精品解析：广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试题

试卷类型：A 梅州市高三总复习质检试卷（2025.2） 数学 本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据复数的模长公式和复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合复数的模长公式可得出答案. 【详解】设，由题意可得， 即， 由复数相等的概念可得，解得，即， 故. 故选：D. 2. 如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合图形，易得，且，设，求出，由的两种表示式整理得到，从而建立不等式，解之即得. 【详解】设依题意，， 因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且， 由，可得， 由， 又， 故可得：， 即，因， 则，即， 由，可得，整理得：， 因，故得，即； 由，可得，整理得：显然成立. 综上分析，可得. 故选：C. 3. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，结合等差数列的求和公式逐项判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，则， ，无法判断ABC选项， ，D对. 故选：D. 5. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用决定系数大小关系排除AB；再利用数表中数据求出斜率判断CD. 【详解】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D 6. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线方程为，代入H的坐标即可求得结果. 【详解】在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系， 在直角三角形中，已知，，可得. 因为为的中点，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半， 所以. 设抛物线于底面圆的一个交点为H, 由已知可得点的横坐标为的长度，纵坐标为，不妨取. 设抛物线方程为，把代入抛物线方程可得， 即，解得. 对于抛物线，其焦点到准线的距离就是的值， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 7. 函数在的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先换元令，再令，得到关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求解. 【详解】令，则， 则， 令，，则， 所以，， 由二次函数的性质可得当，取得最大值， 又，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. 函数存在最小值 D. 函数不存在最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断函数图象的对称性，再结合正弦函数性质来分析函数的性质判断函数是否存在最值，逐个判断即可. 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称. 根据奇函数的定义可知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选项A错误，选项B正确. 令，则或. 由，解得；由，解得，. 当时，，的值在之间不断变化. 当时，，此时； 当时，，此时. 这说明函数既没有最大值也没有最小值，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD. 9. 如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（ ） A. 当点运动到某一位置时， B. 总有平面平面 C. 当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为 D. 三棱锥的外接球的体积先增后减 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反证法可判断A选项；推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用补形法求出三棱锥的外接球半径，求出外接球的体积，可判断D选项. 【详解】因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 对于A选项，当点运动到某一位置时，， 由圆的几何性质可知， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以，这与矛盾，A错； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 当点为半圆弧的中点时，， 因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 因为，所以， 所以，，即二面角的正切值为，C错； 对于D选项，因为平面，， 将三棱锥补成长方体， 则三棱锥的外接球直径为为定值， 故三棱锥的外接球的体积为，D错. 故选：ACD. 10. 如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合独立事件的乘法公式保证一秒后两点的距离不变，这一步必须同方向移动可得A正确；两步后变动的距离可能是0或2，分三种情况可得B错误；保证两秒后重合，必须有一个点的位置不变可得C正确；举反例令可得D错误. 【详解】对于A，当，即一秒后两点的距离仍为2，所以同时往左或往右一步， 则，故A正确； 对于B，当，即两秒后两点坐标和仍为2， 所以；或；或，而且向左向右的顺序不影响结果， 所以，， ，，， 所以，故B错误； 对于C，当，即或时， 所以，故C错误； 对于D，，由C可得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知双曲线的离心率为2，则实数______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得出，利用离心率求解. 【详解】由双曲线知，，， 所以， 解得. 故答案为：12 12. 的末三位数是____________． 【答案】481 【解析】 【分析】将拆解成，利用二项式定理展开后，被1000除，其余数即为的末三位数. 【详解】因 ， 因是正整数， 故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481. 故答案为：481. 13. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知等式确定奇偶性，利用导数求出单调区间，再求出给定不等式. 【详解】令，由， 得，函数是偶函数， 当时，，则，函数在上单调递增， 由，得， 整理得，即，因此，即，解得， 所以实数t的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值． 【答案】（1）； （2）4． 【解析】 【分析】（1）运用关系式计算即可； （2）根据，得到数列的前n项和关于n单调递增，然后求值，求得得的n的最小值为4． 【小问1详解】 由数列的前n项和可得： 当时，， 当时，， 即得：， 因此得． 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和关于n单调递增， 而， ， 因此，使得的n的最小值为4． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，再由导数的意义求出切线的斜率，然后由点斜式得到直线方程即可； （2）求导后分和讨论，当时找到零点，由单调性可得函数的最值进而可求. 【小问1详解】 当时，， 将代入得：， 函数的导数为， 曲线在点处切线的斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为： ，即：． 【小问2详解】 对求导：， ①当时，恒有， 于是在上单调递减， 此时，无最小值； ②当时，令，得， 当都有在上单调递减； 当都有在上单调递增 因此在处取得最小值， 依题意，，即： 解得：． 综上，当时，函数的最小值是2． 16. 如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，． （1）如图甲，当点F与点C重合时，求； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理得,再由余弦定理求出，然后半角公式可得； （2）由正弦定理变化角求出，再由三角形面积公式结合二倍角的正弦公式和正弦函数的最值可求. 【小问1详解】 当点F与点C重合时， 在中，， 由余弦定理得： ， 得， 于是， 而， 因此． 【小问2详解】 设， 在中，由正弦定理，得， 所以， 在中，， 同理，得， 故， 当时，的最大值为， 此时的面积取得最小值，即． 17. 如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙． （1）当二面角为时，求的长； （2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件判断出图形中的菱形和等边三角形，找到二面角的平面角，再利用余弦定理求出线段的长度. （2）运用反证法，通过假设平面与平面垂直，利用线面平行、线面垂直的性质找出二面角的平面角，再根据三角形的性质判断假设是否成立. 【小问1详解】 连结与交于点M， 依题意，， 于是四边形和均为菱形， 和为等边三角形， 所以， 又， 于是在图中，即为二面角的平面角， 即有， 由余弦定理得： ， 所以． 【小问2详解】 平面平面的情况不存在． 设平面平面， 因为平面，所以， 而且， 因此平面，即有平面， 于是为二面角的平面角， 因为，所以在等腰中不可能等于直角， 即平面平面的情况不存在． 18. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2） ①由题意设， 又，所以， 直线的方程为， 当时，，即 此时，， 因，则， 代入上式可得，，即为定值． ②. 【解析】 【分析】（1）先由圆对的方程求得，结合条件求出，利用椭圆的定义求得的值，即得椭圆方程； （2）①设，列出直线的方程，求得 ，计算并消去，利用点在椭圆上消去，化简即得定值；②设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出韦达定理，利用求得，推出直线经过定点，从而表示出面积，借助于换元和双勾函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 在圆C的方程中，令，得，解得，即得 又 ，则， 于是，解得， 因，故 因此椭圆E的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线的方程为， 联立，得， 所以， 则， ， 由 ， 化简得，解得或（此时直线过点，不合题意，舍去）， 即直线的方程为，经过定点， 所以 ， 令，则，则， 因在上单调递增， 故时，即时，取得最小值为4，取得最大值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 梅州市高三总复习质检试卷（2025.2） 数学 本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 6. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7. 函数在的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. 函数存在最小值 D. 函数不存在最大值 9. 如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（ ） A. 当点运动到某一位置时， B. 总有平面平面 C. 当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为 D. 三棱锥的外接球的体积先增后减 10. 如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知双曲线的离心率为2，则实数______． 12. 的末三位数是____________． 13. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 16. 如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，． （1）如图甲，当点F与点C重合时，求； （2）求面积的最小值． 17. 如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙． （1）当二面角为时，求的长； （2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 18. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $