精品解析：山东省潍坊第一中学2024-2025学年高一下学期开学收心考试数学试题

高78级开学收心考试 数学试题 2025.2 一、单选题 1. 已知集合，集合，集合，则集合，，的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合，根据绝对值不等式的解法可求出集合，根据分式不等式的解法可求出集合，从而可得出集合，，间的关系. 【详解】解：由于， ， ， 可知，. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力. 2. 下列函数相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项的正误. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D 3. 某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（ ） A. 至少有一次中靶 B. 三次都不中靶 C. 恰有两次中靶 D. 至少两次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】结合互斥事件，对立事件的概念逐一判断选项. 【详解】解：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误. 故选：C 4. 下列说法错误的是（ ）． A. 向量与向量长度相等 B. 起点相同的单位向量，终点必相同 C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 5. 不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，得到不等式恒成立；当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，不等式对一切恒成立， 当时，即时，不等式恒成立，符合题意； 当时，即时， 要使得不等式对一切恒成立， 则满足，解得， 综上，实数a取值范围是. 故选：B. 6. 在矩形ABCD中，||=4, ||=2, 则向量的长度等于 A. 2 B. 4 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】 ，选B. 7. 在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，根据共线可设，，结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值. 【详解】由题设，，又，且， 所以，即，解得. 故选：B. 8. 在中，，，且与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 依题意、、三点共线，故， 所以 ， 、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得， 所以，又，所以， 所以. 故选：B 二、多选题 9. (多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到或，即可求出，再代入检验即可； 【详解】解：因为，所以．因为，，所以或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，，符合题意．综上，或； 故选：AD 10. 若，，则下列说法正确是（ ） A. 若事件相互独立，则事件也互斥 B. 若事件相互独立，则事件不互斥 C. 若事件互斥，则事件也相互独立 D. 若事件互斥，则事件不相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可. 【详解】对于AB，若事件相互独立，则， 所以事件不互斥，故A错误，B正确； 对于CD，若事件互斥，则，又， 所以，则事件不相互独立，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可. 【详解】A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G重心，所以，所以， 同理所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若，则方程有实根的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用判别式求出的范围，然后根据可取的值得概率. 【详解】方程有实根, ，解得， 又， 可取的值的集合为， 则方程有实根的概率为. 故答案为：. 13. 设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线定理可求出结果. 【详解】因为向量与反向共线， 所以存在，使得，即， 又向量和不平行，所以，所以. 故答案为：. 14. 在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于(不与点 A重合），若，其中，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 中，为边的中点，为的中点， 且， ， ， 同理，， 又与共线， 存在实数，使， 即， ，解得， ， 当且仅当时， “=”成立，故答案为. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 四、解答题 15. 化简下列各向量的表达式： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）. （2）. （3） 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]． （1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值； （2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式． 【答案】（1）最大值37，最小值1； （2）g（a） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，再代入求值； （2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论最小值取法，最后写成分段函数形式. 【详解】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴函数f（x）的最大值f（﹣5）=37，最小值f（1）＝1； （2）已知函数f（x）＝x2+2ax+2＝（x+a）2+2﹣a2 ∴函数的图象为开口方向向上的抛物线，对称轴的方程为：x＝﹣a ①当﹣5≤a≤5时：f（x）min＝f（﹣a）＝2﹣a2 ②a＜﹣5时：f（x）min＝f（5）＝27+10a ③当a＞5时：f（x）min＝f（﹣5）＝27﹣10a 综上所述：g（a）. 【点睛】本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 17. 已知是定义在R上的奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质以及列方程求解； （2）先分析的单调性，再利用单调性解不等式. 【小问1详解】 由题意,解得，则， 经检验：，故，. 【小问2详解】 设R上任意实数，且， 则， 所以在R上是增函数, 则，故. 解得. 18. 如图所示，在中，，，与相交于点，设，. （1）试用向量表示； （2）过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解； （2）设，由及三点共线联立即可求解. 【小问1详解】 因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. 【小问2详解】 设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用. 19. 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． （1）若点O满足，证明：． （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可； (2)由(1) ，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值． 【小问1详解】 由题可知， 因为点E为AD的中点，所以． 由，则，即， ， 又 所以，又三点不共线， 所以． 【小问2详解】 因为M，N，E三点共线， 所以可设，又，， 所以 又， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高78级开学收心考试 数学试题 2025.2 一、单选题 1. 已知集合，集合，集合，则集合，，的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数相等是（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 3. 某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（ ） A. 至少有一次中靶 B. 三次都不中靶 C 恰有两次中靶 D. 至少两次中靶 4. 下列说法错误的是（ ）． A. 向量与向量长度相等 B. 起点相同的单位向量，终点必相同 C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动 5. 不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 在矩形ABCD中，||=4, ||=2, 则向量的长度等于 A. 2 B. 4 C. 12 D. 6 7. 在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，且与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. (多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件相互独立，则事件也互斥 B. 若事件相互独立，则事件不互斥 C. 若事件互斥，则事件也相互独立 D. 若事件互斥，则事件不相互独立 11. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若，则方程有实根的概率为________． 13. 设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数=______. 14. 在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于(不与点 A重合），若，其中，则的最小值是_____． 四、解答题 15. 化简下列各向量的表达式： （1）； （2）； （3）； 16. 已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]． （1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值； （2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式． 17. 已知是定义在R上的奇函数，且. （1）求实数a，b值； （2）若，求实数m的取值范围. 18. 如图所示，在中，，，与相交于点，设，. （1）试用向量表示； （2）过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 19. 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． （1）若点O满足，证明：． （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$