精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县宰便镇宰便中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

从江县宰便中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测九年级数学试卷 (时间：120分钟　满分：150分　) 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可． 【详解】解：=， 故选C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键． 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值． 一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关． 【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值， ∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变. 故选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，， . 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-判断坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， 故选：C. 5. 已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α等于(　　) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】 【详解】∵α为锐角，sin(α−20°)=， ∴α−20°=60°， ∴α=80°， 故选D. 6. 如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理分别算出三边的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据锐角三角函数进行求解，通过证明继而进行判断即可． 【详解】由题意得，， ， 是直角三角形，，故B正确，不符合题意； ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 8. 如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作轴，垂足为B，在中，设，则，，求出，，即可解答． 【详解】解：过点P作轴，垂足为B， 在中，， ∴可设，则， ∴， 解得：， ，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝6， ∴AD， ∴tan∠BAD． ∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°， ∴∠BDE=∠BAD， ∴tan∠BDE=tan∠BAD， 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 10. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（ ） A. 200米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】过B点作BN⊥MD于N点，先证四边形ABNM是矩形，得到AB=MN=80米，AM=BN，进而求出NC=20米，在Rt△ACM中利用三角函数求出AM，即有NB，再在Rt△BND中，利用三角函数求出ND，则问题即可求解． 【详解】解：过B点作BN⊥MD于N点，如图， 根据题意有∠AMD=∠MAF=90°，∠BAC=α，∠BDM=30°，，AB=80米， 则有∠ACM=α， ∵BN⊥MD， ∴∠BNM=∠BNC=90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AB=MN=80米，AM=BN， ∴CN=MC-MN=100-80=20米， 在Rt△ACM中，MC=100， ∴， ∴BN=200， ∴在Rt△BND中，BN=200，∠BDM=30°， ∴， ∴（米）， 故河流的宽度CD为米． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解俯角、仰角的含义是解答本题的关键． 11. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解． 【详解】设直线AB与CD的交点为点O， ∴， ∴AB=， ∵∠ACD=60°， ∴∠BDO=60°， 在Rt△BDO中，tan60°=， ∵CD=6， ∴AB=×CD=6． 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形． 12. 如图，在中，，，那么的值等于（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质．解题时，利用了三角函数的定义及三角形面积公式． 作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用勾股定理求出，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值求解即可． 【详解】解：作于，作于．     设， ， ， 则， ， 又 ∵， ∴，于是， ∵， ， ∴， ， 故选：A． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可. 【详解】（﹣）﹣2﹣2cos60° =4-2× =3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数 【详解】∵∠C=90°，AC=5，AB=10， ∴cosA===， ∴∠A=30°， 故答案为30． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA． 15. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为______m． 【答案】 【解析】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D． 根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°， 设AD=x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴CD===x， 在Rt△ABD中，tan∠ABC=， ∴BD===x， ∴BC=CD+BD=x+x=80， ∴x=． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角． 16. 如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知，．则__，的值为_____． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】由可求出的三边的长，通过角的转换证明，通过相似比求出求所需的长； 【详解】解：， ， ， 是中点， ， ， 又， ∴， ， ， ， ， ， 由勾股定理，， ， 故答案为：25；． 【点睛】本题主要考查相似三角形，三角函数，直角三角形中线的性质，勾股定理等知识点，掌握相似三角形，三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算及特殊三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， 18. 如图，菱形的边长为，求的长和菱形的面积． 【答案】，菱形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和菱形的性质的运用．菱形的四条边相等．由，得出的长，根据菱形的面积求解． 【详解】解：∵菱形的边长为， ， ， ， ， ， ， 综上所述， ，菱形的面积为． 19. 在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b； （2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c． 【答案】（1），， （2），， 【解析】 【分析】根据已知条件解直角三角形即可 【小问1详解】 △ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ， c＝8， ， 【小问2详解】 △ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ， a＝3 ， 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 【答案】3+ 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=， ∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3， ∴AB=AD+BD=3+， 答：AB的长是3+． 【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 21. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长； (2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值． 【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F， ∵为垂直平分线， ∴， ∵， ∴． (2)设，∴， 又∵，∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键． 22. 在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根，求m的值及的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及三角形内角和定理．熟练掌握一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，及三角形内角和定理是解决本题的关键，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，最后由三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：， ． 把代入方程得，解得． 把代入方程得， 解得，． ，即． ． 23. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）. 【答案】的长度约为10.2米 【解析】 【分析】延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，根据图示，可得四边形是正方形，解，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， 中，， ， 中，， （米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．(参考数据) 【答案】 有触礁危险，理由： 作交的延长线于D，由题意得，，， 设， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵6.928海里海里， ∴有触礁危险． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系．作交BC的延长线于D，由题意得，，，在中求出，在中求出，根据列方程求出x，进而可判断是否有触礁的危险． 【详解】略 25. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】根据，米，设，则，根据勾股定理求得，又设米，则米，米，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解． 【详解】解：在中，，米， 设，则，由， 得， 解得：， ∴米，米 又设米，则米，米 在中，， 则， ∴（米）， 在中，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴东楼的高度约为40米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县宰便中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测九年级数学试卷 (时间：120分钟　满分：150分　) 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α等于(　　) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 6. 如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（ ） A. 200米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 如图，在中，，，那么的值等于（ ）     A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____． 14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝_____度． 15. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为______m． 16. 如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知，．则__，的值为_____． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，菱形的边长为，求的长和菱形的面积． 19. 在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b； （2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c． 20. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 21. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 22. 在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根，求m的值及的度数． 23. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）. 24. 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．(参考数据) 25. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $