精品解析：广西壮族自治区河池市东兰县高级中学等校2026届高三仿真练习数学试题

高三仿真练习 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，则 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，所以 ， 所以在复平面内对应的点为 ，位于第二象限. 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 4. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式化简已知等式得到的值，再结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式，代入得：  ， 整理得， 根据等差数列前项和公式，可得：， 又， 因此. 6. 三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 7. 已知，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 8. 已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】函数的最小正周期，可转化为，解方程求，由可得，由此可得结论. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以， 所以，因为， 所以的最小值是4. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. ，，是等比数列 D. 中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合数列通项公式和相关定义、公式逐项分析即可. 【详解】对于A，由得，，则为常数，故是首项为、公比为的等比数列，故A正确； 对于B，数列是首项、公比的等比数列，前项和，故B错误； 对于C，由于，，， 所以，， 因为，公比为常数，因此，，是等比数列，故C正确； 对于D，假设存在连续三项成等差数列，则，代入通项得，化简得，与矛盾， 因此不存在这样的连续三项，故D错误. 10. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为奇函数 C. 函数是偶函数 D. 函数是偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 11. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 正方体的外接球半径为 B. 四点共面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：正方体的外接球半径，故A正确； 选项B：设的中点为，则四点共面， 点不在平面内，四点不共面，故B错误； 选项C：如下图，连接，则， ， ， 在中，，故C正确； 选项D：如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点， 在中，，则， ， 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中， 半径最小为， 半径最小的圆的面积为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则展开式二项式系数的和为__________．（用数字作答） 【答案】 64 【解析】 【分析】先利用正态分布的对称性求解参数的取值，再根据二项式系数和的性质计算最终结果. 【详解】因为随机变量，其概率密度曲线关于对称轴对称，由， 所以与关于对称，故有：  ，化简得，解得， 对于二项式，其二项式系数和为，代入得二项式系数和为. 13. 已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某壮锦工坊准备制作，，三幅不同的壮锦作品，已知，，三幅作品通过设计环节的概率依次为，，，通过织锦环节的概率依次为，，． （1）若已知，，三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； （2）经过设计和织锦两个环节后，，，三幅作品成为成品作品的件数为．求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）借助相互独立事件乘法公式与条件概率公式计算即可得； （2）计算出三幅作品分别成为成品作品的概率后，得到随机变量的所有可能取值及其概率即可得分布列，利用分布列计算即可得其期望. 【小问1详解】 设事件为“、、三幅中恰有一幅作品通过设计环节”， 事件为“通过设计的作品为”， 则， ，故； 【小问2详解】 作品成为成品作品的概率为， 作品成为成品作品的概率为， 作品成为成品作品的概率为， 可能取值为、、、， 则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17. 设数列满足且. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值. 【答案】（1）证明见解析， （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以. 【小问2详解】 由 解得，因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，解得. 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）(i)证明过程见解析； (ii) 【解析】 【分析】（1）根据抛物线性质求解即可； （2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可求解最小值. 【小问1详解】 由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离， 因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. 【小问3详解】 ，定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三仿真练习 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 48 6. 三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. ，，是等比数列 D. 中存在连续三项成等差数列 10. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为奇函数 C. 函数是偶函数 D. 函数是偶函数 11. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 正方体的外接球半径为 B. 四点共面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则展开式二项式系数的和为__________．（用数字作答） 13. 已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某壮锦工坊准备制作，，三幅不同的壮锦作品，已知，，三幅作品通过设计环节的概率依次为，，，通过织锦环节的概率依次为，，． （1）若已知，，三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； （2）经过设计和织锦两个环节后，，，三幅作品成为成品作品的件数为．求随机变量的分布列及数学期望． 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 设数列满足且. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值. 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $