18．1　勾股定理 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

18．1　勾股定理 知识点1　勾股定理 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝5，则c的长为(　A　) A．13 B．14 C．15 D．16 2．(广西柳州期中)如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为(　A　) A．12 B．10 C．8 D．6 3．(广西来宾月考)如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为(　A　) A．AC＜BC B．AC＞BC C．AC＝BC D．无法确定 知识点2　勾股定理的证明 4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为(　C　) A．16 B．8 C．4 D．2 5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形ABCD，则AD的长为__10__． 　 知识点3　勾股定理的应用 6．(广西南宁月考)为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为(　A　) A．48 m2 B．20 m2 C．60 m2 D．30 m2 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数为(　C　) A． B． C． D．4 8．(广西崇左月考)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为__55__． 如图，∵图案由若干个正方形和直角三角形构成， ∴S1＝64＋a，S2＝a＋b，S3＝b＋c，S4＝c＋9.∴S1－S2＋S3－S4＝64＋a－(a＋b)＋b＋c－(c＋9)＝55. 易错易混点　忽视分类讨论出错 9．已知直角三角形的两条边长分别为3，4，求其周长p. 设直角三角形的第三条边长为x(x>0)，由题意，得32＋42＝x2或32＋x2＝42，解得x＝5或x＝，∴p＝3＋4＋5＝12或p＝3＋4＋＝7＋. 10．(广西钦州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是(　B　) A．6 B．5 C．13 D．12 如图，过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长. ∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE. ∵AB＝12，BD＝13，∴AD＝＝5， ∴DE＝5，即PD的最小值是5. 11．如图，点A(3，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__(0，4)__． ∵A(3，0)，C(－2，0)，∴AO＝3，AC＝5， ∴AB＝AC＝5，∵∠BOA＝90°， ∴BO＝＝＝4，∴B(0，4). 12．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长． 过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°， ∠A＝60°， AC＝2，∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝4， ∴BC＝＝＝2. ∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°， ∴BM＝BC＝，∴CM＝＝3. 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝， ∴CD＝CM－MD＝3. 【母题P57习题18.1T2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16.求△ABC的高AD的长． 如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵在△ABC中，AB＝AC＝17， BC＝16， ∴BD＝BC＝8， ∴在直角△ABD中，由勾股定理，得 AD＝＝＝15(cm). 【变式1】如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，求AD的长. 在Rt△BCD中，∠C＝90°， ∴由勾股定理，得BD＝＝＝5， 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴由勾股定理，得AD＝＝＝13. 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6，点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且DE⊥BC于点E，求DE的长． ∵∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6， ∴AB＝ ＝＝8. 过点D作DN⊥AB，DM⊥AC，垂足分别为N，M，连接DA. ∵点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点， 且DE⊥BC于点E， ∴DE＝DN＝DM， ∴DE×(AB＋AC＋AB)＝AB·AC， 即DE×(8＋6＋10)＝8×6， 解得DE＝2. 13．(创新意识&运算能力)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，求AP的长． 当∠APB＝90°时，如图1. 图1 ∵AO＝BO＝＝1， ∴PO＝BO. ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOP＝60°， ∴△BOP为等边三角形， ∴∠ABP＝60°， ∴∠BAP＝30°， ∴AP＝； 当∠ABP＝90°时，如图2， 图2 ∵∠AOC＝∠BOP＝60°， ∴∠BPO＝30°， ∴BP＝＝＝. 在直角三角形ABP中， AP＝＝； 当∠APB＝90°时，如图3. ∵AO＝BO，∠APB＝90°， ∴PO＝AO， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP＝AO＝1， 如图4中，当∠PAB＝90°时， ∴PA＝OA＝， 故AP的长为或或1. 　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18．1　勾股定理 知识点1　勾股定理 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝5，则c的长为(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 2．(广西柳州期中)如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 3．(广西来宾月考)如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为(　　) A．AC＜BC B．AC＞BC C．AC＝BC D．无法确定 知识点2　勾股定理的证明 4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形ABCD，则AD的长为__ __． 　 知识点3　勾股定理的应用 6．(广西南宁月考)为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为(　　) A．48 m2 B．20 m2 C．60 m2 D．30 m2 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图).以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数为(　　) A． B． C． D．4 8．(广西崇左月考)如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为__ __． 易错易混点　忽视分类讨论出错 9．已知直角三角形的两条边长分别为3，4，求其周长p. 10．(广西钦州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是(　) A．6 B．5 C．13 D．12 11．如图，点A(3，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__ __． 12．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长． 【母题P57习题18.1T2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16.求△ABC的高AD的长． 【变式1】如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，求AD的长. 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝6，点D是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且DE⊥BC于点E，求DE的长． 13．(创新意识&运算能力)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，求AP的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$