精品解析：2025年辽宁省大连市中山区中考一模数学试卷

九年级阶段质量检测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 3月1日早晨，我省四个城市的气温如下，其中气温最高的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 阜新 营口 气温（单位：） 0 A. 沈阳 B. 大连 C. 阜新 D. 营口 3. 下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A. B. C. D. 7. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C D. 10. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________________． 12. 在比例尺为地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是___________千米． 13. 如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是__________． 14. 在压力不变情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积 的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为________． 15. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 公司在优化模型改进图片识别的训练时，发现模型正确识别图片的准确率（单位：）和训练天数之间有明显的数学规律．他们通过分析数据，最终确定了二者的函数关系式：． （1）训练到第几天时，模型准确率最高？最高准确率是多少？ （2）当准确率第一次达到时，训练了多少天？ 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； （3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 19. 如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点处测得气球底端的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点，测得仰角变为．已知垂直于地面，点与，共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 20. 数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 21. 如图，中，以为直径的交于点，交于点，，是的切线，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求半径的长． 22. 如图，中，，，点在上，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，那么称点是点的“相关点”． 例如，点的“相关点”点的坐标为． （1）当时，反比例函数的图象经过点，则点的“相关点”点的坐标是________； （2）点的“相关点”点的坐标为，一次函数的图象经过点，与轴交于点，求证； （3）抛物线经过点和点．点是点的“相关点”，若，直线与抛物线交于点，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级阶段质量检测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念． 利用中心对称图形和轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A.图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项符合题意； B.图形中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.图形不中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 2. 3月1日早晨，我省四个城市的气温如下，其中气温最高的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 阜新 营口 气温（单位：） 0 A. 沈阳 B. 大连 C. 阜新 D. 营口 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是准确比较有理数的大小．利用有理数大小比较的方法进行比较即可． 详解】解：， ∴大连的气温最高． 故选：B． 3. 下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键； 根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质进行判断即可 【详解】A、在中，，故随着的增大而减小，故A不符合题意； B、在中，，当时，随着的增大而减小，故B不符合题意； C、在中，抛物线对称轴为轴，开口向上，当时，随着的增大而增大，故C符合题意； D、在中，抛物线对称轴为轴，开口向下，当时，随着的增大而减小，故D不符合题意； 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据平方差公式、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集表达，熟悉掌握运算法则是解题的关键．解出不等式组后画图即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴在数轴上表示为：， 故选：B． 6. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解题的关键．多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解． 【详解】解：设所求正n边形边数为n， 则， 解得， 故选：C． 7. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算是解题的关键． 根据3个红球，各色球共8个，计算从袋中随机摸出1个球是红球的概率． 【详解】解：从袋中随机摸出1个球是红球的概率为． 故选：B． 8. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x，根据2024年底森林覆盖率2022年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：C． 10. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形、折叠的性质是关键． 根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，在中，，设，则，在中，由列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：B ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位长度， ∴可得：平移后的抛物线的解析式为， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 12. 在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是___________千米． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查是比例尺，熟练掌握比例尺和比例的性质是解题的关键； 设A，B两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离是x厘米， 根据题意得， 解得， 18000000厘米千米． 故答案为：180． 13. 如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用．通过连接，利用切线性质得到垂直关系，证明，得到，再圆周角定理求出，最后在中应用勾股定理求得的长． 【详解】连接，, ，是的切线， ， 又， （定理）， ， 而（圆心角是圆周角的两倍）， ， 在中，， 是的直径，， ， 故答案为：． 14. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积 的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，． 故答案为： 15. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算，解题的关键是准确掌握各运算法则． （1）根据完全平方差公式和二次根式的运算进行计算即可； （2）利用分式的加减进行运算，再根据分式的化简和除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 公司在优化模型改进图片识别的训练时，发现模型正确识别图片的准确率（单位：）和训练天数之间有明显的数学规律．他们通过分析数据，最终确定了二者的函数关系式：． （1）训练到第几天时，模型的准确率最高？最高准确率是多少？ （2）当准确率第一次达到时，训练了多少天？ 【答案】（1）训练到第8天时，模型的准确率最高，最高准确率 （2）当准确率第一次达到时，训练了天 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的最值问题求解即可； （2）根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【小问1详解】 解： 时，有最大值． 训练到第8天时，模型的准确率最高，最高准确率． 【小问2详解】 解：由题意得时，． 解得，， ∴当准确率第一次达到时，训练了天． 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； （3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 【答案】（1）50，6 （2）统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分 （3）估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图，加权平均数，用样本估计总体； （1）将评分为9分的人数除以其百分比，即可求出a的值；将评分为7分的人数除以a的值，即可求出m的值； （2）根据加权平均数的计算方法计算即可； （3）将观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 即． 故答案为：50；6 【小问2详解】 解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． 【小问3详解】 解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 19. 如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点处测得气球底端的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点，测得仰角变为．已知垂直于地面，点与，共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】探空气球的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得， 答：探空气球的高度约为． 20. 数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：1； 【小问2详解】 根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． 【小问3详解】 由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 21. 如图，中，以为直径交于点，交于点，，是的切线，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求半径的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握各性质． （1）构造辅助线，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，结合给出来的条件判定四边形是菱形，利用菱形的性质即可得出； （2）构造辅助线，利用勾股定理结合公共边相等，列出方程，即可求出线段的长度，进而求出半径即可． 【小问1详解】 证明：如图，取边中点，连接． ∵是的切线， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： 如图，连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 中，由勾股定理得，， 中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得，， ∴半径的长为． 22. 如图，中，，，点在上，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）见详解 （2），见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理． （1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果； （2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段； （3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作平分，交于点， 中，，， 中，，， ∴，， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴（ASA） ∴． 【小问3详解】 解： 如图，过点作于点， 由（2）知，中，，， ∴，， 中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 中，， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，那么称点是点的“相关点”． 例如，点的“相关点”点的坐标为． （1）当时，反比例函数的图象经过点，则点的“相关点”点的坐标是________； （2）点的“相关点”点的坐标为，一次函数的图象经过点，与轴交于点，求证； （3）抛物线经过点和点．点是点的“相关点”，若，直线与抛物线交于点，，求的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，分类讨论的数学思想等知识点，解题的关键是根据题意求出点的坐标，并熟练掌握以上函数的性质． （1）先根据反比例函数的解析式求出点坐标，再根据题目要求求出点坐标即可； （2）利用一次函数图象的性质，求出相关线段的长度，利用全等三角形的判定和性质即可求出结果； （3）利用待定系数法求出二次函数的解析式，采用分类讨论的数学思想，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：当，即当时，代入得，， ∴点的坐标为， 根据“相关点”的定义，点的坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 证明：根据题意，得点的坐标为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如上图所示，过点作轴于点，则， 当点在线段上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ② 当点在延长线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点在抛物线上， ∴， 解得， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$