精品解析：内蒙古呼和浩特第二中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试卷

高三年级月考数学试卷 202504 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 3. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 54 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 13. 在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则_____________ 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 四､解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 17. 已知椭圆的离心率为的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值. 18. 已知函数 （1）讨论单调性； （2）证明函数为中心对称图形； （3）设，当时，，求的最大值. 19. 如图，在三棱锥中，的中点分别为． （1）求的长； （2）证明：平面平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三年级月考数学试卷 202504 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 展开式中的系数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数． 【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为， 故选：C． 3. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则， 又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即， 所以. 故选：A 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解. 【详解】解法一：多重限制的排列问题： 甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数， 甲的排位有可能是第二、三、四3种情况： ①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种. 解法二：间接法： 甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况； 但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况； 从而该5名同学可能的名次排情况种数为种. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 6. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 8. 已知函数．设，若关于不等式在上恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得,故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由解得，由解得，, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为， 于是,由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题. 解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量的数量积公式计算即可． 【详解】解：向量，满足，，则， 故答案为：3 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】在中，因为，由正弦定理得， 解得，由余弦定理得， 化简得，由正弦定理得， 所以， 而，为三角形内角，所以，所以. 故答案为： 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于，表示出切线方程；设直线与曲线相切于，表示出切线方程.利用两个方程相同建立方程，解出m，进而求出. 【详解】由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 所以，消去s，整理得：，解得：，所以. 所以斜率. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求. 【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. （Ⅱ）设，数列前n项和为. 由解得. 由（Ⅰ）可知， 所以， 故， . 设， 所以， 因此， 又，所以. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点； （2）根据二项分布的期望先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望. 【小问1详解】 记20件产品中的次品件数为X，由题设知， 则问题可理解为求的最大值， 因此. 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值点为； 【小问2详解】 由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知，， 即 所以（元）. 17. 已知椭圆的离心率为的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，又由面积为1，可得，据此可得答案； （2）设，结合（1）可得直线PA，PB 方程，据此可表示M，N坐标，可得四边形的面积关于的表达式，最后结合在椭圆上可完成证明. 【小问1详解】 因离心率为，又， 则，又， 则，所以椭圆C 方程为：； 【小问2详解】 设，由（1），， 则，， 直线PA：，直线PB：. 对于直线PA，令，可得， 对于直线PB，令，可得. 注意到，则 ， 注意到在椭圆上，则， 则. 【点睛】关键点睛：对于四边形的面积，常可将其分为几个三角形面积之和，也可利用对角线乘积乘以对角线夹角正弦乘以二分之一. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明函数为中心对称图形； （3）设，当时，，求的最大值. 【答案】（1）在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用函数的单调性与导函数的符号的关系求解即可； （2）由解析式可得，即可得结论； （3）根据题意可得在单调递增，求导，利用函数的单调性与导函数的符号的关系求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 因为的定义域为，由（1）可得， 设，则， 整理得对任意恒成立， 所以即，故 所以，其中为常数，令，则， 故，所以关于点，即中心对称， 所以是中心对称图形. 【小问3详解】 由题意，， 因为当时，， 所以存在，使得在上单调递增， 因为 ， 又，所以只需在恒成立即可， 令，则，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为， 此时在上恒成立，即在上单调递增，满足题意， 综上的最大值为. 19. 如图，在三棱锥中，的中点分别为． （1）求的长； （2）证明：平面平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，通过向量数量积证得，勾股定理求的长； （2）勾股定理证明，可证平面，得证平面平面； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 分别为的中点，由， 得 ， 所以， 则有，. 【小问2详解】 ，为的中点，则， 为的中点，则，， ， 又，，则，得， 又，，平面， 则有平面，又平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，得，则. ，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，得，则. ， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$