第四章 三角形（单元重点综合测试A卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 三角形（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （题1图）（题5图）（题6图） 2．、是的内角，如果，，则是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 3．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（    ）． A．8 B．10 C．9 D．8或10 5．如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）   A． B． C． D． 7．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的高 D．是的中线 8．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 10．如图，，，则，应用的判定方法是 ． 11．如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． （题11图）（题12图）（题13图） 12．如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍与高楼之间选定一点，在点处用测角仪测得木棍顶端的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与木棍高度相等，都等于，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 13．如图，在中，，为的中点，点为内一动点，点为中点，，，当最小时，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知有一条边长为的等腰三角形的周长为，求三角形另外两边长． 15．（5分）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 16．（5分）如图，在和中，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 17．（5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 18．（6分）已知：如图，，垂足分别B、E，相交于点F，且．求证：． 19．（6分）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（6分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 21．（7分）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 22．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 23．（8分）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 24．（10分）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．    (1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据，线段长度用、、表示，角度用、、表示；(不要求写出测量过程) (3)根据你测量的数据，计算A、之间的距离．(用含、、或、、的式子表示) 25．（10分）【问题呈现】 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 2．、是的内角，如果，，则是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】三角形按角的大小可以分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可知，, ∴是锐角三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形按角的分类，掌握三角形的分类知识是解题的关键． 3．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 故选：． 4．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（    ）． A．8 B．10 C．9 D．8或10 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的定义，可以得出，三角形分两种情况：2，2，4或2，4，4；同时三角形的三边还要符合三边关系，所以排除2，2，4，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，三角形的三边长可能为：2，2，4或2，4，4 又∵2+2=4， ∴2，2，4不符合题意 即，三角形的周长为：2+4+4=10． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，注意排除不能组成三角形的情况是本题型的易错点． 5．如图，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：C． 6．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 7．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的高 D．是的中线 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 【详解】解：A、， 是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意； B、， 是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意； C、，， 是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意； D、为的中点， 是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为， 设运动时间为t，则，， ∴，， ∵ ∴ ∴当时 ∴， ∴， ∴， ∴当时 ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为5时，与全等． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，，，则，应用的判定方法是 ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，发现隐含条件（公共边相等）是解题的关键． 直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 12．如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍与高楼之间选定一点，在点处用测角仪测得木棍顶端的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与木棍高度相等，都等于，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，，为的中点，点为内一动点，点为中点，，，当最小时，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两点之间线段最短，找中点，连接，证明，则，故有，当点三点共线时最小，且为的长，最后证明是等腰直角三角形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时最小，且为的长， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知有一条边长为的等腰三角形的周长为，求三角形另外两边长． 【答案】等腰三角形另外两条边长分别为和． 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【详解】解：若长的边为底边，设腰长为， 则， 解得， 若长的边为腰，设底边为， 则， 解得． ∵， ∴这不能构成三角形． 所以等腰三角形另外两条边长分别为和． 15．（5分）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查与三角形高有关的计算，先利用三角形的面积求出，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，△的面积为20， ， ， ， 点为边上的中点， ． 16．（5分）如图，在和中，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等、全等三角形的判定等知识点；灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据题意添加符合题意的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）添加的条件是． （2）证明：在和中， ， ， ． 17．（5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了作三角形，全等三角形的判定定理；根据题意作，，则即为所求． 【详解】解析：如图所示，即为所求． 根据作图可得，， ∴是和原三角形全等的三角形． 依据的是 18．（6分）已知：如图，，垂足分别B、E，相交于点F，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即和．由条件可求得，利用可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴． 19．（6分）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】两直线平行内错角相等、全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ． 20．（6分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可根据“”得到三角形全等，进而问题可求解 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 21．（7分）如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ． 22．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】重心的概念、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 23．（8分）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得． 【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 24．（10分）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．    (1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据，线段长度用、、表示，角度用、、表示；(不要求写出测量过程) (3)根据你测量的数据，计算A、之间的距离．(用含、、或、、的式子表示) 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 (3)、之间的距离为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及边的全等三角形，如解析所示． （2）在湖岸上找可以直接到达A，的一点，构即可． （3） 利用定理，由，易证，推得，则的长度就是的长度． 【详解】（1）测量示意图如图所示；    （2）在湖岸上找可以直接到达A，的一点，连接并延长到使，连接并延长到点使，连接，则测量的长度，即为的长度为； （3）设， 由测量方案可得，， 在和中， ， ≌ ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形． 25．（10分）【问题呈现】用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$