精品解析： 浙江省金华市东阳市五校联考2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年浙江省金华市东阳市五校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截止年月日时分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房含预售突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是( ) A. x＝1 B. x＝-1 C. x＝2 D. x＝-2 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 7. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 9. 若点，，其中都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（    ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 12. 若关于的方程的解为，则的值是_____． 13. 如图，点是外一点，是的切线，点为切点，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为______ 14. 将，，，，，这个数分别写在张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为有理数的概率是______． 15. 如图，由三个全等的三角形与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形若，则的长为______． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F，把四边形沿着折叠得到四边形．若，，则与的面积比为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程组： 19. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． （1）求的长． （2）求的正弦值． 20. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求的值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 21. 学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：，求作：的平分线． 作法：Ⅰ以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点 Ⅱ分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 Ⅲ画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______． A．SAS B．ASA C．SSS D． （2）下面是小明同学给出的方法： 如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与分别交于点E，F，连结交于点P，画射线，则平分 你认为小明的这种作角平分线的方法______． A．正确 B．不正确 （3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线： 如图3，在已知的边上分别取，再分别过点C，D作的垂线，两垂线相交于点P，画射线，则平分 请你帮这位同学证明：平分 22. 某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面高的楼顶起飞下降，时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，时乙无人机完成表演动作，以的速度继续飞行上升，时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1）______，______． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）两架无人机表演训练到多少时，它们距离地面的高度差为？直接写出答案即可 23. 已知二次函数的图象经过点 （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最大值为，将该函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与轴的交点分别为，，且若，求a的取值范围． 24. 如图1，，均内接于，点A，D在弦的同侧，是的直径， （1）求证：． （2）如图2，过点A作交于点F，交于点G，点E为垂足． ①求证：． ②若，记，求n与m之间的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省金华市东阳市五校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，根据负数总小于0，负数间比较大小，绝对值大的反而小即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴最小， 故选：D． 2. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是， 故选：B． 3. 截止年月日时分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房含预售突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由此即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是( ) A. x＝1 B. x＝-1 C. x＝2 D. x＝-2 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的乘方法则、举反例说明假命题的相关概念解答． 【详解】解：， 但， 当时，说明命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：， ， 点坐标为：， 故选：A 7. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 8. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等角对等边，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得因为，所以，即，再运用勾股定理列式，得，故阴影部分的面积，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：C． 9. 若点，，其中都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据反比例函数可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到、、的大小关系． 本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：反比例函数， 函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大． 又， ， 点在第二象限，在第四象限， ， ． 故选：B． 10. 如图，为的直径，是弦，将弧绕着点A按逆时针方向旋转得到弧，点D恰好落在上，弧与相交于点E，若，则的长为（    ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点F，连接，则，由旋转的性质得所在的圆与是等圆， ，则，依据“”判定和全等得，则，根据垂径定理得，进而得，则，进而得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，在中由勾股定理可求出，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F，连接，如图所示： ， ， 为的直径，是弦， ， 由旋转的性质可知：所在的圆与是等圆，， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂径定理得：， 所在的圆与是等圆，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的方程的解为，则的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，将代入得：，即可求解； 【详解】解：将代入得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴的值是； 故答案为： 13. 如图，点是外一点，是的切线，点为切点，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质和三角形的内角和定理以及圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 将，，，，，这个数分别写在张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为有理数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，实数，概率所求情况数与总情况数之比，直接利用概率公式求解即可求得答案，解题的关键是找到个数中有理数的情况数． 【详解】解：在，，，，，这个数中，有理数为：，，，，共个数， ∴从中随机抽取张，卡片上的数为有理数的概率是， 故答案为：． 15. 如图，由三个全等的三角形与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据全等三角形的性质得到，，则，再根据等边三角形的性质得到，过C点作于点，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则点与点E重合，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：， ∴，， ∴， 为等边三角形， ∴， 过C点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即点与点E重合， ∴， 在中，． 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F，把四边形沿着折叠得到四边形．若，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】连结、，作交的延长线于点H，由菱形的性质证明≌，得，所以，由折叠的性质证明，连结、，设交于点I，可证明，，结合相似三角形性质得到，设，结合三角函数，求得，进而得到，所以，结合矩形的判定与性质进而得到，，所以于是得到问题的答案． 【详解】解：连结、，作交的延长线于点H，则， 四边形是菱形，对角线，相交于点O， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠得，，，点与点D关于直线对称，点与点关于直线对称， ，，，垂直平分，垂直平分， ， 连结、，设交于点I，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、翻折变换的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用零指数幂，立方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法．根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入②得：， ， ∴方程组的解为． 19. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． （1）求的长． （2）求的正弦值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． 【小问2详解】 解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 20. 某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到）分别有：，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求的值及的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； （3）计算这箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量． 【答案】（1）；； 补全统计图如下所示： （2）这箱鸭梨的单箱净重的众数为，中位数为； （3）这箱鸭梨的单箱净重的平均数为，该果园鸭梨总产量为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，中位线，众数，平均数和用样本估计总体： （1）用重量为的箱数除以其所占百分比即可求出n的值，进而求出重量为的箱数，则可求出的度数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）利用加权平均数的计算方法先求出这箱鸭梨的单箱净重的平均数，进而求出该果园鸭梨总产量即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴净重为的鸭梨共有箱， ∴， 【小问2详解】 解：∵重量为的鸭梨箱数最多， ∴这箱鸭梨的单箱净重的众数为； 把这箱鸭梨的单箱净重按照从低到高排列，处在第10名和第11名的净重都为， ∴这箱鸭梨的单箱净重的中位数为 【小问3详解】 解：， ∴这箱鸭梨的单箱净重的平均数为， ∴该果园鸭梨总产量为． 21. 学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：，求作：的平分线． 作法：Ⅰ以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点 Ⅱ分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 Ⅲ画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______． A．SAS B．ASA C．SSS D． （2）下面是小明同学给出的方法： 如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与分别交于点E，F，连结交于点P，画射线，则平分 你认为小明的这种作角平分线的方法______． A．正确 B．不正确 （3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线： 如图3，在已知的边上分别取，再分别过点C，D作的垂线，两垂线相交于点P，画射线，则平分 请你帮这位同学证明：平分 【答案】（1）C； （2）A； （3）见解析 【解析】 【分析】连接，利用证明即可； 由作法得则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分； 由作法得，则可判断，从而得到平分； 【小问1详解】 解：连接， 由作法得， ， ， ； 故选：C； 【小问2详解】 由作法得，可知 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， 即平分 故选：A； 【小问3详解】 证明：由作法得， ， ， ， 平分 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图作已知角的角平分线是解题的关键． 22. 某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面高的楼顶起飞下降，时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，时乙无人机完成表演动作，以的速度继续飞行上升，时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1）______，______． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）两架无人机表演训练到多少时，它们距离地面的高度差为？直接写出答案即可 【答案】（1）3，24； （2）； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间求出时乙无人机距离地面的高度，即b的值；再根据速度路程时间求出a的值即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据甲、乙两架无人机y与x之间的函数关系式，分别计算当、时，它们距离地面的高度差为时对应x的值即可． 【小问1详解】 解：时乙无人机距离地面的高度为， ， 前甲无人机的速度为， ， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的函数表达式为（、b为常数，且） 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为 【小问3详解】 解：当时，甲无人机y与x之间的函数关系式为； 当时，乙无人机y与x之间的函数关系式为， 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得或； 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得 答：两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为 23. 已知二次函数的图象经过点 （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最大值为，将该函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与轴的交点分别为，，且若，求a的取值范围． 【答案】（1）直线； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到函数的最值、一元二次方程根和系数关系得运用等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式得，则，即可求解； （2）求出抛物线的表达式为：，得到新抛物线的表达式，即可得到答案； （3）根据题意得到，求出，求得． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线表达式得 则， 抛物线的对称轴为直线，即； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 该函数的顶点坐标为， 函数的最大值为 ， ， 故抛物线的表达式为：， 则新抛物线的表达式为：， ， 当时，新的二次函数的最大值最大值为 当时，函数的值最小，最小值为 新的二次函数的最大值与最小值的和； 【小问3详解】 解：的图象与轴的交点分别为，， 由（1）知， 令，则， ， ， 解得：． 24. 如图1，，均内接于，点A，D在弦的同侧，是的直径， （1）求证：． （2）如图2，过点A作交于点F，交于点G，点E为垂足． ①求证：． ②若，记，求n与m之间的函数表达式． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角形函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上知识正确添加辅助线． （1）延长交于点E，证明，得出； （2）①由直角三角形的性质证出，由相似三角形的判定可得出结论； ②由相似三角形的性质得出，证明，得出，则，可得出结论． 【小问1详解】 证明：延长交于点E， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $