 8．（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    10．已知球的两个平行截面的周长分别为和，它们位于球心同一侧，且相距为1，那么这个球的半径为 ． 11．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为 cm.    四、解答题 12．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 13．一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？（请写出有可能） 14．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 15．已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$