精品解析：福建省泉州市南安市侨光中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

侨光中学2025年春季高一年第1次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：刘姗姗 审核者： 谢真娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不能化简为是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法及运算性质，即可得到答案. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：D． 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 详解】由题意得， 所以. 故选：B 3. 设，向量，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求. 【详解】因为，所以， 即， 所以． 故选：D． 6. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 7. 已知中，，，则此三角形为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示： 设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 8. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合辅助角公式可得，根据图像变换结合诱导公式可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 将函数的图像向左平移个单位，所得， 因为为偶函数， 则，解得， 可得，结合选项可知：B正确，ACD错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 【答案】BC 【解析】 【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.  函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；  根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.   把点代入中，得到，即. 因为，所以，，解得，故B正确； 由上分析可得：. 令，解得. 当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象在上，其对称轴为，即. 若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.  故选：BC. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】对于A，因，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知：，故C错误； 对于D，若D为边上的中点，则， 所以 由余弦定理知，得， 又，所以， 当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式进行计算即可. 【详解】若扇形圆心角为，半径为，则弧长为：. 所以扇形的半径为. 故答案为： 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 14. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性可得，以为整体，结合题意可得其取值范围，再结合正弦函数零点运算求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 根据函数周期性可知：，即， 且，则，可得， 因为，则， 且， 因为函数在区间内没有零点，可知在区间内没有零点， 可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量坐标运算得，结合，求得实数； （2）根据向量与所成角为锐角，，解得.结合时，可得实数的范围. 【小问1详解】 ， ，解得 【小问2详解】 由（1）知，， 向量与所成角为锐角， ，解得. 又当时，，可得实数的范围为. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角. （2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，所以. 所以. 17. 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式可解得，从而得出解析式，结合正弦函数的单调性即可求得增区间； （2）根据伸缩平移变换可得的解析式，结合为对称中心，从而求得的最小值； （3）在（2）的条件下结合，利用三角函数的图象性质，数形结合即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减. 故函数的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由题意，的图象向右平移个单位， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 依题意，，解得， 因，则当时，此时的最小值为. 【小问3详解】 当取最小值时，， 当时，， 此时， 因恰有两个实数根，故与的图象有两个交点， 结合图象可知，即， . 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【小问1详解】 因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以. 【小问2详解】 设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，. （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高(用表示)； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）；. 【解析】 【分析】（1）计算，，得为正三角形，分别求出和的面积，相加即可得出结论； （2）计算，根据正弦定理得到，，得到答案； （3）根据正弦定理得到，，根据计算得到答案. 【详解】 （1），， ，又， ，又， 所以为正三角形，则， 在中，因为， 所以， 故四边形的面积； （2）因为，， 所以， 又因为灯柱与地面垂直，即， 所以， 因为， 所以， 在中，因为， 所以， 在中，因为， 所以. （3）在中，因为， 所以， 则， 因为， 所以， 所以当时，. 【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用.属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 侨光中学2025年春季高一年第1次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：刘姗姗 审核者： 谢真娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，，则此三角形（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 14. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求面积. 17. 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，. （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高(用表示)； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于函数表达式，并求出的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$