精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期4月二模测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期04月二模测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. {1，3} B. C. D. 2. 设复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 6. 将数列中与数列相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列，则数列前10项的和为（ ） A. 205 B. 234 C. 239 D. 290 7. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且 ，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线在y轴上的截距为1 B. 直线的倾斜角为 C. 直线与圆有2个交点 D. 圆上的点到直线的最大距离为 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定 C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球 11. 已知函数，其中，，则（ ） A. 若存在最小正周期且，则 B. 若，则存在最小正周期且 C. 若，，则的所有零点之和为2 D. 若，，则在上恰有2个极值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________________. 13. 在的展开式中，含项的系数为_______. 14. 已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为 ， 的面积.若，则椭圆的离心率为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列 满足 ， . （1）求，，； （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列 的前 项和. 16. 某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到） （3）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出 人作为代表发言，求这 人中至少有人的年龄在的概率． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD， ，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC； （2）求平面AEF与平面PDC夹角的最小值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于t的方程有两个不相等的实根，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期04月二模测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. {1，3} B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可. 【详解】∵集合，， 所以， 故选：C. 2. 设复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数，根据纯虚数的概念以及复数的模长公式可求出结果. 【详解】设， 则 ， 依题意得，即， 则. 故选：A 3. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值以及既不充分也不必要条件的定义可得答案. 【详解】当，时，不能推出； 当，时，不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的母线为，高为，由题意可知，圆锥的底面半径为， 圆锥的侧面积为，所以， 故，所以该圆锥的体积为， 故选：D. 5. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解. 【详解】令直线 的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 6. 将数列中与数列相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列，则数列前10项的和为（ ） A. 205 B. 234 C. 239 D. 290 【答案】C 【解析】 【分析】先设数列中第项与数列中第 项相同，得，进而可得数列的前10项，进而可得. 【详解】设数列中第项与数列中第 项相同，则， 所以，即数列中的第4项，第6项，第8项，…是相同的，均被剔除． 所以数列的前10项为：2，5，8，14，20，26，32，38，44，50． 所以数列前10项的和为． 故选：C． 7. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且 ，将 沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，， ，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案. 【详解】设，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 又，则， ，所以 ， 对于，令，则， 此时， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法： （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线在y轴上的截距为1 B. 直线的倾斜角为 C. 直线与圆有2个交点 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD. 【详解】A.当时， ，直线在y轴上的截距为1，故A正确； B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确； C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确； D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误. 故选：ABC 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定 C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球 【答案】AB 【解析】 【分析】根据比赛平均失球数及方差分别判断各个选项即可. 【详解】甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均来说甲队比乙队防守技术好,A选项正确； 甲队每场比赛平均失球数方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数方差是0.4，乙队比甲队的防守技术更稳定,B选项正确； 甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，甲队的平均失球数比乙队少, 但是每轮比赛甲队的失球数不一定比乙队少,C选项错误； 甲队每场比赛平均失球数是1.5；乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均失球数是3.6, 乙队有一半的场次不失球则每场比赛平均失球数要小于1.8，D选项错误. 故选:AB. 11. 已知函数，其中，，则（ ） A. 若存在最小正周期且，则 B. 若，则存在最小正周期且 C. 若，，则的所有零点之和为2 D. 若，，则在上恰有2个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】由求出可判断A；若，当时，，可判断B；当，时，化简，即所以的所有零点之和，即与 的交点的横坐标之和，画出图象可判断C；当，，则，对求导，令 ，则，则在的极值点个数，即图象的交点个数，画出图象可判断D. 【详解】对于A，若存在最小正周期且，则，解得：，故A正确； 对于B，若，当时， ， 所以，故B不正确； 对于C，令，则， 当，时，， ， ， 所以，即， 所以的所有零点之和，即与 的交点的横坐标之和， 如下图， 与 的有3个交点（从左到右）为，且与 的关于对称， 故， ，则，故，C不正确； 对于D，当，，则， 即， 因为，，令 ，则， 则，则在的极值点个数， 即图象的交点个数，如下图， 故图象有2个交点，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分，利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】由得，整理得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 13. 在的展开式中，含项的系数为_______. 【答案】32 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解. 【详解】展开式的通项， 令，则， 所以含项的系数为. 故答案为：. 14. 已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为 ， 的面积.若，则椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设可得，再由三角形的面积公式将化简为①，再由可得，代入①可得，化简即可求出椭圆的离心率. 【详解】设，故， 则，，所以， ①， 令中，所以，解得 故，即， 所以， 所以代入①可得：， 所以， 则， 即， 即， 即，即， 即，故，解得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由三角形的面积公式将化简为，再由勾股定理求出，代入化简即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列 满足 ， . （1）求，，； （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列 的前项和. 【答案】（1）1,3,7； （2）是等比数列，理由如下： 由 知 ，即. ∴是以 为首项，公比为2的等比数列. （3） . 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，逐项计算，即可得出结果； （2）根据 得到，进而可得出结论，求出结果； （3）根据分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）由 及 知 ， 解得： ，同理得，. （2）是等比数列，理由略 （3）∵，∴. ∴ . 【点睛】本题主要考查递由推公式证明数列是等比数列、以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型. 16. 某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到） （3）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为求出； （2）利用百分位数的计算公式计算出中位数； （3）利用列举法求解古典概型的概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，所以． 【小问2详解】 因为前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在中，故中位数的估计值为． 【小问3详解】 由题可知抽出的篇文章的作者中，年龄在的有人，记为、， 年龄在的有人，记为、、， 现从这个人中选出人，所有不同的结果有 种： 、、、、、、、、、. 至少有人的年龄在内对应的不同的结果有种： 、、、、、、，所以所求概率． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求 的面积. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义及正弦定理得，.再结合三角形的性质建立方程求解即可； （2）根据正弦定理及面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 在 中有. 即. 因为，由正弦定理可得，即. 同理， 由正弦定理可得，即. 在 中有. 解得，，. 由 ，得：. 【小问2详解】 面积 ，代入，，整理得：. 由（1）知，，即，. 中，由正弦定理可得，即. 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD， ，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC； （2）求平面AEF与平面PDC夹角的最小值. 【答案】（1）证明： 中，E为PB的中点，所以. 在正方形ABCD中，. 因为平面ABCD，平面ABCD，即. 又因为，平面PAB，所以平面PAB. 平面PAB，即，又因为，，平面PBC. 所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面； （2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直. 以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 有，，，，， PB中点，设，. ，，，. 设平面PCD的法向量，由， 得，取. 设平面的法向量，由， 得，取. 所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为. 令，， 则， 所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值， 此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于t的方程有两个不相等的实根，求证：． 【答案】（1） 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）证明： 方程可化为，即当 时 令，则原问题即：当 时，有两不等实根，求证： 由（1）知：当 时，在上单调递增，在上单调递减． 不妨设 当时，令则 在上单调递减，在上单调递增，． 所以所以 解得，且当时取等                 ① 当时，令，则． 在 上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 整理得 解得，当时取等                      ② 由①+②得： 即原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再对的范围分类讨论，根据的正负即可得到的单调性. （2）方程可化为，令，此题可变为：当 时，有两不等实根，求证：.当时令，讨论的单调性、最值，可得.当时，令，讨论的单调性、最值，可得，两式相加即可证明. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以． ①当时，令，解得 即当时， 单调递增：当时，单调递减； ②当时在单调递增； ③当时令，解得， 即当时，单调递减；当时， 单调递增； 综上：当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数解决双变量的问题，需要根据题意消去参数，再换元构造函数分析单调性与最值证明不等式，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $