热点05 基本立体图形，直观图，表面积和体积（十大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点05 基本立体图形，直观图及表面积和体积 考点一、多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 考点二、旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 考点三、斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 考点四、表面积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 考点五、体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 热点一 基本立体图形 例1．下列结论中正确的是（    ） A．正四面体是四棱锥 B．棱台的侧棱长均相等 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 【答案】C 【详解】对于A，正四面体是三棱锥，故A错误； 对于B，棱台的侧棱长不一定都相等，故B错误； 对于C，圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故C正确； 对于D，必须是直角三角形以直角边为旋转轴，旋转形成的几何体是圆锥，故D错误. 故选：C 例2．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 变式1-1．（多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 变式1-2．（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 变式1-3．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 热点二 立体图形中的最短距离问题 例3．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 例4．已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 变式2-1．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    变式2-2．如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为    【答案】 【详解】      解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 变式2-3．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短. 即蚂蚁爬行的最短的路线为， 由，，， ， 从而最短距离为. 热点三 平面几何图形的直观图 例5．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】    如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 例6．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 变式3-1．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，    故的面积为， 故选：B． 变式3-2．（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【答案】AD 【详解】 对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与轴重合，如图所示， 由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角. 而由斜二测图性质， ， 过作的垂线，则， 即，故的最小值小于，故正确； 过作的垂线，易有，且， 故，则的最大值大于，故B错误； 对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ， 即 ， 其中，则最小值为， 最大值为， 故C错误， D正确. 故选 ：AD. 变式3-3．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 【答案】6 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半， ，所以原高为， 画出原图形如图所示，过点D作于E，而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，则. 故答案为：6. 热点四 多面体表面积 例7．已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 例8．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 【答案】C 【详解】如图，过作平面，作，连接， 根据题意得，，所以， 所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形， 所以侧面积为. 故选：.    变式4-1．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以. 故选：D.    变式4-2．在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 变式4-3．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 热点五 多面体的体积 例9．如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为， 所以. 则四边形的面积为. 因为直线，，相互平行，且两两之间的距离为1， 所以直线到平面的距离为. 三棱柱的体积为. 故选：A 例10．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 变式5-1．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设的面积为，则， 水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，得， 即当底面水平放置时，水面高为9． 故选：C． 变式5-2．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 变式5-3．在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 热点六 旋转体表面积 例11．把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故选：D. 例12．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆柱、圆锥的底面半径为， 圆锥的母线长为， 所以陀螺的表面积是. 故选：B. 变式6-1．已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则 ． 【答案】 【详解】依题意，圆柱的底面圆半径为，母线长为，表面积， 圆锥底面圆半径为，母线长为，表面积， 由，得，所以. 故答案为： 变式6-2．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为，高，其轴截面的面积为， 新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积， 若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为. 故选：A. 变式6-3．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，    (1)求该圆柱的体积和表面积 (2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 【答案】(1)体积为，表面积为； (2) 【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高， 体积， 表面积. （2）由题意，圆锥母线， 所得圆锥的侧面积为. 热点七 旋转体的体积 例13．龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径盆底直径盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，，，高， . 故选：B. 例14．一个圆锥和一个半径为2的半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】半球体积，若是圆锥的高，则圆锥体积， 所以，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积． 故选：D 变式7-1．已知一圆锥高为2，母线长为.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 设圆锥的高，母线， 则圆锥的底面半径为， 若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的， 则截去圆锥体积是原圆锥体积的， 设截去小圆锥的底面半径为，则，则①， 又，即，代入①解得， 则， 则圆台的侧面积为. 故选：C. 变式7-2．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据定义知上、下两个几何体分别为小圆锥和圆台，设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为 由小圆锥的侧面积为：，大圆锥的侧面积为：， 上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，又由相似易得：， 所以得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比， 所以小圆锥和圆台的体积之比为． 故选：D． 变式7-3．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径， 所以圆锥底面圆面积为. （2）设圆柱的高，底面圆半径， 在中，，显然，则， 即，于是， 圆柱侧面积， 则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为. 热点八 组合体的表面积和体积 例15．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】此陀螺圆柱体积， 设此陀螺圆柱的底面半径为，则， ∴此陀螺圆柱的底面面积. 故选：C. 例16．如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．    【答案】表面积为，体积为 【详解】过作几何体的截面如图所示，过作于点，由题意得，   ，， ，，. ，，， . 又， ， ， . 变式8-1．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 变式8-2．（多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高， 因此该几何体的高为，A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 变式8-3．如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 热点九 外接球 例17．若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【答案】A 【详解】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5， ∴长方体的对角线长为： ， ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 ，可得球的表面积为 ． 故选A． 例18．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】三棱锥的所有棱长均为2， 故可把三棱锥放置在正方体中， 如图    设正方体的棱长为a，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 故球的半径，所以球的表面积. 故选：D 变式9-1．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理可得， 设外接圆半径为r，再由正弦定理， 因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：C 变式9-2．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 变式9-3．已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 热点十 内切球 例19．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 【答案】/ 【详解】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 例20．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 变式10-1．已知在直三棱柱中，，若直三棱柱存在内切球（与各面均相切）且该球的表面积为，则该直三棱柱的体积为 . 【答案】 【详解】由题意知，该球的表面积为， 则该球半径，此三棱柱的高， 取内切圆，圆心为，则圆半径， 取圆与、切点分别为、， 为中点，连接、，设， 则，，， 易知与相似， 则，即， 解得， 则该直三棱柱的体积为. 故答案为： 变式10-2．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知条件，设球的半径为r， 可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r， 则圆柱的表面积， 体积， 球表面积， 体积， ． 故选：B. 变式10-3．一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则= . 【答案】 【详解】如图所示： 设正四面体的棱长为a， 因为正四面体表面积为， 所以，正四面体的高为， 设正四面体的内切球的半径为r， 则正四面体的体积为， 解得， 所以， 所以 故答案为： 一、单选题 1．（2022·23高一下·河南·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 【答案】A 【详解】对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,故选项A正确； 对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误； 对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误； 对于D，多面体至少有个面，所以D错误. 故选：A. 2．（2023·24高二上·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 3．（2023·24高二上·福建莆田·期中）已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则圆锥的高为，可得母线长为， 则圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，可得. 故选：B. 4．（2023·24高一下·河北沧州·期中）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【详解】 由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且， ， 所以，故. 故选：D. 5．（2023·江苏·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 6．（2024·25高三上·北京·期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为,底面，底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设对应的半径为，对应的半径为，曲池的高为. 因为，所对的圆心角相同，设为，则由弧长公式可知， 的弧长等于，的弧长等于， 且长度为长度的3倍，所以， 因为，所以， 所以曲池的体积为. 故选：D 7．（2024·25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示， 所以，则，而棱台的高， 所以， 则该三棱台的体积为 . 故选：D    8．（2023·24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 二、多选题 9．（2022·23高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 【答案】ACD 【详解】根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面， 根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面， 故选：ACD. 10．（2023·24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设直角三角形中，，则， ①当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成2个共底面的圆锥， 则表面积为； 故选：BCD． 11．（2022·23高一下·山西忻州·期中）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（    ）    A．水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值 C．多面体的表面积不变 D．若，则是定值 【答案】AD 【详解】对于A中，由于四边形与四边形全等，各条侧棱相互平行， 由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确； 对于B中，因为水面四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以B错误； 对于D中，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度， 设，则，所以为定值， 所以当时，是定值，所以D正确； 对于C中，因为棱柱的体积不变，高为不变，故其底面积不变， 由D知，当时，是定值，但不是定值， 故底面周长不是定值，故侧面积不是定值，故表面积不是定值，所以C错误. 故选：AD. 三、填空题 12．（2024·25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【答案】15 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 13．（2024·25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 14．（2024·25高三上·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ． 【答案】 【详解】由为等腰直角三角形，，得的外接圆的圆心为AB的中点，且， 设的中点为E，连接（如图），则，平面ABC， 设三棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为R，由球O的表面积，得， 由球的性质得球心O在上，连接OA，OD，设， 于是，解得，又，解得， 而点E到等腰的两直角边的距离都是，则动点D的轨迹是以E为圆心， 为半径的半圆弧，所以动点D的轨迹长度为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 四、解答题 15．（2023·24高一下·浙江·期末）如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，． （1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为. 【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示： 由直观图可知菱形的高为：， 所以面积为； （2）旋转而成的几何体如下图所示： 该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥， 由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 16．（2024·25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若将矩形绕直线旋转一周，则可得到以为底面半径以为高的圆柱， 因为，所以, 该圆柱体的体积为； （2） 过B作的垂线，垂足为M,,延长使交于, 过D作的垂线，垂足为N,延长使交于, 因为,以为斜边的直角三角形， 斜边上的高，, 若将矩形绕直线旋转一周，旋转一周， 所得几何体为相同的两个圆锥，几何体的底面半径为，两个圆锥的高为， 四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积为四边形绕直线旋转一周得出的圆柱体积减去三角形绕直线旋转一周得出的圆锥体积， 四边形绕直线旋转一周得出以为底面半径，高为的圆柱, 在中，, 绕直线旋转一周得出为底面半径，高为的圆锥， 所得几何体体积为. 17．（2024·25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为，； (2)(). 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 18．（2024·25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2)； 【详解】（1）由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 19．（2023·24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． （2）在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 基本立体图形，直观图及表面积和体积 考点一、多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 考点二、旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 考点三、斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 考点四、表面积 1．多面体的侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 2.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 考点五、体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 热点一 基本立体图形 例1．下列结论中正确的是（    ） A．正四面体是四棱锥 B．棱台的侧棱长均相等 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 例2．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 变式1-2．（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 变式1-3．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 热点二 立体图形中的最短距离问题 例3．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 例4．已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 变式2-1．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    变式2-2．如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为    变式2-3．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 热点三 平面几何图形的直观图 例5．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 例6．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 变式3-1．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 变式3-2．（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 变式3-3．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，则四边形ABCD的面积为 . 热点四 多面体表面积 例7．已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 例8．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 变式4-1．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 热点五 多面体的体积 例9．如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 例10．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 变式5-2．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 变式5-3．在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 热点六 旋转体表面积 例11．把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 例12．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则 ． 变式6-2．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，    (1)求该圆柱的体积和表面积 (2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 热点七 旋转体的体积 例13．龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径盆底直径盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（    ） A． B． C． D． 例14．一个圆锥和一个半径为2的半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知一圆锥高为2，母线长为.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 变式7-2．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 热点八 组合体的表面积和体积 例15．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（   ） A． B． C． D． 例16．如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．    变式8-1．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 变式8-2．（多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 变式8-3．如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 热点九 外接球 例17．若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 例18．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式9-2．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 热点十 内切球 例19．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 例20．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 变式10-1．已知在直三棱柱中，，若直三棱柱存在内切球（与各面均相切）且该球的表面积为，则该直三棱柱的体积为 . 变式10-2．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则= . 一、单选题 1．（2022·23高一下·河南·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 2．（2023·24高二上·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 3．（2023·24高二上·福建莆田·期中）已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高一下·河北沧州·期中）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 5．（2023·江苏·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高三上·北京·期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为,底面，底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．（2022·23高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 10．（2023·24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2022·23高一下·山西忻州·期中）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（    ）    A．水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值 C．多面体的表面积不变 D．若，则是定值 三、填空题 12．（2024·25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 13．（2024·25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 14．（2024·25高三上·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ． 四、解答题 15．（2023·24高一下·浙江·期末）如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，． （1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 16．（2024·25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 17．（2024·25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 18．（2024·25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 19．（2023·24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$