专题 解一元二次方程计算题（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 解一元二次方程计算题 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．用直接开平方法解方程． （1）（2x）2＝8 （2）4x2﹣256＝0； （3）（x﹣1）2． 【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：（1）开方得：2x±2， 解得：x1，x2； （2）方程变形得：x2＝64， 解得：x1＝8，x2＝﹣8； （3）方程变形得：（x﹣1）2＝3， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x1＝1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 2．（2024春•天津期中）解下列方程： （1）x2﹣3＝5； （2）3x2﹣1＝26； （3）x2﹣8＝0． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】 解：（1）x2﹣3＝5， ∴x2＝8， ∴x， ∴x1＝2，x2＝﹣2． （2）解：∵3x2﹣1＝26， ∴3x2＝27， 则x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （3）解：方程整理得：x2＝16， ∴x1＝4，x2＝﹣4． 【点评】本题主要考查解形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程，直接利用开平方法是解题的关键． 3．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）4x2﹣1＝0 （2）（x﹣3）2＝2 （3）81（x﹣2）2＝16． 【分析】（1）先移项，系数化为1，再利用直接开平方法解方程； （2）利用直接开平方法解方程； （3）先将系数化为1，再利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）4x2﹣1＝0，即x2， 开方得：x＝±； （2）（x﹣3）2＝2， 开方得：x﹣3＝±， 解得：x1＝3，x2＝3； （3）81（x﹣2）2＝16，即（x﹣2）2， 开方得：x﹣2＝±， 解得：x1，x2． 【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 4．用直接开平方法解方程． （1）121x2＝196； （2）（2x﹣1）2＝289； （3）4（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2． 【分析】（1）先把121x2写成一个数的平方形式，利用直接开平方法求解； （2）把（2x﹣1）看成一个整体，利用直接开平方法求解； （3）先把4（3x﹣4）2写成一个数的平方的形式，利用直接开平方法得一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）121x2＝196， ∴11x＝±14． ∴x＝±． ∴x1，x2． （2）（2x﹣1）2＝289， ∴2x﹣1＝±17， ∴x． ∴x1＝9，x2＝﹣8． （3）4（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2， ∴2（3x﹣4）＝±（4x﹣3），即6x﹣8＝±（4x﹣3）． 当6x﹣8＝4x﹣3时，x， 当6x﹣8＝﹣（4x﹣3）时，x． ∴x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法是解决本题的关键． 5．使用“直接开平方法”解一元二次方程 （1）4x2﹣6＝58； （2）3（x+2）2﹣6＝21； （3）8（4x+9）2+5＝1． 【分析】（1）方程先变形为x2＝16，然后利用直接开平方法解方程； （2）方程先变形为（x+2）2＝16，然后利用直接开平方法解方程； （3）方程先变形为（4x+9）2，然后根据平方根的定义确定方程没有实数解． 【解答】解：（1）x2＝16， x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4； （2）（x+2）2＝9， x+2＝±3， 所以x1＝1，x2＝﹣5； （3）（4x+9）2， 因为负数没有平方根， 所以方程没有实数解． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 6．用直接开平方法解一元二次方程 （1）2y2＝8． （2）2（x+3）2﹣4＝0． （3）（x+1）2＝25 （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【分析】（1）（3）系数化为1，进一步利用直接开平方解方程； （2）移项，系数化为1，再直接开方； （4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：（1）2y2＝8 y2＝4 y＝±2 解得：y1＝2，y2＝﹣2． （2）2（x+3）2﹣4＝0 （x+3）2＝2 x+3＝± 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3； （3）（x+1）2＝25 （x+1）2＝100 x+1＝±10 解得：x1＝﹣11，x2＝9． （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2 2x+1＝x﹣1，2x+1＝﹣（x﹣1） 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 题型二 用配方法解一元二次方程 7．（2024秋•洛阳期末）用配方法解下列方程： （1）x2﹣4x+4＝3； （2）3x2﹣6x﹣2＝0． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， ∴x﹣2， ∴x1＝2，x2＝2； （2）3x2﹣6x﹣2＝0， 3x2﹣6x＝2， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1， ∴x1＝1，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法的一般步骤是解决本题的关键． 8．（2024秋•九龙坡区期末）用配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣6＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣6＝0， 移项，得x2+2x＝6， 配方，得x2+2x+1＝6+1， （x+1）2＝7， 开方，得x+1， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， 移项，得2x2﹣4x＝1， 除以2，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+11， （x﹣1）2， 开方，得x﹣1， 解得：x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 9．利用配方法解下列方程： （1）x2﹣7x﹣18＝0； （2）2x2﹣8x﹣3＝0 【分析】（1）首先将常数项移到等号右边，可得x2﹣7x＝18，接下来给两边加上一次项系数一半的平方，利用配方法可得（x）2，开方计算即可解答； （2）首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右边，可得x2﹣4x，接下来给两边加上一次项系数一半的平方，利用配方法可得（x﹣2）2，开方计算即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0， x2﹣7x＝18， x2﹣7x18，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝9，x2＝﹣2． （2）2x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+44，即（x﹣2）2， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型． 10．用配方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）x2x+1＝0． 【分析】（1）把常数项移到等号右边，方程两边同时加1，然后利用直接开平方法把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）把常数项移到等号右边，然后方程两边同时加，配方得到（x）2，即可判断方程无解； 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1， ∴x1＝1，x2＝1； （2）x2x+1＝0， x2x＝﹣1， x2x1，即（x）2， ∴方程无解． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤． 11．用配方法解下列方程： （1）x2﹣8x+13＝0． （2）x2+5x+7＝3x+11． 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣8x＝﹣13， 配方得：x2﹣8x+16＝﹣13+16， 即（x﹣4）2＝3， 直接开平方得：x﹣4＝±， 解得：x1＝4，x2＝4； （2）原方程整理得：x2+2x＝4， 配方得：x2+2x+1＝4+1， 即（x+1）2＝5， 直接开平方得：x+1＝±， 解得：x11，x21． 【点评】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 12．使用“配方法”解一元二次方程 （1）x2+6x+6＝0； （2）3x2+6x﹣5＝0； （3）3（x+2）2﹣6＝21． 【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+6x+6＝0， x2+6x＝﹣6， x2+6x+9＝﹣6+9， （x+3）2＝3， x+3， ； （2）3x2+6x﹣5＝0， 3x2+6x＝5， x2+2x， x2+2x+11， （x+1）2， x+1， ； （3）3（x+2）2﹣6＝21， （x+2）2＝9， x+2＝±3， x1＝1，x2＝﹣5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 13．用配方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2+2x＝2； （3）x2﹣6x+2＝0； （4）x（x﹣4）＝﹣4． 【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程整理后，利用配方法求出解即可； （4）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）整理，得（x+1）2＝4， 根据平方根的意义，得x+1＝±2， 即x+1＝2或x+1＝﹣2即x1＝1，x2＝﹣3； （2）配方得：x2+2x+1＝2+1， 即（x+1）2＝3． 两边开平方，得x+1＝±， ∴x1，x2； （3）移项，得x2﹣6x＝﹣2， 配方，得x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7， 开方，得x+3＝±， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3； （4）去括号、移项、合并同类项，得x2﹣4x＝﹣4， 配方，得x2﹣4x+4＝﹣4+4，即（x﹣2）2＝0． 开方得：x﹣2＝0． 解得：x1＝2，x2＝2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型三 用公式法解一元二次方程 14．用公式法解方程： （1）x2+3x﹣2＝0； （2）2x+1＝4x2． 【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可． 【解答】解：（1）x2+3x﹣2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0， ∴x， 解得：x1，x2； （2）2x+1＝4x2， 整理得：4x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0， ∴x， 解得：x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确运用公式解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 15．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2， ∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2． （2）∵x2﹣2x+3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝0， ∴x， ∴x1＝x2． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤，属于中考常考题型． 16．用公式法解方程： （1）2x2﹣x﹣5＝0； （2）4x2+x﹣3＝0． 【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． （2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）这里a＝4，b＝1，c＝﹣3， ∵Δ＝12﹣4×4×（﹣3）＝49＞0， ∴x， ∴x1，x2＝﹣1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 17．用公式法解方程： （1）2x2+5x﹣3＝0； （2）4x2＝9x． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）2x2+5x﹣3＝0， ∵Δ＝52﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49＞0， ∴x， ∴x1，x2＝﹣3； （2）4x2＝9x， 整理得：4x2﹣9x＝0， ∵Δ＝（﹣9）2﹣4×4×0＝81＞0， ∴x， ∴x1，x2＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 18．（2024•朝阳区校级开学）用公式法解一元二次方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）． 【分析】（1）根据公式法可以解答此方程； （2）根据公式法可以解答此方程． 【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0， a＝1，b＝3，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 该方程有两个不相等的实数根， ∴x， ∴x1，x2； （2） 化简，得：x2﹣8x+4＝0， a＝1，b＝﹣8，c＝4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×4＝48＞0， 该方程有两个不相等的实数根， ∴x4±2， ∴x1＝4+2，x2＝4﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程． 19．用公式法解一元二次方程． ①2x（x+4）＝1； ②x2+4x﹣3＝0； ③（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 【分析】根据公式法：ax2+bx+c＝0，的解是x，可得答案． 【解答】解：①化为一般式，得2x2+8x﹣1＝0， a＝2，b＝8，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72＞0 x1，x2； ②x2+4x﹣3＝0， a＝1，b＝4，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， x12，x22； ③化为一般式，得3x2﹣11x+9＝0， a＝3，b＝﹣11，c＝9， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 20．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 【分析】首先确定a，b，c的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△≥0，即可代入公式计算即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0， ∴x2±， ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）∵a，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（﹣2）＝25＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2； （3）原方程整理成一般式可得：2x2+8x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝8，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72， ∴x； （4）原方程整理成一般式得：3x2﹣11x+9＝0， ∵a＝3，b＝﹣11，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 题型四 用因式分解法解一元二次方程 21．用因式分解法解下列方程： （1）x2+7x+10＝0； （2）x2﹣5x﹣24＝0． 【分析】（1）把方程的左边因式分解，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）把方程的左边因式分解，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+7x+10＝0， （x+2）（x+5）＝0， x+2＝0或x+5＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣5； （2）x2﹣5x﹣24＝0， （x﹣8）（x+3）＝0， x﹣8＝0或x+3＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 22．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0； （2）（x+3）2＝（1﹣2x）2． 【分析】（1）把方程的左边因式分解，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）方程两边开方得出x+3＝±（1﹣2x），再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0， 解得：x1＝3，x2； （2）（x+3）2＝（1﹣2x）2， 开方得：x+3＝±（1﹣2x）， x+3＝1﹣2x或x+3＝﹣（1﹣2x）， 解得：x1，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 23．用因式分解法解一元二次方程： （1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）， 整理得：2x2﹣8x＝0， 2x（x﹣4）＝0， 2x＝0，x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2， x﹣2＝2x+3，x﹣2＝﹣（2x+3）， x1＝﹣5，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 24．用因式分解法解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝10﹣4x， （2）（x﹣1）2﹣x+1＝0． （3）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． （3）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）x（2x﹣5）＝10﹣4x， x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x+2）＝0， ∴2x﹣5＝0或x+2＝0， ∴x1，x2＝﹣2． （2）（x﹣1）2﹣x+1＝0， （x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2． （3）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2， ∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0， ∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0， 则2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0， 解得x1＝13，x2． 【点评】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程的能力，关键是把方程化成两个一次式乘积的形式，再分别令每个因式都为0，从而求出一元二次方程的解． 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； （2）4x2﹣4x+1＝0， （2x﹣1）2＝0， 解得x1＝x2； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0， （2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0， （2x﹣7）（2x﹣1）＝0， 2x﹣7＝0或2x﹣1＝0， x1，x2； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0， （x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0， （5x﹣1）（3﹣3x）＝0， 5x﹣1＝0或3﹣3x＝0， x1，x2＝1． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 26．用因式分解法解下列方程： （1）（x+3）（2x﹣5）＝0； （2）x2+9x＝0； （3）（2x+3）2＝2x+3； （4）x2﹣4x+4＝2（x﹣2）． 【分析】（1）根据方程（x+3）（2x﹣5）＝0得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x+3）（2x﹣5）＝0， x+3或2x﹣5＝0， 解得：x1＝﹣3，x2； （2）x2+9x＝0， x（x+9）＝0， x＝0或x+9＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣9； （3）（2x+3）2＝2x+3， 移项，得（2x+3）2﹣（2x+3）＝0， （2x+3）（2x+3﹣1）＝0， 2x+3＝0或2x+3﹣1＝0， 解得：x1，x2＝﹣1； （4）x2﹣4x+4＝2（x﹣2）， （x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0， x1＝2，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 题型五 用指定方法解一元二次方程 27．（2024秋•新丰县期中）用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 【分析】（1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝8， 配方得x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12， 开方得， 解得， 即，； （2）2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 28．（2024秋•宜兴市校级月考）用指定方法解方程． （1）x2﹣4x﹣1＝7（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）运用完全平方公式配方即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝7， x2﹣4x＝8， x2﹣4x+4＝8+4， （x﹣2）2＝12， ， ， ，． （2）2x2﹣3x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17， x， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 29．（2024秋•陇县期末）用指定的方法解方程． （1）x2+4x﹣5＝0（配方法）； （2）2x2+8x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）根据题意，用配方解一元二次方程即可求解． （2）根据题意用公式法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0， 即x2+4x＝5， ∴x2+4x+4＝9， 即（x+2）2＝3， ∴x+2＝±3， 解得：x1＝1，x2＝﹣5； （2）2x2+8x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝8，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝64+8＝72， ∴， 解得：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 30．（2024秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 【分析】（1）把方程变形后用平方根定义可解得方程的解； （2）先算一元二次方程根的判别式，再代入求根公式即可． 【解答】解：（1）∵3（x+1）2＝12， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法和直接开平方法；解题的关键是掌握公式法和直接开平方法解一元二次方程． 31．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0， 移项，得 3（2x﹣1）2＝12， 两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4， 两边开平方，得2x﹣1＝±2， 移项，得2x＝1±2， 解得：x1，x2； （2）2x2﹣4x﹣7＝0， 两边都除以2，得x2﹣2x0， 移项，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 解得：x﹣1＝±， 即x1＝1，x2＝1； （3）x2+x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x， 解得：x1，x2； （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0， 方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 32．用指定的方法解方程： （1）（x﹣2）2﹣3＝0（用直接开平方法） （2）（x﹣2）2＝9（2x+5）2（用直接开平方法） （3）（3x﹣11）（x﹣2）＝2（用十字相乘法） （4）x2﹣3x﹣1＝0（用公式法） 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）整理为一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣3＝0， ∴（x﹣2）2＝3， 则x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）∵（x﹣2）2＝9（2x+5）2， ∴x﹣2＝3（2x+5）或x﹣2＝﹣3（2x+5）， 解得x1，x2； （3）整理，得：3x2﹣17x+20＝0， （x﹣4）（3x﹣5）＝0， 则x﹣4＝0或3x﹣5＝0， 解得x1＝4，x2； （4）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 则x， 即x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 33．用指定方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣36＝0 （直接开平方法） （2）x2﹣4x＝2（配方法） （3）2x2﹣5x+1＝0（公式法） （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法） 【分析】（1）直接开平方法求解； （2）配方法求解可得； （3）公式法求解即可； （4）因式分解法解之可得． 【解答】解：（1）x2＝36， ∴x＝±6， 即x1＝﹣6，x2＝6； （2）x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6， ∴x﹣2， ∴x1＝2，x2＝2； （3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1， ∴b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0， ∴x， 即x1，x2； （4）（x+1+4）2＝0，即（x+5）2＝0， ∴x+5＝0， 即x1＝x2＝﹣5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 题型六 用适当方法解一元二次方程 34．（2024春•石景山区校级期中）用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0． （2）3（4x2﹣9）﹣2（2x﹣3）＝0． 【分析】（1）用公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0， 由题意得，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5， 则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24， ∴， 即，； （2）3（4x2﹣9）﹣2（2x﹣3）＝0， 则3（2x+3）（2x﹣3）﹣2（2x﹣3）＝0， ∴（2x﹣3）[3（2x+3）﹣2]＝0， （2x﹣3）（6x+7）＝0， ∴2x﹣3＝0或6x+7＝0， ∴，． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键． 35．（2024•惠城区校级开学）用适当的方法解方程： （1）x﹣2＝x（x﹣2）； （2）x2﹣2x﹣3＝0． 【分析】（1）利用因式分解法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【解答】解：（1）x﹣2＝x（x﹣2）， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 即有x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1； （2）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， 即有x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 36．（2024春•任城区期中）用适当的方法解方程． （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x2﹣5x+6＝0． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）2x2﹣4x+1＝0， 移项得2x2﹣4x＝﹣1， 整理得， 配方得，即， ∴， ∴，； （2）x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：直接开平方法、配方法，公式法，因式分解法，根据方程特点灵活选用合适的方法是解题关键． 37．（2025•旺苍县一模）选择适当的方法解方程； （1）3x2﹣2x＝1； （2）4x（x﹣3）＝x﹣3． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项得：3x2﹣2x﹣1＝0， ∴（3x+1）（x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或x﹣1＝0， ∴，x2＝1； （2）原方程整理得4x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（4x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或4x﹣1＝0， ∴x1＝3，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 38．（2024春•南岗区校级期中）用适当的方法解方程 （1）（x﹣5）2＝16； （2）x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】（1）根据平方根的定义可得x﹣5＝±4，解方程就可以解决问题； （2）先求得Δ＝29＞0，再利用公式法求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x﹣5）2＝16， ∴x﹣5＝±4， ∴x1＝9，x2＝1； （2）x2﹣5x﹣1＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法是解题的关键． 39．（2024秋•丰宁县校级期末）用适当的方法解下列方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0． （2）2x2﹣7x﹣2＝0． （3）（x+2）2＝3（x+2）． （4）x2﹣2x﹣3＝0． 【分析】（1）根据方程特点，应采用直接开平方法解答即可． （2）根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得即可． （3）可以先移项，然后利用提取公因式法将方程的左边分解因式，利用因式分解法解答即可． （4）利用配方法解答即可． 【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0， 移项得，（2x+3）2＝25， ∴2x+3＝5或2x+3＝﹣5， 解得：x1＝1，x2＝﹣4； （2）2x2﹣7x﹣2＝0， a＝2，b＝﹣7，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac＝49+16＝65， x， 所以x1，x2； （3）（x+2）2＝3（x+2）， 移项得，（x+2）2﹣3（x+2）＝0， 因式分解得，（x+2）（x+2﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x+2﹣3＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （4）x2﹣2x﹣3＝0， 移项得，x2﹣2x＝3， 方程两边同时加1得，x2﹣2x+1＝3+1， 即（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程． 40．（2024•蕉岭县校级开学）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣16＝0； （2）6x2﹣5x﹣1＝0； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2； （4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为6x+1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把两边开方得到5（x+1）＝±3（x﹣2），然后解两个一次方程即可； （4）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）（2x﹣1﹣4）（2x﹣1+4）＝0， 2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0， 所以x1，x； （2）（6x+1）（x﹣1）＝0， 6x+1＝0或x﹣1＝0， 所以x1，x2＝1； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2， 5（x+1）＝±3（x﹣2）， 所以x1，x2； （4）方程化为一般式为y2﹣4y+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝2． ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0． ∴2， 所以y1＝2，y2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 题型七 用十字相乘法解一元二次方程 41．用十字相乘法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x﹣6＝0 （2）6x2+19x﹣36＝0． 【分析】（1）利用十字相乘即可得出（x﹣6）（x+1）＝0，进而求出答案； （2）利用十字相乘即可得出（2x+9）（3x﹣4）＝0，进而求出答案． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝6； （2）6x2+19x﹣36＝0， （2x+9）（3x﹣4）＝0， 解得：x1，x2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的计算方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程，难度适中． 42.十字相乘法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x（x﹣4）﹣5＝0. 【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解解方程； （2）利用十字相乘法进行因式分解解方程； （3）先整理成一般式，再利用十字相乘法进行因式分解解方程. 【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1； （3）解：x（x﹣4）﹣5＝0 x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 43．用十字相乘法解方程： （1）x2+5x﹣6＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+5x﹣6＝0， （x+6）（x﹣1）＝0， x+6＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣6，x2＝1； （2）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 44．用十字相乘法解下列方程： （1）3a2﹣8a+4＝0； （2）5x2+7x﹣6＝0； （3）6y2﹣11y﹣10＝0； （4）2x2﹣3x+5＝0． 【分析】（1）利用十字相乘法分解3a2﹣8a+4，得（3a﹣2）（a﹣2）； （2）利用十字相乘法分解5x2+7x﹣6，得（5x﹣3）（x+2）； （3）利用十字相乘法分解6y2﹣11y﹣10，得（2y﹣5）（3y+2）； （4）利用十字相乘法分解2x2﹣3x+5，得（2x）（x）． 【解答】解：（1）运用十字相乘法，原方程化为（3a﹣2）（a﹣2）＝0， 则3a﹣2＝0，a﹣2＝0， 得a1，a2＝2． （2）运用十字相乘法，原方程化为（5x﹣3）（x+2）＝0， 则5x﹣3＝0，x+2＝0， 解得x1，x2＝﹣2． （3）运用十字相乘法，原方程化为（2y﹣5）（3y+2）＝0， 则2y﹣5＝0，3y+2＝0， 解得y1，y2． （4）运用十字相乘法，原方程化为（2x）（x）＝0， 则2x0，x0， 解得x1，x2． 【点评】本题考查因式分解法，灵活运用十字相乘法是解题的关键． 45．用十字相乘法解方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②x2﹣5x﹣6＝0； ③3x2﹣2x﹣1＝0； ④2x2+x﹣6＝0． 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【解答】解：①∵x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴x﹣7＝0，x﹣3＝0， ∴x1＝7，x2＝3； ②∵x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0，x+1＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1； ③∵3x2﹣2x﹣1＝0， ∴（x﹣1）（3x+1）＝0， ∴x﹣1＝0，3x+1＝0， ∴x1＝1，x2； ④∵2x2+x﹣6＝0， ∴（x+2）（2x﹣3）＝0， ∴x+2＝0，2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣2，x2． 【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解，属于中考常考题型 题型八 用换元法解一元二次方程 46．（1）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0． 【分析】将x﹣2看作整体，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0， ∴（x﹣2﹣5）（x﹣2+2）＝0，即x（x﹣7）＝0， ∴x＝0或x﹣7＝0， ∴x1＝0，x2＝7． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （2）（2024秋•滨城区校级期末）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 【分析】我们可以将x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解该方程即可． 【解答】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x2﹣1＝1， 解得x＝±； 当y＝4时，即x2﹣1＝4， 解得x＝±， 所以原方程的解为：x1＝±，x2＝±． 【点评】考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 47．（2024秋•新邵县期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值； 解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1， ∴x+y＝﹣2或x+y＝1． 已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值． 【分析】设x2+y2＝t，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可． 【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程可变形为： （t﹣2）（t﹣3）＝12， 即t2﹣5t﹣6＝0 ∴（t+1）（t﹣6）＝0， 解得：t1＝﹣1，t2＝6； 又∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝6． 【点评】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键． 48．（2024秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1． 当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1， 当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2． 综上所述，原方程的解为x1，x2； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴x＝±， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 49．（2024秋•沿滩区月考）阅读材料： 为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1，时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x． 故原方程的解为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现 了 　 　的数学思想； （2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （3）请利用以上知识解方程：x4﹣3x2﹣4＝0． 【分析】（1）根据换元法的方法解答； （2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程； （3）利用题中给出的方法先把x2当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． 【解答】解：（1）换元；转化； （2）设y＝x2+x， 原方程可变为y2﹣5y+4＝0， 则（y﹣4）（y﹣1）＝0， ∴y﹣4＝0或y﹣1＝0， ∴y1＝4，y2＝1， 当y＝4时，x2+x＝4， 解得x， 当y＝1时，x2+x＝1， 解得x， ∴原方程的解为x1，x2，x3，x4； （3）设y＝x2， 原方程可变为y2﹣3y﹣4＝0， 解得y1＝4，y2＝﹣1， ∵x2≥0， ∴x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了换元法，掌握把关于x的方程转化为关于y的方程是关键． 50．（2024秋•铜仁市期末）阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 【分析】（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0，利用因式分解法求出未知数a的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设x2+y2＝b，则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8，通过解一元二次方程求出b的值，即可得到x2+y2的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【解答】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0， 分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0， 解得：a1＝1，a2＝3， 当a＝1时，可得：2x﹣5＝1， 解得：x＝3， 当a＝3时，可得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， ∴原方程的解为x1＝3，x2＝4； （2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8， 设x2+y2＝b， 则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8， 整理得：b2﹣b﹣20＝0， 分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0， 解得：b1＝5，b2＝﹣4， 当b＝5时，x2+y2＝5， 当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x2+y2＝5． 【点评】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第16章 一元二次方程》 专题 解一元二次方程计算题 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．用直接开平方法解方程． （1）（2x）2＝8 （2）4x2﹣256＝0； （3）（x﹣1）2． 2．（2024春•天津期中）解下列方程： （1）x2﹣3＝5； （2）3x2﹣1＝26； （3）x2﹣8＝0． 3．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）4x2﹣1＝0 （2）（x﹣3）2＝2 （3）81（x﹣2）2＝16． 4．用直接开平方法解方程． （1）121x2＝196； （2）（2x﹣1）2＝289； （3）4（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2． 5．使用“直接开平方法”解一元二次方程 （1）4x2﹣6＝58； （2）3（x+2）2﹣6＝21； （3）8（4x+9）2+5＝1． 6．用直接开平方法解一元二次方程 （1）2y2＝8． （2）2（x+3）2﹣4＝0． （3）（x+1）2＝25 （4）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 题型二 用配方法解一元二次方程 7．（2024秋•洛阳期末）用配方法解下列方程： （1）x2﹣4x+4＝3； （2）3x2﹣6x﹣2＝0． 8．（2024秋•九龙坡区期末）用配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣6＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 9．利用配方法解下列方程： （1）x2﹣7x﹣18＝0； （2）2x2﹣8x﹣3＝0 10．用配方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）x2x+1＝0． 11．用配方法解下列方程： （1）x2﹣8x+13＝0． （2）x2+5x+7＝3x+11． 12．使用“配方法”解一元二次方程 （1）x2+6x+6＝0； （2）3x2+6x﹣5＝0； （3）3（x+2）2﹣6＝21． 13．用配方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2+2x＝2； （3）x2﹣6x+2＝0； （4）x（x﹣4）＝﹣4． 题型三 用公式法解一元二次方程 14．用公式法解方程： （1）x2+3x﹣2＝0； （2）2x+1＝4x2． 15．用公式法解一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0． （2）x2﹣2x+3＝0． 16．用公式法解方程： （1）2x2﹣x﹣5＝0； （2）4x2+x﹣3＝0． 17．用公式法解方程： （1）2x2+5x﹣3＝0； （2）4x2＝9x． 18．（2024•朝阳区校级开学）用公式法解一元二次方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）． 19．用公式法解一元二次方程． ①2x（x+4）＝1； ②x2+4x﹣3＝0； ③（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 20．用公式法解一元二次方程． （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2﹣x﹣20； （3）2x（x+4）＝1； （4）（x﹣2）（3x﹣5）＝1． 题型四 用因式分解法解一元二次方程 21．用因式分解法解下列方程： （1）x2+7x+10＝0； （2）x2﹣5x﹣24＝0． 22．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0； （2）（x+3）2＝（1﹣2x）2． 23．用因式分解法解一元二次方程： （1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 24．用因式分解法解下列方程： （1）x（2x﹣5）＝10﹣4x， （2）（x﹣1）2﹣x+1＝0． （3）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 26．用因式分解法解下列方程： （1）（x+3）（2x﹣5）＝0； （2）x2+9x＝0； （3）（2x+3）2＝2x+3； （4）x2﹣4x+4＝2（x﹣2）． 题型五 用指定方法解一元二次方程 27．（2024秋•新丰县期中）用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 28．（2024秋•宜兴市校级月考）用指定方法解方程． （1）x2﹣4x﹣1＝7（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）． 29．（2024秋•陇县期末）用指定的方法解方程． （1）x2+4x﹣5＝0（配方法）； （2）2x2+8x﹣1＝0（公式法）． 30．（2024秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 31．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 32．用指定的方法解方程： （1）（x﹣2）2﹣3＝0（用直接开平方法） （2）（x﹣2）2＝9（2x+5）2（用直接开平方法） （3）（3x﹣11）（x﹣2）＝2（用十字相乘法） （4）x2﹣3x﹣1＝0（用公式法） 33．用指定方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣36＝0 （直接开平方法） （2）x2﹣4x＝2（配方法） （3）2x2﹣5x+1＝0（公式法） （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法） 题型六 用适当方法解一元二次方程 34．（2024春•石景山区校级期中）用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0． （2）3（4x2﹣9）﹣2（2x﹣3）＝0． 35．（2024•惠城区校级开学）用适当的方法解方程： （1）x﹣2＝x（x﹣2）； （2）x2﹣2x﹣3＝0． 36．（2024春•任城区期中）用适当的方法解方程． （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x2﹣5x+6＝0． 37．（2025•旺苍县一模）选择适当的方法解方程； （1）3x2﹣2x＝1； （2）4x（x﹣3）＝x﹣3． 38．（2024春•南岗区校级期中）用适当的方法解方程 （1）（x﹣5）2＝16； （2）x2﹣5x﹣1＝0． 39．（2024秋•丰宁县校级期末）用适当的方法解下列方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0． （2）2x2﹣7x﹣2＝0． （3）（x+2）2＝3（x+2）． （4）x2﹣2x﹣3＝0． 40．（2024•蕉岭县校级开学）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣16＝0； （2）6x2﹣5x﹣1＝0； （3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2； （4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2． 题型七 用十字相乘法解一元二次方程 41．用十字相乘法解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x﹣6＝0 （2）6x2+19x﹣36＝0． 42.十字相乘法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x（x﹣4）﹣5＝0. 43．用十字相乘法解方程： （1）x2+5x﹣6＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0． 44．用十字相乘法解下列方程： （1）3a2﹣8a+4＝0； （2）5x2+7x﹣6＝0； （3）6y2﹣11y﹣10＝0； （4）2x2﹣3x+5＝0． 45．用十字相乘法解方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②x2﹣5x﹣6＝0； ③3x2﹣2x﹣1＝0； ④2x2+x﹣6＝0． 题型八 用换元法解一元二次方程 46．（1）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0． （2）（2024秋•滨城区校级期末）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 47．（2024秋•新邵县期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值； 解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1， ∴x+y＝﹣2或x+y＝1． 已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值． 48．（2024秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 49．（2024秋•沿滩区月考）阅读材料： 为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1，时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x． 故原方程的解为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现 了 　 　的数学思想； （2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （3）请利用以上知识解方程：x4﹣3x2﹣4＝0． 50．（2024秋•铜仁市期末）阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$