专题 一元二次方程应用的常见题型（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 一元二次方程应用的常见题型 题型一 规则图形的面积问题 1．（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？ 【分析】设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，根据矩形花园所占面积为荒地面积的一半，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米， 根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）16×12， 整理得：x2﹣14x+24＝0， 解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽为2米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中阴影部分）做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长． 【分析】设剪去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体的长为（11﹣2x）cm．宽为（7﹣2x）cm，再根据长方形面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm， 由题意得， （11﹣2x）（7﹣2x）＝21， 解得x＝2（不合题意的值舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为2cm． 【点评】本题主要考查了一元二次方程与几何图形，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 3．（2024•河口区校级模拟）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）． （1）求矩形花坛的宽是多少米； （2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米． 【分析】（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，根据阴影铺设地砖的面积是1125平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工（400﹣y）平方米，根据所需工程款＝甲工程队所需工程款+乙工程队所需工程款，结合完成此工程的工程款不超过42000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米， 依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125， 整理得：x2+15x﹣100＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）． 答：矩形花坛的宽是5米． （2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米， 依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000， 解得：y≥300． 答：至少要安排甲队施工300平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 4．（2024秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm） 【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据纸盒侧面积为32cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合底面积大于侧面积，可确定x的值，再将其代入（10﹣2x）中，即可求出结论． 【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm， 根据题意得：4x（10﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x1＝1，x2＝4， 当x＝1时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合题意，此时10﹣2x＝10﹣2×1＝8； 当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合题意，舍去． 答：该有盖纸盒的底面边长为8cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024春•庐阳区校级期中）如图，已知线段AB＝10cm，点C在线段AB上，分别以AC，BC，AB为边向下作正方形． （1）当阴影部分的面积为42cm2时，请求出AC的长； （2）阴影部分的面积能否为60cm2？如果能，请求出AC的长；如果不能，请说明理由． 【分析】第（1）问设AC长为x，根据两个小正方形面积与阴影部分面积和等于大正方形面积可列出一元二次方程，求解即可． 第（2）问可先假设阴影部分面积可以是60cm2，然后根据沿用第（1）问等量关系列出一元二次方程，再根据该一元二次方程是否有解来判断阴影部分面积能否为60cm2． 【解答】解：（1）设AC长为xcm，则BC的长为（10﹣x）cm， 由题意得， x2+（10﹣x）2+42＝102， 化简整理得，x2﹣10x+21＝0， 解得，x1＝3，x2＝7， 当AC＝3cm时，BC＝10﹣3＝7cm， 当AC＝7cm时，BC＝10﹣7＝3cm， 答：AC的长为7cm或者3cm． （2）阴影部分面积不可能是60cm2， 理由：假设AC长为ycm时阴影部分面积为60cm2， 由题意可得， y2+（10﹣y）2+60＝102， 化简整理得，y2﹣10y+30＝0， 此方程根的判别式Δ＝（﹣10）2﹣4×30＝﹣20＜0，说明该方程无解， ∴阴影部分面积不可能是60cm2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系并列出一元二次方程时解决此类问题的关键． 题型二 边框与甬道问题 1．（2024•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 整理得：x2﹣15+14＝0， 即（x﹣1）（x﹣14）＝0， 解得：x1＝1，x2＝14， 当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：人行通道的宽度是1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024秋•绥中县期末）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 【分析】设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，根据所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【解答】解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm， 依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1）， 整理得：8x2﹣22x+5＝0， 解得：x1，x2， 当x时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去； 当x时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意， ∴5x，4x＝1． 答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024•大同二模）如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度． 【分析】设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（30﹣2x）为正值，即可得出花带的宽度为5m． 【解答】解：设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， 依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20， 整理得：x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝5，x2＝30． 当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合题意； 当x＝30时，30﹣2x＝30﹣2×30＝﹣30＜0，不符合题意，舍去． 答：花带的宽度为5m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2024•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？ 【分析】设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根据停车位占地面积为640m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是6米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024秋•富县期末）项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如图．其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是1064m2；如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【分析】任务1：设图1中道路的宽度为x m，由平移可确定合成草坪的长和宽，依题意得，（40﹣x）（30﹣x）＝1064，计算求出满足要求的解即可； 任务2：设道路的宽度为y m，依题意得，，可求y1＝5，y2＝30（舍去），即道路宽为5m，由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为5m的正方形，然后求面积即可． 【解答】解：任务1：设图1中道路的宽度为x m， 依题意得，（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 解得，x1＝2，x2＝68（舍去）， ∴图1中道路的宽度为2m， 答：图1中道路的宽度为2m， 任务2：设道路的宽度为y m， 依题意得，， 解得，y1＝5，y2＝30（舍去）， ∴道路宽为5m， 由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为5m的正方形， ∵4×5×5＝100（m2）， ∴小道重叠部分花砖的面积100m2． 答：小道重叠部分花砖的面积100m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．关键是根据题意找到等量关系式． 题型三 围墙类问题 1．（2024春•昌平区期末）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？ 【分析】设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，根据矩形草坪的面积是750m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合墙长40米，即可得出结论． 【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米， 根据题意得：x（80﹣2x）＝750， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， 当x＝15时，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合题意，舍去； 当x＝25时，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合题意． 答：矩形草坪的长为30米，宽为25米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为10m的墙，另外三边用长为19m的建筑材料围成，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时，其面积为48m2？ 【分析】设BC的长为x m，则AB的长为m，根据所围成的矩形电动车棚的面积为48m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解答】解：设BC的长为x m，则AB的长为m， 根据题意得：x•48， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴6， 答：当所围成的矩形电动车棚的长是8m、宽是6m时，其面积为48m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024秋•小店区校级期末）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度a＝10米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD（如图），已知篱笆长24米（篱笆全部用完），如果要围成面积为45平方米的菜园，AB的长是多少米？ 【分析】设AB的长是x米，则BC的长是（24﹣3x）米，根据菜园的面积为45平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙体的最大可用长度a＝10米，即可得出AB的长是5米． 【解答】解：设AB的长是x米，则BC的长是（24﹣3x）米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝45， 整理得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 当x＝3时，24﹣3x＝24﹣3×3＝15＞10，不符合题意，舍去； 当x＝5时，24﹣3x＝24﹣3×5＝9＜10，符合题意． 答：AB的长是5米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2024春•庆元县校级月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，求饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为米？ 【分析】设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（48﹣3x）（米），根据矩形的面积公式列出方程，解得即可． 【解答】解：设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米）， 根据题意得：x（48﹣3x）＝180， 解得x1＝6，x2＝10， 0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15， ∴7≤x≤15， ∴x＝10， 答：饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米， 【点评】考查了一元二次方程的应用．读懂题目的意思，根据矩形的面积公式列出方程是解决问题的关键． 5．（2024秋•天水期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m． （1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽． （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）利用BC＝不锈钢栅栏的总长+2﹣3×AB，即可用含x的代数式表示出车棚的长BC； （2）根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合可利用的墙长为42m，即可得出结论； （3）假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，根据矩形车棚ABCD的面积为525m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣75＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 【解答】解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型四 平均变化率问题 1．（2025•花山区校级一模）今年春节假期期间，马鞍山长江不夜城举办了大型灯展活动，由此带来旅游热潮，据统计，灯展2月1日接待游客8000人，接待人数逐日增加，2月3日这天接待游客11520人，求这三天灯盏接待游客的日平均增长率． 【分析】设这三天灯盏接待游客的日平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：设这三天灯盏接待游客的日平均增长率为x． 依题意，得8000（1+x）2＝11520， 整理得，8000x2+16000x﹣3520＝0， 解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2＝20%． 答：这三天灯盏接待游客的日平均增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 2．（2024春•余姚市期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？ （2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？ 【分析】（1）利用到今年底全省5G基站数量＝目前该省5G基站数量×4，即可求出结论； （2）设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，利用到后年底全省5G基站数量＝到今年底全省5G基站数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）． 答：计划在今年底，全省5G基站数量是6万座． （2）设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x， 依题意得：6（1+x）2＝17.34， 解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）． 答：按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024•湟中区校级开学）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1﹣x）2＝256， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为20%． （2）256×（1﹣20%）＝204.8万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为204.8万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 4．（2024春•肇源县月考）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2020年图书借阅总量是多少本． 【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，利用该社区2019年图书借阅总量＝该社区2017年图书借阅总量×（1+该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计该社区2020年图书借阅总量＝该社区2019年图书借阅总量×（1+该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率），即可求出结论． 【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x， 根据题意得：7500（1+x）2＝10800， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为20%； （2）10800×（1+20%） ＝10800×1.2 ＝12960（本）． 答：如果每年的增长率相同，预计2020年图书借阅总量是12960本． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2024秋•普宁市期末）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（180060）＝225000， 整理得：m2﹣400m+37500＝0， 解得：m1＝250，m2＝150， ∵最低售价不得少于1200元， ∴180060≥1200， 解得：m≤200， ∴m＝150， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型五 传播问题 1．（2024秋•十堰期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有81人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则一轮传染后共有x+1人被传染，两轮传染后共有x+1+x（x+1）人被传染，则x+1+x（x+1）＝81，即可求解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则一轮传染后共有x+1人被传染，两轮传染后共有x+1+x（x+1）人被传染， ∴x+1+x（x+1）＝81， 整理得，x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了8个人， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 2．有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，通过计算解答下面的问题： （1）求每天一人传染了几人？ （2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？ 【分析】（1）第一天患病的人数为1+1×传播的人数；第一天患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225； （2）再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3天一共患病的人数×（第3天的传播人数﹣5）． 【解答】解：（1）设每天一人传染了x人． 1+x+（1+x）×x＝225， （1+x）2＝225， ∵1+x＞0， ∴1+x＝15， x＝14． 答：每天一人传染了14人； （2）再过两天的患病人数＝225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）＝11250． 答：共有11250人患病． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；易错点是理解第一天患病的总人数是第二天的传染源． 3．（2024秋•南海区月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：1+x+x2＝43， 整理得：x2+x﹣42＝0， 解得：x1＝﹣7（不合题意，舍去），x2＝6． 答：这种植物每个支干长出的小分支个数为6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【解答】解：由题意，得 n+n2+1＝111， 解得：n1＝﹣11（舍去），n2＝10． 故n的值是10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 5．（2024•禄劝县校级开学）某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x人，则第一天传染中有2x人被传染，第二天传染中有x（2+2x）人被传染，根据“某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第三天发病人数＝第二天发病人数×（1+每位发病者平均每天传染的人数），可求出第三天发病人数，再将其与200比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，则第一天传染中有2x人被传染，第二天传染中有x（2+2x）人被传染， 根据题意得：2+2x+x（2+2x）＝50， 整理得：（1+x）2＝25， 解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）． 答：每位发病者平均每天传染4人； （2）50×（1+4）＝250（人）， ∵250＞200， ∴按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型六 单循环与双循环问题 1．（2024秋•宁江区校级期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【分析】设参加比赛的球队有x支，根据参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设参加比赛的球队有x支， 由题意得：， 整理得：x2﹣x﹣42＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了两份合同，所有公司共签定了90份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 【分析】设共有x家公司参加商品交易会，利用签订合同的总份数＝参会公司数×（参会公司数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会， 根据题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：共有10家公司参加商品交易会． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，问参加酒会的有多少人？ 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝55， 整理，得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？ 【分析】根据数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，可以列出相应的二元一次方程，然后解方程即可． 【解答】解：设这个数学兴趣小组有x名学生， x（x﹣1）＝210， 解得，x1＝15，x2＝﹣14（舍去）， 答：这个数学兴趣小组有15名学生． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的双循环问题． 5．（2024秋•江夏区校级月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数； （2）小明由握手问题想到了另一个数学问题：若某一直线上共有m个点，则由这些点中任意两点所连线段的总数为 　 　． 【分析】（1）设参加聚会的人数为x人，利用握手总次数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用由这些点中任意两点所连线段的总数＝点的个数×（点的个数﹣1）÷2，即可用含m的代数式表示出由这些点中任意两点所连线段的总数． 【解答】解：（1）设参加聚会的人数为x人， 依题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为9人． （2）依题意得：由这些点中任意两点所连线段的总数为m（m﹣1）． 故答案为：m（m﹣1）． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型七 数字问题 1．（2024秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2）， 整理得：3x2﹣5x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2（不合题意，舍去）， ∴x+2＝4， ∴这个两位数为24． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024秋•梁山县期末）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数． 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为45，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9﹣x）， 依题意，得：x2+（9﹣x）2＝45， 整理，得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6． 当x＝3时，这个两位数为63； 当x＝6时，这个两位数为36． 答：这个两位数为36或63． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．已知一个两位数，个位上的数字比十位数上的数字少4，这个两位数十位与个位交换位置后新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数． 【分析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x﹣4＝y，交换位置后，数字为10y+x，根据等量关系：新两位数与原两位数的积为1612，列出方程求解即可． 【解答】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x﹣4＝y，交换位置后，数字为10y+x，则 （10x+y）×（10y+x）＝1612，即（11x﹣4）×（11x﹣40）＝1612， 解得x＝6， 10x+y＝60+（6﹣4）＝62． 故这个两位数是62． 【点评】此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数． 5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和． 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）＝192， 解得：x1＝8，x2＝﹣24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 题型八 市场销售问题 1．（2024秋•法库县期末）某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低2元时，月销售量可增加40件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？ 【分析】设单价降低了x元，则定价为（80﹣x）元，月销售量为（20040）件，根据每个月的利润达到7920元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设单价降低了x元，则定价为（80﹣x）元，月销售量为（20040）件， 根据题意得：（80﹣50﹣x）（20040）＝7920， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝12，x2＝8（不符合题意，舍去）， ∴80﹣x＝80﹣12＝68． 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2025•灞桥区校级一模）2023年9月第19届亚运会在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？ 【分析】设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为[100﹣2（x﹣40）]件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则销售量为[100﹣2（x﹣40）]件，由题意得， （x﹣30）×[100﹣2×（x﹣40）]＝1600， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得x1＝50，x2＝70， 经检验，方程的解符合题意．因为要最大程度让利顾客，50＜70， 故x2＝70不合题意舍去， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 3．（2025•千山区模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【分析】（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式； （2）依据题意，销售额＝x（﹣2x+8）＝﹣2x2+80x，又销售额是1000元，从而可得2x2﹣80x+1000＝0，又Δ＝（﹣80）2﹣4×2×1000＝﹣1600＜0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 将（12，56），（14，52）代入， ∴， 解得：， ∴y＝﹣2x+80； 故答案为：y＝﹣2x+80； （2）由题意，销售额＝x（﹣2x+8）＝﹣2x2+80x， 又销售额是1000元， ∴1000＝﹣2x2+80x． ∴2x2﹣80x+1000＝0． ∴Δ＝（﹣80）2﹣4×2×1000＝﹣1600＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到1000元． 【点评】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2025春•武侯区校级月考）为推进鲜花和茶叶销售，蓉礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少10元，已知花瓶的售价为每件120元，茶具的售价为每件100元，若用2000元购进花瓶的数量与用1800元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知蓉礼堂12月份卖出花瓶40个，茶具160套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，蓉礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在12月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与12月份一样．若蓉礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利2382元，则花瓶的售价应降价多少元？ 【分析】（1）设每套茶具的进价是x元，每个花瓶的进价是（x+10）元，利用购进数量＝进货总价÷进货单价，结合用2000元购进花瓶的数量与用1800元购进茶具的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每套茶具的进价），再将其代入（x+10）中，即可求出每个花瓶的进价； （2）设花瓶的售价应降价y元，则每个花瓶的销售利润为（120﹣y﹣100）元，销售量为（40+2y）个，利用总利润＝每套茶具的销售利润×茶具的月销售量+每个花瓶的销售利润×花瓶的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每套茶具的进价是x元，每个花瓶的进价是（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝90， j经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝90+10＝100（元）． 答：每套茶具的进价是90元，每个花瓶的进价是100元； （2）设花瓶的售价应降价y元，则每个花瓶的销售利润为（120﹣y﹣100）元，销售量为（40+2y）个， 根据题意得：（100﹣90）×160+（120﹣y﹣100）（40+2y）＝2382， 整理得：y2﹣9＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣3（不符合题意，舍去）． 答：花瓶的售价应降价3元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．（2024春•长沙县期末）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？ 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每个排球的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（60﹣x）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760， 整理得：x2﹣10x﹣24＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴60﹣x＝60﹣12＝48． 答：这种排球每个的实际售价是48元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6．（2025春•东阳市月考）在春节期间，某花店进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元，当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低x元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出　　 盆，每盆盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）试问：当x为何值时，平均每天盈利810元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利890元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【分析】（1）利用每盆盈利＝现售价﹣进价，可用含x的代数式表示出每盆盈利；利用平均每天的销售量＝24+2×销售价降低的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量； （2）利用总利润＝每盆的盈利×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设他的想法能实现，设销售价降低y元，则每盆盈利（90﹣y﹣60）元，平均每天可售出（24+2y）盆，利用总利润＝每盆的盈利×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即他的想法不能实现． 【解答】解：（1）根据题意得：当销售价降低x元时，每盆盈利（90﹣x﹣60）元，平均每天可售出（24+2x）盆． 故答案为：（24+2x），（90﹣x﹣60）； （2）根据题意得：（90﹣x﹣60）（24+2x）＝810， 整理得：x2﹣18x+45＝0， 解得：x1＝3，x2＝15． 答：当x为3或15时，平均每天盈利810元； （3）他的想法不能实现，理由如下： 假设他的想法能实现，设销售价降低y元，则每盆盈利（90﹣y﹣60）元，平均每天可售出（24+2y）盆， 根据题意得：（90﹣y﹣60）（24+2y）＝890， 整理得：y2﹣18y+85＝0， ∵Δ＝（﹣18）2﹣4×1×85＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即他的想法不能实现． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每盆的盈利及日销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 一元二次方程应用的常见题型 题型一 规则图形的面积问题 1．（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？ 2．（2024秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中阴影部分）做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长． 3．（2024•河口区校级模拟）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）． （1）求矩形花坛的宽是多少米； （2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米． 4．（2024秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm） 5．（2024春•庐阳区校级期中）如图，已知线段AB＝10cm，点C在线段AB上，分别以AC，BC，AB为边向下作正方形． （1）当阴影部分的面积为42cm2时，请求出AC的长； （2）阴影部分的面积能否为60cm2？如果能，请求出AC的长；如果不能，请说明理由． 题型二 边框与甬道问题 1．（2024•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 2．（2024秋•绥中县期末）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 3．（2024•大同二模）如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度． 4．（2024•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？ 5．（2024秋•富县期末）项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如图．其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是1064m2；如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 题型三 围墙类问题 1．（2024春•昌平区期末）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？ 2．光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为10m的墙，另外三边用长为19m的建筑材料围成，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时，其面积为48m2？ 3．（2024秋•小店区校级期末）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度a＝10米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD（如图），已知篱笆长24米（篱笆全部用完），如果要围成面积为45平方米的菜园，AB的长是多少米？ 4．（2024春•庆元县校级月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，求饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为米？ 5．（2024秋•天水期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m． （1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽． （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 题型四 平均变化率问题 1．（2025•花山区校级一模）今年春节假期期间，马鞍山长江不夜城举办了大型灯展活动，由此带来旅游热潮，据统计，灯展2月1日接待游客8000人，接待人数逐日增加，2月3日这天接待游客11520人，求这三天灯盏接待游客的日平均增长率． 2．（2024春•余姚市期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？ （2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？ 3．（2024•湟中区校级开学）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 4．（2024春•肇源县月考）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2020年图书借阅总量是多少本． 5．（2024秋•普宁市期末）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 题型五 传播问题 1．（2024秋•十堰期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有81人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 2．有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，通过计算解答下面的问题： （1）求每天一人传染了几人？ （2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？ 3．（2024秋•南海区月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 4．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 5．（2024•禄劝县校级开学）某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 题型六 单循环与双循环问题 1．（2024秋•宁江区校级期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 2． 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了两份合同，所有公司共签定了90份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 3．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，问参加酒会的有多少人？ 4．中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？ 5．（2024秋•江夏区校级月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数； （2）小明由握手问题想到了另一个数学问题：若某一直线上共有m个点，则由这些点中任意两点所连线段的总数为 　 　． 题型七 数字问题 1．（2024秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 3．（2024秋•梁山县期末）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数． 4．已知一个两位数，个位上的数字比十位数上的数字少4，这个两位数十位与个位交换位置后新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数． 5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和． 题型八 市场销售问题 1．（2024秋•法库县期末）某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低2元时，月销售量可增加40件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？ 2．（2025•灞桥区校级一模）2023年9月第19届亚运会在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？ 3．（2025•千山区模拟）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 4．（2025春•武侯区校级月考）为推进鲜花和茶叶销售，蓉礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少10元，已知花瓶的售价为每件120元，茶具的售价为每件100元，若用2000元购进花瓶的数量与用1800元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知蓉礼堂12月份卖出花瓶40个，茶具160套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，蓉礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在12月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与12月份一样．若蓉礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利2382元，则花瓶的售价应降价多少元？ 5．（2024春•长沙县期末）某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y（个）与每个排球降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元？ 6．（2025春•东阳市月考）在春节期间，某花店进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元，当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低x元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出　　 盆，每盆盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）试问：当x为何值时，平均每天盈利810元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利890元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$