精品解析：重庆市清华中学教育集团2024-2025学年下期九年级数学第一阶段定时作业

重庆市清华中学教育集团2024－2025学年下期 九年级数学第一阶段定时作业 总分：150分 考试时间：120分钟 注意：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是轴对称图形的判定，利用轴对称图形的定义判断一个图形是否为轴对称图形是解决此题的关键． 根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两端完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，判断即可． 【详解】解：A选项不是轴对称图形，故不选A； B选项是轴对称图形， 故选B； C选项不是轴对称图形，故不选C； D选项不是轴对称图形，故不选D 故选：B 3. 如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（ ）边形 A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 【答案】D 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故选：D 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，那么与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比， 故选：C． 5. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识．根据题意，由平行线的性质得到，得到，根据直角三角形两锐角互余即可得到． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， 故选：B ． 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，无理数的估算，先计算出结果是估算的前提．先计算和的差，再估算结果的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此排列下去，则第10个图案中用的正方形的个数是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中用的正方形个数为：； 第②个图案中用的正方形个数为：； 第③个图案中用的正方形个数为：； ， 所以第个图案中用的正方形个数为个， 当时， （个， 即第10个图案中用的正方形个数为22个． 故选：C． 8. 如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图形面积，扇形面积公式，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设两弧交于点F，过点F作于点E，连接，，首先证明出是等边三角形，然后求出，，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设两弧交于点F，过点F作于点E，连接，， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等边三角形 ∵ ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查折叠的性质，三角函数的应用，正方形的性质；设，则，结合折叠的性质和正方形的性质可得，从而求得，进而可得，由，，得，，最后求得的值． 【详解】解：设，则， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∵正方形，，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减，理解“绝对操作”的定义是解题的关键． 根据“绝对操作”的定义，对多项式进行“绝对操作”逐项判断即可． 【详解】解：①根据绝对值的非负性可得，所有最终结果的乘积非负，说法正确； ②当时，若，绝对操作”的所有最终结果：， ∴“绝对操作”的所有最终结果的和为8，不为0； 故②错误； ③若，则共有10种不同的最终结果， 分别为：，， ，， ， ， ． 故③错误． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂．根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 若是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到 ，再解分式方程确定的值即可得到答案．正确计算是解题的关键． 详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∵关于的不等式组至少有三个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴且， ∴且，同时是偶数， 则所有满足条件的整数有：，0，4，6 ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：8． 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】，过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， 则，， ∵点是的中点， ∴ ，， ∵为圆直径， ∴ ∴， ∴， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含） ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则______；若“倍和数”百位上的数字与十位上的数字之和为，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．根据题意直接计算，即可求出答案；设四位数m为，可推得能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：根据题意：， 设四位数m为， ∵m是“倍和数”， ∴， ∴， ∴， ∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，，，， ∴， ∵ ∴， ∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数， 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 故所有满足条件的“倍和数”为，，， ， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握乘法公式和分式的运算法则是解题的关键． （1）利用乘法公式和多项式除以单项式进行计算，再进行加减法即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， 且． ①______． ， ，同理可得，． ②______ ． ③______． 又， ，同理可得，． ． ④______． 四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤平行四边形 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可解题； （2）根据平行四边形的性质证明，得出，证明，得出四边形是平行四边形，然后得到结论即可． 【小问1详解】 如图，点E即为所作； 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， 且 ， ，同理可得， ， ， ， 又， ，同理可得，， ， ， 四边形是平行四边形． 已知：如图，在矩形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为矩形， 且 ， ，同理可得， ， ， ， 又， ，同理可得，， ， ， 四边形是平行四边形． ∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形． 19. 科教兴国，科普为先．某校组织七、八年级学生参加了“科普赋能，智行未来”科普知识竞赛．现从该校七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：68，76，78，79，85，85，85，85，86，86，86，88，89，90，91，92，94，97，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：82，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中、的值：______，______； （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）85，88 （2）八年级的学生掌握科普知识较好．理由见解析 （3）人． 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数的意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为85， ． 八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人）， 在组中的人数为（人）， 将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为87，89， ， 故答案为：85，88； 【小问2详解】 解：八年级的学生掌握科普知识较好．理由如下： 七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大， 所以八年级的学生掌握科普知识较好． 【小问3详解】 解：由题意可知，八年级抽取的学生成绩达到90分及以上的学生共有（人）， （人）． 两个年级成绩达到90分及以上的学生共有人． 20. 某大型品牌书城购买了、两种新出版书籍，已知每本书籍的进价是书籍的两倍，商家用1800元购买的书籍的数量比用1200元购买的书籍的数量少20本． （1）求商家购买每本书籍和每本书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当书籍的售价为每本39元，书籍的售价为每本24元时，平均每天可卖出50本书籍，25本书籍．据统计，书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进的销量，想使书籍和书籍平均每天的总获利为775元且书籍的售价不低于21元，则每本书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买每本书籍的进价为30元，购买每本书籍的进价为15元． （2）每本书籍的售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买每本书籍的进价为元，则购买每本书籍的进价为元，根据商家用1800元购买的书籍的数量比用1200元购买的书籍的数量少20本建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据使书籍和书籍平均每天的总获利为775元列方程并解方程求出的值，再根据书籍的售价不低于21元，选择值即可． 【小问1详解】 解：设商家购买每本书籍的进价为元，则购买每本书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买每本书籍的进价为30元，购买每本书籍的进价为15元． 【小问2详解】 解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 解得或， ∵书籍的售价不低于21元，， ∴， 答：每本书籍的售价为元． 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线（不含、端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．同时动点从点出发，沿着（不含端点）方向运动，速度为每秒个单位，到达点停止运动，连接、，设点的运动时间为秒，的面积为，与的面积之比为，请解答下列问题： （1）直接写出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）图象见解析；函数的一条性质：当时，取得最大值为6（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数解析式，涉及解直角三角形，勾股定理，画函数图象，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用． （1）先由勾股定理求出，当，；当时，过点P作于点，此时，解直角三角形求出，那么，即可得到关于的函数关系式；而，即可得到关于的函数关系式； （2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图象即可写出的一条性质； （3）当时，即找出图象在图象上方时，所对应的横坐标的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当，； 当时，过点P作于点，此时 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：，的函数图象如图： 函数的一条性质：当时，取得最大值为6（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当时，． 22. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处． （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）小红先到达景点B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，先解求出，再解求出的长即可得到答案； （2）过点E作于G，则四边形是矩形，可得米，解直角三角形求出的长，再分别计算出两人需要的时间即可得到结论． 【小问1详解】 解；如图所示，过点B作于F， 由题意得，，， 在中，米，， 在中，米， ∴米， 答：景点与景点之间的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形， ∴米， 在中，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， ∵，，且， ∴小红先到达景点B． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值； （3）点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，根据题意可知，，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知点的坐标为，进而利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，得点的坐标为，则，可知，可得当时，的面积取得最大值，所以，此时点的坐标为，点的坐标为，，的周长，则只需取得最小值即可，作点关于轴对称的点，连接，，可知，当点在直线上时取得等号，利用勾股定理求得的长度即可求解； （3）由题意可知新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得，可知在新抛物线上，得，，，当点在下方时，连接交轴与，过点作，设，由，得，在、中解直角三角形，求得点的坐标为，得直线的解析式为，进而可得点的坐标；过点作轴交于点，解直角三角形求得点的坐标为，作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意，可知为的中点，则点的坐标为，同上即可求得另一点的坐标． 【小问1详解】 解： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 又∵， ∴， 可得：，， 即：点的坐标为，点的坐标为， 将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 当时，，则点的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得：， 即：直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，的面积取得最大值， 所以，此时点的坐标为，点的坐标为，， 的周长，则只需取得最小值即可， 作点关于轴对称的点，连接，， 则点的坐标为，， ∴，当点在直线上时取得等号， ∵， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为； 小问3详解】 ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， 即：新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴， 当时，，则在新抛物线上， ∵点的坐标为， ∴，，，，， 则，，， 当点在下方时，连接交轴与，过点作， 设， ∵，则， ∴在中，，， 在中，，， ∴，则， ∴，即， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，，可得，解得：， ∴直线的解析式为， 得，解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 过点作轴交于点，， ，， ∴， ∴点的坐标为， 作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意， ∴为的中点，则点的坐标为， 同理，可得直线的解析式为， 得，得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，利用轴对称的性质求解，二次函数的平移，解直角三角形等知识点，构造直角三角形，解直角三角形得点的坐标是解决问题的关键． 24. 在等边中，点是射线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交干点，，求的面积； （2）如图2，若，连接、，求证：； （3）如图3，若，，连接，，，当最小时．直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先证明为等边三角形，得，，则，由旋转可知，，，再证，得，进而可知，则，，过点作，则，即可求解； （2）结合等边三角形的性质，在上截取，则为等边三角形，，证明，得，，由旋转可知，，，则，在上截取，连接交于，然后证，得，，再证四边形为平行四边形，得，设，则，求得，，进而可知，得，再证为等边三角形，得，进而可证明结论； （3）结合题意可知，，将绕点逆时针旋转得到，则，，可证明，得，延长至，使得，则，得为等边三角形，可知，，则，即点在直线上，延长交延长线于点，则为等边三角形，进而可知，即为的中点，得，，由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，过点作，求得，可得四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：在等边中，，， ∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴，则为等边三角形，， ∴，则， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 过点作，则， ∴的面积为； 【小问2详解】 证明：在等边中，，， 在上截取，则为等边三角形，， ∴，， 则， ∵，则 ∴， ∴，， 由旋转可知，，，则， 在上截取，连接交于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，则四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则； 【小问3详解】 等边中，，，则， ∵， ∴，， 由旋转可知，，， 将绕点逆时针旋转得到，则，， ∴，， ∴， ∴， 延长至，使得，则， ∴为等边三角形， ∴，， 则，即点在直线上， 延长交延长线于点，则为等边三角形， ∴， ∵，即为的中点， ∴，， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小， 过点作，则， 四边形的面积， 即当最小时，四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，平行四边形的判定及性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形及等边三角形，得点的运动轨迹是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市清华中学教育集团2024－2025学年下期 九年级数学第一阶段定时作业 总分：150分 考试时间：120分钟 注意：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（ ）边形 A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，那么与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此排列下去，则第10个图案中用的正方形的个数是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 8. 如图，在正方形中，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧．若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 计算：______． 12. 若是方程的一个实数根，则的值为______． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 14. 已知关于不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和为______． 15. 如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 16. 一个各个数位上数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则______；若“倍和数”百位上的数字与十位上的数字之和为，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的和为______． 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， 且． ①______． ， ，同理可得，． ②______ ． ③______． 又， ，同理可得，． ． ④______． 四边形平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 19. 科教兴国，科普为先．某校组织七、八年级学生参加了“科普赋能，智行未来”科普知识竞赛．现从该校七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：68，76，78，79，85，85，85，85，86，86，86，88，89，90，91，92，94，97，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：82，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中、的值：______，______； （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1000名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 20. 某大型品牌书城购买了、两种新出版书籍，已知每本书籍的进价是书籍的两倍，商家用1800元购买的书籍的数量比用1200元购买的书籍的数量少20本． （1）求商家购买每本书籍和每本书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当书籍的售价为每本39元，书籍的售价为每本24元时，平均每天可卖出50本书籍，25本书籍．据统计，书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进的销量，想使书籍和书籍平均每天的总获利为775元且书籍的售价不低于21元，则每本书籍的售价为多少元？ 21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线（不含、端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．同时动点从点出发，沿着（不含端点）方向运动，速度为每秒个单位，到达点停止运动，连接、，设点的运动时间为秒，的面积为，与的面积之比为，请解答下列问题： （1）直接写出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 22. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处． （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． （1）求抛物线表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值； （3）点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 24. 在等边中，点是射线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交干点，，求的面积； （2）如图2，若，连接、，求证：； （3）如图3，若，，连接，，，当最小时．直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $