精品解析：广东省汕头市潮南区陈店公校2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2024～2025学年度第二学期 九年级数学科学年测试卷 内容包括：第二十一章——第二十九章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 打雷后会下雨 B. 打开电视，正在播放广告 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 明天太阳从东方升起 4. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A B. C. D. 5. 如图，是的直径，，若，则的大小为( ) A. B. C. D. 6. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 7. 如图，在中，于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 下面有关一元二次方程的表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为 C. 一元二次方程的两实数根之和为1 D. 一元二次方程只有一个实数根 9. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 11. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 13. 若双曲线的图象在第二、四象限内，则的取值范围是________． 14. 如图，在中，，则的长为___________． 15. 图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为__________．  三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算：． 17. 如图，随机闭合开关、、中的两个，求只能让灯泡发光的概率． 18. 如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 20. 如图是某种云梯车示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． （1）求该抛物线解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； （3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期 九年级数学科学年测试卷 内容包括：第二十一章——第二十九章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握这两个定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项A，B中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A，B错误，不符合题意； 选项C中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C正确，符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意； 故选C． 2. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点是， 故选：D． 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 打雷后会下雨 B. 打开电视，正在播放广告 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 明天太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的特点：一定会发生，依次判断即可. 【详解】解：A、打雷后会下雨，是随机事件，本选项不符合题意； B、打开电视，正在播放广告，是随机事件，本选项不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、明天太阳从东方升起，是必然事件，本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了必然事件和随机事件的特点，属于基础题型，熟知它们各自的特点是关键. 4. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解题的关键． 找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的主视图是： 故选：A． 5. 如图，是的直径，，若，则的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 6. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意， 设A点坐标为，即，， ∵面积为3， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理求得，然后根据余角的性质，可得，根据等角的正弦相等，可得答案． 【详解】解：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 8. 下面有关一元二次方程的表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为 C. 一元二次方程的两实数根之和为1 D. 一元二次方程只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程和判别式以及根与系数的关系， 解一元二次方程即可判断A，D选项；根据根与系数关系可判断B选项；根据判别式可判断C选项． 【详解】A：若，则，故A错误； B：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∵两根之和为， ∴另一个根为，故B正确； C：∵一元二次方程， ∴判别式， ∴方程无解，故C错误； D：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，故D错误． 故选：B． 9. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 10. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与相交于点H，由等腰三角形性质得到,由圆周角定理得出,再由,得出,从而求出,最后由弧长公式可得结果． 【详解】解：连接，与相交于点H， , , , , , , , , , , , , 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 【答案】5.1 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 13. 若双曲线的图象在第二、四象限内，则的取值范围是________． 【答案】m＜8 【解析】 【分析】对于反比例函数：当k＞0时，图象在第一、三象限；当k＜0时，图象在第二、四象限． 【详解】由题意得，解得 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质,本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成． 14. 如图，在中，，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 15. 图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为__________．  【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 先求出，再根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴点B的坐标为． ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，特殊三角函数值，负指数幂的计算等知识点，解决此题的关键是正确的计算，根据相关知识点得到结论即可． 【详解】解：， ， ， 17. 如图，随机闭合开关、、中的两个，求只能让灯泡发光的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法，概率公式，弄清题中的电路图是解答本题的关键．画出树状图得到共有的等可能的情况数，再找出符合要求的情况数，根据概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况数，其中只能让灯泡发光的有2种， 则只能让灯泡发光的概率为． 18. 如图，在中，，，C为边中点，经过点C，与相切于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论； （2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：连接， 与相切于点D，与相切， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】（1）甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； 【小问2详解】 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘距离的长； （2）求的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 【答案】【猜想验证】：见解析；【拓展应用】：． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 猜想验证：过点作，交的延长线于点，先证明，根据相似三角形对应线段成比例，可得，由 平分可得，进而得到，由，即可证明； 拓展应用：根据勾股定理可得出线段，由猜想验证可得，进而求得，由，即可得解． 【详解】解：猜想验证：，， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 拓展应用：在中，，， ， 平分， ， ， 即， 解得，， ， ， ， 故答案为：． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； （3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点P的坐标为 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： 【小问3详解】 解：如图2，     设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$